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文档简介
1、北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末试卷高三数学(理科) 2012.1第卷(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1复数( )(A)(B)(C)(D)2已知圆的直角坐标方程为在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为( )(A)(B)(C)(D)3已知向量,.若实数与向量满足,则可以是( )(A)(B)(C)(D)4执行如图所示的程序框图,输出的值为( ) (A)(B)(C)(D)5已知点的坐标满足条件 那么的取值范围是( )(A)(B)(C)(D)6已知下列四个条件中,使成立的必要而不充分的条
2、件是( )(A)(B)(C)(D)7某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ) (A)(B)(C)(D)8已知点若曲线上存在两点,使为正三角形,则称为型曲线给定下列三条曲线: ; ; 其中,型曲线的个数是( )(A)(B)(C)(D)第卷(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9. 函数的定义域是_10若双曲线的一个焦点是,则实数_11如图,是圆的切线,为切点,是圆的割线若,则_ 12. 已知是公比为的等比数列,若,则 ;_13. 在中,三个内角,的对边分别为,若,则 ; 14. 有限集合中元素的个数记作.已知,且,.若集合满足,则集合的个数是_;若集合满足,且
3、,则集合的个数是_.(用数字作答)三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数,.()求的零点; ()求的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)盒中装有个零件,其中个是使用过的,另外个未经使用.()从盒中每次随机抽取个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率;()从盒中随机抽取个零件,使用后放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为,求的分布列和数学期望.17(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,是的中点()求证:平面;()求二面角的余弦值;()试问线段上是否存在点,使与成 角?若存在,确定点位置
4、,若不存在,说明理由 18.(本小题满分13分)已知椭圆的一个焦点是,且离心率为.()求椭圆的方程;()设经过点的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求的取值范围.19.(本小题满分14分)已知函数,其中.()若是的极值点,求的值;()求的单调区间;()若在上的最大值是,求的取值范围.20.(本小题满分13分)已知数列.如果数列满足,其中,则称为的“衍生数列”.()若数列的“衍生数列”是,求;()若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;()若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,.依次将数列,的第项取出,构成数列.证明:是等差数列.北京市西城区2011 2012学
5、年度第一学期期末高三数学(理科)参考答案及评分标准 2012.1一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. A; 2. B; 3. D; 4. C; 5. D; 6. A; 7. D; 8. C .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.,或; 10.; 11.; 12.,; 13.,; 14.,.注:12、13、14题第一问2分,第二问3分;9题结论正确但表示形式非集合,扣1分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分) 解法一:()解:令,得 , 1分 所以,或. 3分由 ,得; 4分由
6、 ,得. 5分综上,函数的零点为或. ()解:. 8分因为,所以. 9分 当,即时,的最大值为; 11分当,即时,的最小值为. 13分解法二:()解:. 3分令,得 . 4分因为,所以. 5分所以,当,或时,. 7分即 或时,.综上,函数的零点为或. 9分()解:由()可知,当,即时,的最大值为; 11分当,即时,的最小值为. 13分16.(本小题满分13分)()解:记“从盒中随机抽取个零件,抽到的是使用过的零件”为事件,则. 2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. 5分()解:随机变量的所有取值为. 7分; ;. 10分所以,随机变量的分布列为:11分. 13分17.(本小题满分14
7、分)()证明:连结,交于点,连结.由 是直三棱柱,得 四边形为矩形,为的中点.又为中点,所以为中位线,所以 , 2分因为 平面,平面, 所以 平面. 4分()解:由是直三棱柱,且,故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 5分设,则.所以 , 设平面的法向量为,则有所以 取,得. 7分易知平面的法向量为. 8分由二面角是锐角,得 . 9分所以二面角的余弦值为.()解:假设存在满足条件的点.因为在线段上,故可设,其中.所以 ,. 11分因为与成角,所以. 12分即,解得,舍去. 13分所以当点为线段中点时,与成角. 14分18.(本小题满分13分)()解:设椭圆的半焦距是.依题意,得 . 1分 因为
8、椭圆的离心率为,所以,. 3分故椭圆的方程为 . 4分()解:当轴时,显然. 5分当与轴不垂直时,可设直线的方程为.由 消去整理得 . 7分设,线段的中点为,则 . 8分所以 ,.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令,得. 10分当时,;当时,.所以,或. 12分综上,的取值范围是. 13分19.(本小题满分14分)()解:. 2分依题意,令,解得 . 3分经检验,时,符合题意. 4分 ()解: 当时,.故的单调增区间是;单调减区间是. 5分 当时,令,得,或.当时,与的情况如下:所以,的单调增区间是;单调减区间是和. 6分当时,的单调减区间是. 7分 当时,与的情况如下:所以,的单调增区间
9、是;单调减区间是和. 8分 当时,的单调增区间是;单调减区间是. 9分综上,当时,的增区间是,减区间是;当时,的增区间是,减区间是和;当时,的减区间是;当时,的增区间是;减区间是和. 10分()由()知 时,在上单调递增,由,知不合题意. 11分当时,在的最大值是,由,知不合题意. 12分当时,在单调递减,可得在上的最大值是,符合题意. 所以,在上的最大值是时,的取值范围是. 14分20.(本小题满分13分)()解:. 3分()证法一:证明:由已知,.因此,猜想. 4分 当时,猜想成立; 假设时,.当时,故当时猜想也成立.由 、 可知,对于任意正整数,有. 7分设数列的“衍生数列”为,则由以上结论可知,其中.由于为偶数,所以,所以 ,其中.因此,数列即是数列. 9分证法二:因为 , 由于为偶数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,相加得 即,. 7分由于,根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”. 9分()证法一:证明:设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列,只需证明成等差数列,即只要证明即可. 10分由()中结论可知 ,所以,即成等差数列,所以是等差数列. 13分证法二:因为
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