历年初中数学竞赛试题

1、初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 1111解：依题意设六位数为abcabc，则abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）b10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031）1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C方法二：代入法2、若2001119811198011S，则 S 的整数部分是_解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以902

2、2198019801221S，又1980、19812000 均小于 2001，所以22219022200120011221S，从而知S 的整数部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开

3、关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （）A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1a

4、%）b%元。应选 C5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么|abcabcccbbaa的所有可能的值为（）A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，；当 a，b，c 为两负一正时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由知|abcabcccbbaa所有可能的值为 0。应选 A6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则bcabac的值为（）A. 21B. 22C. 1

5、D. 2cABCab解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB2C，ADC23。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a2C）2b243C2，整理得a2c2=b2ac，从而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac应选 C7、设 ab0，a2+b2=4ab，则baba的值为（）A. 3B. 6C. 2D. 3解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得abbaabba26，故3baba。应选 A8.已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2+b2+

6、c2-ab-bc-ca 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 332) 1() 1(21211)()()(21222222222原式，又，解：accbbaaccbbacabcabcba9、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式abccabbca222的值是（）A. 3B. 2C. 1D. 03)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解：原式10、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为解：设该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a，

7、解得p100p100d11、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天；有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于（）A. 7B. 8C. 9D. 10选 C。设全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全

8、天晴 d 天。由题可得关系式 a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得 2d-a=4，即 d2，故b=4，c=3，于 xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时1v、2v、3v、4v千米，且满足1v2v3v4v0，其中，水v为河流的水流速度（千米/小时） ，它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。 （2）经过 1 小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？ 解：出发 1 小时后，、号艇与号艇的距离分别为441)(vvvvvvSiii水水（）各艇追上号艇的时间为44444421)(

9、)(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水对1v2v3v4v有321ttt，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用 12 台水泵需 5 小时，用 10台水泵需 7 小时，若要在 2 小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z，2 小时抽干满池水需 n 台水泵，则nzyxzyxzyx2210771255由得 zyzx535，代入得：nzzz210352122n，故 n 的最小整数值为 23。答：要在 2 小时内抽干满池水，至少需要水泵 23 台15.某宾馆一层客房比二层客

10、房少 5 间，某旅游团 48 人，若全安排在第一层，每间 4 人，房间不够，每间 5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每 3 人，房间不够，每间住 4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房x间，则第二层有)5( x间，由题可得)5(448)5(35484xxxx由得：xx548484，即12539 x由得：)5(44848)5(3xx，即117 x原不等式组的解集为11539 x整数x的值为10 x。答：一层有客房 10 间。16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做 10 个零件，这样 8 个人一天做的零件超过 200 个，后来改进技术，每人一天又多做 27

11、 个零件，这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件由题意)10(8)2710(4200)10(8xxx解得1715 xx是整数x16（1637）163.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的 3.3 倍。初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，甲乙的速度之比为（）A. 35B. 43C. 45D.

12、 342、某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加 2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件，如果获利润最大的产品是第 R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加） ，那么 R 等于（）A. 5B. 7C. 9D. 103、某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润为 20%（利润售价进价进价） ，若这种商品的进价提高 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为（）A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5%4、某项工程，甲单独需 a 天完成，

13、在甲做了 c（cb，若两个三角形的最小内角相等，则ba的值等于（）A. 213 B. 215 C. 223 D. 225 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数)0(kkxy与函数xy1的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则ABC 的面积为（）A. 1B. 2C. kD. k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与2ba 的大小关系是2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为3、已知五条线段长度分别是 3、5、

14、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PD图 8-6ABDCP图 8-4ABCDADCFCBEABBDC图 8-5EA5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的一点

15、，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB16米20米ABCD甲乙图 8-7图 8-8BACP三、解答题1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD21（AB+AC）2、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交BC 于点 F。求证：四边形 CEDF 是正方形。CD22AEBF4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满

16、足条件的 k 的最小值是多少？数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（8）参考答案）参考答案一、选择题1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作DGCE 于 G。 显然 DGEF21AB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有CDDG5，所以 CD 长度的最小值是 5。2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得AE16，DE83，于是 BEAEAB9，在 RtBEC 中，可求得 BC33，CE63，于是 CDDECE23BCCD53。3、由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CFAD+AE+FDEB+BC+CF11)(21CDB

17、CABADABDC图 8-9ACFBDE图 8-10ABCDPEFG60ABCDEADCBEFHGEFBC，EFAD，FCDFEBAE设kFCDFEBAE，141161kkCDkkDFkkABkkAE，AD+AE+FD3+13131416kkkkkk111313kk解得 k4作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，则 GFHCAD3，BHBCCH9-3654ABAEBHEG，52454BHEG5393524GFEGEF4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，也就是A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135与 ABC180矛盾。故 、 不

18、可能都是锐角，假设、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 AB90，CA90，A(ABC)b，故A 是ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得BCBDABBC，即bbaab，令bax ，即得方程012 xx，解得215 bax。选 B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。QABCD8、A。设点 A 的

19、坐标为（yx，） ，则1xy，故ABO 的面积为2121xy，又因为ABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。二、填空题1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结MP、PN，则 MP2a，NP2b，显然恒有2bad，当 ADBC，由平行线等分线段定理知 M、N、P 三点共线，此时有2bad，所以d与2ba 的大小关系是)2(2dbabad或。2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4xABAAAABAB ACBD

20、4xAAB)180(21x18044)180(21xxx，于是可解出 x12。3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、（5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形三边长。4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作

21、BC的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则222222222222DPadcbBPdbCPcaAP，于是2222DPBPCPAP，故184532222222BPCPAPDP，DP325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。ABDCPMNABDCPEFGHaabbcd所以 AEEC6 .11332030tan20tanACE（米） 。CDEBAB-AE16-11.64.4（米）设点 A

22、的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中，ACB30，AB16 米，所以7 .27316cotACBABBC（米） 。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米。6、提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60则ABP60，BAPPBC，ABPBPC，PCBPBPAP，BP2APPC3448 PCAPBP三、解答题1、证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE。BDDC，ADDE，ADCEDBACDEBDACBE在ABE 中，AEABBE，即 2ADABACAD21（ABAC）2、答案提示：在ABC 中，不妨设 abca+bca+b+c2c即

23、 p2cc2p，另一方面 ca 且 cb2ca+b3c3pcpcba。因此23pcp3、证明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC，从而ECFDECDFC90。CD 是角平分线DEDF，即知四边形 CEDF 是正方形。在 RtAED 和 RtDFB 中，DEBCADEBRtAEDRtDFBBFDEDFAE，即 DEDFAEBFCD2DE2DF，BFAEDFDEDFDECD2222216米20米ABCD甲乙EABDCE4、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？

24、符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有 ai大于等于中的第i 个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 交于 O，

25、点 P 在 AB 的延长线上，且 BPCD，则图形中面积相等的三角形有（）A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边AB、BC 的中点，连 AF、CE，设 AF、CE 交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于（）A. 65B. 54C. 43D. 323、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且ABAD31，若在边 AC 上取一点 E，使四边形 DECB 的面积为43，则EACE的值为（）A. 21B. 31C. 41D. 514、如图 9-3，在ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边，在ABC 外作正方形

26、 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分别交 AB 和 GH 于 D 和 K，则正方形 ACEF 的面积 S1与矩形AGKD 的面积 S2的大小关系是（）PADCBO图 9-1ABCDEFG图 9-2ABCDHGKFE图 9-3A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 不能确定，与ABAC的大小有关5、如图 9-4，四边形 ABCD 中，A60，BD90，AD8，AB7，则 BC+CD 等于（）A. 36B. 53C. 43D. 336、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1，则正方形的面积为（）A. 2537 B. 253C. 215 D. 2)21

27、 ( 7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，M 是 BC 的中点，DEAM，E 为垂足，则 DE（）A. 2242baabB. 224baabC. 2242baabD. 224baab8、O 为ABC 内一点，AO、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图 9-7 所示，则 SABC（）A. 292B. 315C. 322D. 357二、填空题1、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积为2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18cm，腰上的中线等于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于3、如图

28、9-10，在ABC 中，CEEB12，DEAC，若ABC 的ABCD图 9-4abaabb图 9-5abABCDEM图 9-6ABCDEFO84xyy40y30y35y图 9-7图 9-8AEDCFBAMCDBG图 9-9ACEBD图 9-10ABQRDCEP图 9-11面积为 S，则ADE 的面积为4、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且BD4，DC1，AE5，EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点 P，过点 P 分别作PQCA，PRCB，它们分别与边 AB 交于点 Q、R，则PQR的面积与ABC 的面积之比为5、如图 9-12，梯形 ABCD 中，A

29、DBC，ADBC25，AFFD11，BEEC23，EF、CD 延长线交于 G，用最简单的整数比来表示，SGFDSFEDSDEC6、如图 9-13，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PD三、解答题1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，F 是 CD 上的点，SABESADF31S矩形 ABCD。求：CEFAEFSS的值。2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F。求证：1FBAFEACEDCBDABCDGFE图 9-12ABCDP图 9-13ADFCEB图 9-14ABCDEF图 9-153、如图 9-16，在

30、ABCD 中，P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延长交 BC 于点 E，连结 APn-2并延长交 CD 于点 F。求证：EFBD设ABCD 的面积是 S，若 SAEF83S，求 n 的值。4、如图 9-17，ABC 是等腰三角形，C90，O 是ABC 内一点，点 O 到ABC各边的距离等于 1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。证明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。求证：ABC 与A1B1C1公共部分的面积。DBACEFP1P2Pn-2Pn-1图 9-16图 9-17ABCC1A1B1LM

31、KNQPO数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（9）参考答案）参考答案一、选择题：1、C。ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABCSSSSSSSSSS，2、D。连结 AC，有3:1:ABCAGCSS，则ABCDABCDABCDACDAGCAGCD32212131S矩形矩形矩形四边形SSSSS。3、B。如图联结 BE，ADES41431，设xACCE，则xABE1S414131SxxADE，31EACE4、A。解：AGADSACS221，因为ACBRtADCRt，所以ABACACAD，即ABADAC2，又因为 ABAG，所以221SAGADACS，所以应选 A。5、B。解：如图

32、延长 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得 AE14，于是 DEAE，AD=6，又BE3，在 RtCDE 中，可求得CD23，CE43，于是BCBECE3，BC+CD53。6、A。解：由右图与左图的面积相等，得2)()(bababb，已知1a，所以有2) 1() 12(bbb，即012bb，解得251b，从而正方形AEDBCABCDE60的面积为2537)253() 1(22b。7、A。解：由ADEABM，得 DE222242)21(baabbaabAMABAD8、B。CDOACOBDOABOSSDOAOSS，即30354084xy又CEOBCOBDEABOSSOEBOSS，即3

33、57084xy84211234yxyx，解之得5670yxSABC84+40+30+35+70+56315。二、填空题1、ahS21阴影。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ABFMCF，AFFM，SABFSCMF。S阴影SDFM，AFFMSADFSMDFABCDS21梯形阴影SahSABCD梯形，ahS21阴影。2、144。解：作 MNBC 于 N，AMMC，MNAD，DNNC。921ADMN，在 RtBMN 中，BM15，MN9。BN12，而BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，SABC=21ADBC211816144。3、SADE92S。解：CEEB12，设 CEk，则

34、EB2k，DEAC，而 BEBC2k3k23，2)32(sSBDE，SBDE94SDEAC21BECEBDAD，21BDADSSBDEADE，则 SADE21 SBDE92S4、1089400。解：过点 E 作 EFAD，且交 BC 于点 F，则52EACEFDCF，所以75255CDFD。因为 PQCA，所以33287544BFBDBEBPEAPQ于是33140PQ。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB，因为PQRCAB 故1089400)3320()(22CAPQSSCABPQR。5、126。解：设 AD2，则 BC5，FD1，EC3GFGEFDEC13，GFFE12，SGFDSFE

35、DGFFE12显然有 SEFDSCEDFDEC13，SGFDSFEDSCED126。6、32。解：过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则222222222222CPadDPcbBPdbcaAP，于是2222DPBPCPAP，故184532222222BPCPAPDP，DP32。三、解答题1、设 BCa，CDb，由ABCD31矩形SSABE，得ab31BEb21。BE32a，则EC31a。同理 FC31b，abba181313121SCEF。abCDADECSAEC

36、D32)(21梯形，ababaabSSAEF1853118132SSADFCEFAECD梯形15181185ababSSCEFAEF。2、答案提示：连结 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。3、解：因 ADBC，ABDC，所以DAPBEPABPFDPnn2222，从而有22AP2222222222nBPDPEPnDPBPFPAPnnnn，即FPAPFPAPnn2222所以 EFBD由可知22nABDF，所以SnSAFD21，同理可证SnSABE21显然22nDCDF，所以241nnDCDFDCDFDCDCFC，从而知SnnSECF2)24(21，已知,83SSAEF所以有S

37、nnSnSS2)24(2121283，即83)2(2)4(22122nnn解方程得 n6。4、证明：连结 OC、OC1，分别交 PQ、NP 于点 D、E，根据题意得COC145。点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1，OC 是ACB 的平分线。ACB90OCEOCQ45同理OC1DOC1N45OECODC190CQPCPQC1PNC1NP45CPQ 和C1NP 都是等腰直角三角形。BNMC1NP45A1QKCQP45B45A145BMN 和A1KQ 都是等腰直角三角形。B1MLBMN90，AKLA1KQ90B145A45B1ML 和AKL 也都是等腰直角三角形。在 RtODC1和 RtO

38、EC 中，ODOE1，COC145OCOC12CDC1E2-1PQNP2（2-1）22-2，CQCPC1PC1N2（2-1）22223)22(212CPQS延长 CO 交 AB 于 HCO 平分ACB，且 ACBCCHAB，CHCOOH2+1ACBCA1C1B1C12（21）22223)22(212ABCSA1QBN（2+2）（22-2）（22）2KQMN2221)2(212BMNSAK（2+2）（22）221)2(212AKLS22411)223)223(S-S-S-SAKLBMNCPQABCKLMNPQ（多边形S初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（10）（三角形的四心及性质、平移、

39、旋转、覆盖）一、填空题：1、G 是ABC 的重心，连结 AG 并延长交边 BC 于 D，若ABC 的面积为 6cm2，则BGD 的面积为（）A. 2cm2B. 3 cm2ACBE图 10-1C. 1 cm2D. 23 cm22、如图 10-1，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平分线与B 的外角的平分线交于 E 点，则AEB 是（）A. 50B. 45C. 40D. 353、在ABC 中，ACB90，A20，如图 10-2，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到ACB的位置，其中 A、B分别是 A、B 的对应点，B 在 AB上，CA交AB 于 D，则BDC 的度数为（）A. 40B

40、. 45C. 50D. 604、设 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，则三角形的面积为（）A. 58B. 66C. 72D. 845、如图 10-3，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6，将纸片折叠，使 AD 边落在AB 边上，折痕为 AE，再将AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，CEF的面积为（）A. 2B. 4C. 6D. 86、在ABC 中，A45，BCa，高 BE、CF 交于点 H，则 AH（）A. a21B. a22C. aD. a27、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1、B1、C1分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的对称点

41、，若点 B 在A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于（）A. 30B. 45C. 60D. 908、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线，垂心为 H，则其图中直角三角形的个数是（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题1、如图 10-4，I 是ABC 的内心，A40，则CIB2、在凸四边形 ABCD 中，已知ABBCCDDA2231，且ABC90，则ABCDAB图 10-2ABCDDAEBCADEBCF图 10-3ACIBD图 10-4ABCDED图 10-5DAB 的度数是3、如图 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，将矩形 ABCD 沿对角线对折，然后放在桌

42、面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中线，P 是ABC 的重心，过 P 作 EF（EFBC） ，分别交 AB、AC 于 E、F，则AFCFAEBE三、解答题1、如图 10-6，在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E，过 D 作 AE 的垂线与 OA交于 F。求证：OEOF2、在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点

43、E、F，使 DEDF，过E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。求证：DEMDFNPAEPBF3、如图 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N，边 CN并延长交 AB 于 E。求证：EMBNAECBFDPMN图 10-7ABCNMED图 10-84、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两于C、D 两点，连结 BC、CD，设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧BC 和弧 BD 的中点。求证：QBNQPMBPKPMNQKABCDMNKPQ

44、图 10-9数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（10）参考答案）参考答案一、选择题1、解：)( 12131312cmSSSABCABDBGD。选 C。2、解：在 RtABC 中，C90，A30，则ABC60，因为 EB 是B 的外角的平分线，所以ABE60，因为 E 是C 的平分线与B 的平分线的交点，所以 E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离，也等于 E 点到 CA 的距离，从而 AE是A 的外角的平分线。所以752150BAE，AEB180607545。应选 B。3、解：依题意在等腰三角形 BCB 中，有BCB，B902070。所以 18027040，即DCA40，从而BDCDCAA402060。应选 D。4、解：设 AD 为中线，则 DG21AG3，延长 GD 到 G，DGDG3，723246821GBCABCCGGGBCSSSS。应选 C。5、解：由折叠过程知，DEAD6，DAECEF45，所以CEF 是等腰直角三角形，且 EC862，所以 SCEF2。