2001考研数一真题及解析

1、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 (2) 设则 (3) 交换二次积分的积分次序： (4) 设矩阵满足,其中 为单位矩阵，则 (5) 设随机变量 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数 的图形为 ( )(2) 设函数在点附近有定义，且则 ( )(A)(

2、B)曲面在点的法向量为3,1,1.(C)曲线在点的切向量为1, 0,3.(D)曲线在点(0, 0, f (0,0)的切向量为3,0,1.(3) 设，则在点可导的充要条件为 ( )(A)存在. (B)存在.(C)存在. (D)存在.(4) 设则 ( )(A)合同且相似 . (B)合同但不相似.(C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.(5) 将一枚硬币重复掷 次，以分别表示正面向上和反面向上的次数，则的相关系数等于 ( )(A)-1 (B)0 (C) (D)1三、(本题满分6分)求四、(本题满分6分)设函数在点(1,1) 处可微，且求.五、(本题满分8分)设试将 展开成的幂级数，并求级数的和

3、.六、(本题满分7分)计算其中 是平面 与柱面的交线，从 轴正向看去，为逆时针方向.七、(本题满分7分)设 在 内具有二阶连续导数且试证：(1) 对于(1,1)内的任意, 存在唯一的(0,1) ，使成立；(2) 八、(本题满分8分)设有一高度为 (为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设为线性方程组 的一个基础解系，其中为实常数.试问满足什么关系时，也为的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3 阶矩阵与三维向量, 使得向量组线性无关，

4、且满足(1) 记求2 阶矩阵, 使(2) 计算行列式十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数 服从参数的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且途中下车与否相互独立，以 表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有 个乘客的条件下，中途有 人下车的概率；(2)二维随机变量的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体服从证态分布从该总体中抽取简单随机样本，其样本均值为求统计量的数学期望.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程的通解为时，则特征方程对应的两个根为一对共轭复根：，所以根据题设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐

5、次微分方程的通解，知：，特征根为 从而对应的特征方程为： 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为.(2)【答案】【分析】若具有连续的一阶偏导数，梯度在直角坐标中的计算公式为：设，其中具有一阶连续偏导数，散度在直角坐标中的计算公式为：若具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：【详解】本题实际上是计算类似可得 ，；，根据定义有 于是 Oxyx+y=1x=21(3)【答案】【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分. 但在内， 题设的二次积分并不是在某区域上的二重积分， 因此，应先将题设给的二次积分变形为： 其中 再由图所示，又可将改写为于是 (4)【答案】 【详解】要求的逆，

6、应努力把题中所给条件化成的形式.由题设即 故 .(5)【答案】【分析】切比雪夫不等式：【详解】根据切比雪夫不等式有二、选择题(1) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在轴的左侧，曲线是严格单调增加的，因此当时，一定有，对应图形必在轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又的图形在轴右侧靠近轴部分是单调增，所以在这一段内一定有，对应图形必在轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数在点附近有定义及未设在点可微，也没设，所以谈不上，因此可立即排除(A)；令，则有. 因此过点的法向量为3,1,1 ，可排除(B)；曲线可表示为参数形式：点的切向量为. 故

7、正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为 可见，若在点可导，则极限一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，, 在 处不可导，但 ，故排除(A)其中，根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以.故排除(C).又如在处不可导，但存在，进一步可排除(D).(4)【答案】 (A)【详解】方法1：因为是实对称矩阵，必相似于对角阵.得的特征值为：故必存在正交矩阵, 使得因此，相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵合同的充要条件是相似. 因此，也合同. 即既合同且相似.应选(A).方法 2：因为是实对称矩阵，故必相似于一对角阵. 又由相似矩阵

8、有相同的特征值,相同的秩, 知与有相同的秩，故 即对角线上有3个元素为零.因此, 是的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知 故，.即有特征值(三重根)，和对角阵的特征值完全一致，故,相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵合同的充要条件是相似. 知,合同.(5)【答案】【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以，从而，故 由方差的定义：, 所以)由协方差的性质： (为常数)；)所以 由相关系数的定义，得 三【详解】四【详解】 由题设，这里，所以 又 ，所以 所以 五【详解】 首先将展开.因为 故 ， 于是 ， 又，且，所以在处连续，从而时，也成立. 进而，

9、又在处级数收敛， ，所以在处左连续，在处右连续，所以等式可扩大到，从而 ，变形得 因此 六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记为平面上由所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)为在坐标面上的投影， 在中，左右两边关于求偏导，得，得.在中，左右两边关于求偏导，得，得.代入上式得为指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把代入上式，按第一型曲面积分的算法，将投影到，记为.与它在平面上的投影的关系是故，将代入由于关于轴对称

10、，利用区域的对称性，因为区域关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，所以.关于轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，故，所以(由二重积分的几何意义知，即的面积)其中，为，的面积，所以方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面被所围成的部分为，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，在平面上的投影域记为.由斯托克斯公式得由 ，及 知 ，故 因为为，式子左右两端分别关于求偏导，于是因为区域关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，所以. 类似的，因为区域关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，故，所以(由二重积分的几何意义知，即的面积)为

11、，的面积，所以方法3：降维法.记为平面上由所围成的有界部分的上侧 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，为在坐标面上的投影，把代入 中， 为 在平面上投影，逆时针.方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记为平面上由所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)在中，左右两边关于求偏导，得，得.在中，左右两边关于求偏导，得，得.代入上式得为指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得用逐个投影法，先计算 其中为在平面上的投影，分别令, 可得到的4 条边界线的方程：右：；上： ；左：；下：.于是 再计算，其中为在平面上的投影，分别令, 可得到的4 条边界线的方

12、程：右：；上： ；左：；下：.于是 再计算，其中为在平面上的投影，因为区域关于轴和轴均对称，被积函数是关于和都是奇函数， 于是 故 方法5：参数式法. 是平面与柱面的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当时，, 则，从1 到0. 以为参数，于是则 当, , 则，从0到于是所以 当, ,则，从到0，于是所以 当, ，则，从0 到1，于是所以 所以 七【分析】拉格朗日中值定理：如果满足在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使等式成立【详解】(1) 因为 在 内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零，存在(0,1)，使，成

13、立.因为在内连续且 所以在内不变号，不妨设则在内严格单调且增加，故唯一.(2)方法1：由(1)知，于是有 ，即 所以 上式两边取极限，再根据导数定义，得左端右端左边=右边，即，故方法2：由泰勒公式得再与(1)中的 比较，所以 约去，有 凑成 由于 ，所以 故 八【详解】，所以侧面在面上的投影为：记为雪堆体积，为雪堆的侧面积，则由体积公式化为极坐标，令，再由侧面积公式：化为极坐标，令，由题意知 将上述和代入，得积分解得 由 , 得. 所以令，即因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，均为的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解

14、向量，所以均为的解. 下面证明线性无关. 设 把代入整理得，由为线性方程组的一个基础解系，知线性无关，由线性无关的定义，知中其系数全为零，即其系数行列式(变换：把原行列式第行乘以加到第行，其中)由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当，即即当为偶数，当为奇数，时，上述方程组只有零解因此向量组线性无关，故当时，也是方程组的基础解系.十【详解】(1) 方法1：求，使成立，等式两边右乘，即成立.由题设知，又，故有即如果取，此时的满足 ，即为所求.方法2：由题设条件是可逆矩阵，由可逆的定义，知有使即有. 由题设条件，有由，得(2) 由(1)及矩阵相似的定义知，与相似. 由矩阵相似的性质：若，则，则与也相似. 又由相似矩阵的行列式相等，得十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是：做次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为，随机变量表示次试验成功的次数，则. 在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有个人相当于做了次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为，则问题(1)成为重伯努利实验中有次成功.【详