北京市西城区2012届高三数学上学期期末教学统一检测 理 北师大版

1、北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数（ ）（A）（B）（C）（D）2已知圆的直角坐标方程为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）3已知向量，.若实数与向量满足，则可以是（ ）（A）（B）（C）（D）4执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）（B）（C）（D）5已知点的坐标满足条件 那么的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）6已知下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条

2、件是（ ）（A）（B）（C）（D）7某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A）（B）（C）（D）8已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线： ； ； 其中，型曲线的个数是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数的定义域是_10若双曲线的一个焦点是，则实数_11如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线若，则_ 12. 已知是公比为的等比数列，若，则 ；_13. 在中，三个内角，的对边分别为，若，则 ； 14. 有限集合中元素的个数记作.已知，且，.若集合满足，则集合的个数是_；若集合满足，且

3、，则集合的个数是_.（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数，.（）求的零点； （）求的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.17（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置

4、，若不存在，说明理由 18.（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数，其中.（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）若数列的“衍生数列”是，求；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.北京市西城区2011 2012学

5、年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A； 2. B； 3. D； 4. C； 5. D； 6. A； 7. D； 8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.，或； 10.； 11.； 12.，； 13.，； 14.，.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解法一：（）解：令，得 ， 1分 所以，或. 3分由 ，得； 4分由

6、 ，得. 5分综上，函数的零点为或. （）解：. 8分因为，所以. 9分 当，即时，的最大值为； 11分当，即时，的最小值为. 13分解法二：（）解：. 3分令，得 . 4分因为，所以. 5分所以，当，或时，. 7分即 或时，.综上，函数的零点为或. 9分（）解：由（）可知，当，即时，的最大值为； 11分当，即时，的最小值为. 13分16.（本小题满分13分）（）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则. 2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. 5分（）解：随机变量的所有取值为. 7分； ；. 10分所以，随机变量的分布列为:11分. 13分17.（本小题满分14

7、分）（）证明：连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 2分因为 平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 5分设，则.所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得. 7分易知平面的法向量为. 8分由二面角是锐角，得 . 9分所以二面角的余弦值为.（）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，故可设，其中.所以 ，. 11分因为与成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以当点为线段中点时，与成角. 14分18.（本小题满分13分）（）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分 因为

8、椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 . 7分设，线段的中点为，则 . 8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 10分当时，；当时，.所以，或. 12分综上，的取值范围是. 13分19.（本小题满分14分）（）解：. 2分依题意，令，解得 . 3分经检验，时，符合题意. 4分 （）解： 当时，.故的单调增区间是；单调减区间是. 5分 当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 6分当时，的单调减区间是. 7分 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间

9、是；单调减区间是和. 8分 当时，的单调增区间是；单调减区间是. 9分综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和. 10分（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意. 11分当时，在的最大值是，由，知不合题意. 12分当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意. 所以，在上的最大值是时，的取值范围是. 14分20.（本小题满分13分）（）解：. 3分（）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 4分 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以 ，其中.因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为