小波变换和希尔伯特_黄变换在时频分析中的应用

1、第4卷 第11期 中 国 水 运 Vol.4 No.11 2006年 11月 China Water Transport Novembdr 2006 收稿日期:2006-9-20作者简介:孙 涛 武汉理工大学土木工程与建筑学院(430070小波变换和希尔伯特黄变换在时频分析中的应用孙 涛 刘晶璟 孔 凡 万 平摘 要:简单介绍了时频分析的基本理论,将小波变换和希尔伯特-黄变换分别应用于几个非平稳信号的分析当中,将二者进行一个简单的比较,最终得出结论。 关键词:时频分析 小波变换 希尔伯特-黄变换中图分类号:TN911.21 文献标识码:A 文章编号:1006-7973(200611-0111-

2、03一、引言长期以来信号处理的对象局限于确定性信号或是统计量不随时间变化的平稳信号,其有效的分析工具就是Fourier 分析,它是一种全局性的变换,无法表达信号的时频局部特性,但非平稳信号的广泛存在是不争的事实。由于受到信号处理理论发展的限制,对非平稳信号的分析过去人们一直是沿用平稳信号的处理方法来作近似,效果当然不够理想。随着研究的深入和科技实践的需要,针对非平稳信号的理论分析已是迫在眉睫。这就是时频分析理论产生的时代背景。时频分析实际上是将一维的时间信号映射到时频(有的是时间尺度二维,可以很好的表示出信号的频率成分随时间的化规律,而这恰恰是非平稳信号分析所需要的。二、小波变换小波变换是一种

3、信号的时频分析方法,即在时域对信号进行离散变换,在频域进行谱分析的方法。它具有高分辨率的特点,而且在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象,所以被誉为分析信号的显微镜和望远镜。1.小波函数的定义小波(wavelet,即小区域的波,是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。小波函数的确切定义为:设Y (tL 2(R,若其傅立叶变换(FT:Fourier Transform(满足条件:2(C d +=<(1则称(t 为一个基本小波或小波母函数。式(1为

4、小波函数的可容许条件。将小波母函数(t 进行伸缩和平移,就可以得到函数,(a t :,(a t ,;0a R a >(2式中,a 为尺度因子,为平移因子,我们称,(a t 为依赖于参数a、的小波基函数。由于尺度因子a 和平移因子是连续变化的值,因此我们称,(a t 为连续小波基函数。它们是由同一母函数(t 经伸缩和平移后得到的一组函数序列。2.连续小波变换的定义将任意(2L R 空间中的函数(f t 在小波基下展开,称这种展开为函数(f t 的连续小波变换(CWT:Continue WaveletTransform2,其表达式为:,(,(,f a WT a f t dt +=(3由以上定

5、义,我们可以看出小波变换和傅立叶变换一样,也是一种积分变换。(,f WT a 为小波变换系数。它不同于傅立叶变化的地方是,小波基具有尺度a 和平移两个参数,所以函数经过小波变换,就意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。这样有利于提取信号函数的某些本质特征。为了分析非平稳信号频率随时间的变化,我们可以作出小波时间频率谱(TFS,它很好地解决了Fourier 分析中信号在时域和频域不能同时表达的问题。图1112 中 国 水 运理 论 版 第4卷 图2图1是一个混频信号S1,其表达式为2sin(0.11,300(sin(0.2(300,600t tS tt t=(4在对信号实施CWT(

6、Morlet函数为小波函数后,在尺度方向上检测每个采样点上小波变换因子的最大值,记录该最大值对应的尺度,最后将记录的尺度变换为频率值,尺度a与频率v的关系可用下式表示:0va=(5式中0为母小波的频率(Morlet母小波的频率0.8102Hz=。.以频率值为纵坐标,采样序列为横坐标作图就可以得到小波时间频率谱(TFS,如图2所示,信号在1,300上,频率集中在0.015Hz左右;在(300,600上,频率集中在0.030Hz左右,这与信号的属性完全一致。TFS更能直观地展示信号频率随时间变化的情形,而利用Fourier变换,这些信息是无法获取的。三、Hilbert-Huang变换1.EMDHi

7、lbert-Huang变换的核心是经验模态分解(EMD:Empirical Mode Decomposition,把复杂的信号分解成从高频到低频的的若干个固有模态函数(IMF:Intrinsic Mode Function。IMF需具有以下两个特点: 其极值点(极大值和极小值数目与跨零点数目相等或最多相差一个; 由其局部极大值构成的上包络和其局部极小值构成的下包络平均值为0。EMD的步骤4如下:对任意信号s(t,首先求出s(t的上包络(u t和下包络(v t,记上、下包络的均值曲线为(m t,即:(0002u t v tm t+=,记(10h t s t m t=。判断(1h t是否满足条件和

8、,若满足,则得到第一个IMF,记为(11c t h t=;否则令(11s t h t=,重复上述运算,第k步,(k ks t h t=.记(2k kku t v tm t+=,(ku t和(kv t分别为(ks t的上、下包络,令(1k k kh t s t m t+=.重复以上操作,直到(1kh t+满足条件和时得到一个IMF,记为(11kc t h t+=.作计算(1r t s t c t=,对 (r t重复以上过程,依次得到第二个IMF (2c t,第三个IMF (3c t,直到(r t为一单调信号或其值小于预先给定的值时,EMD分解结束。由此得(s t的分解式:(1.niis t c

9、t r t=+(62.Hilbert变换和Hilbert谱对任一时间序列(X t,其Hilbert变换(Y t定义为(1XY t P dt=(7式中,P 为柯西主值。则对应于(X t的解析信号(Z t为:(i tZ t X t iY t a t e=+=式中,(a t和(t分别称为信号(X t的瞬时振幅和瞬时相位,按下式计算:( a t(arctan/t Y t X t=由瞬时相位可得到信号的瞬时频率:(/t d t dt=(8对通过EMD方法得到的各阶IM F分量(ic t分别进行Hilbert变换,可得到各分量的瞬时振幅和瞬时频率,它们都是时间的函数,能很好地反映数据的瞬时性。如果把振幅显

10、示在时间-频率平面上,就可以得到原信号的Hilbert谱,Hilbert谱能够清晰地刻画一个数据序列在时间上的变化规律。为验证HHT方法的有效性,利用四个余弦信号与一个指数趋势项相加作为仿真信号S2进行分解,该信号由以下方程表示:(2cos20cos50cos100cos120tS t t t t t e=+(9图3 EMD分解示意图对该信号进行EMD分解。如图 3 所示,可知,EMD 方法是按不同的时间尺度分解信号,先分解出高频,再分解出第11期 孙 涛等:小波变换和希尔伯特黄变换在时频分析中的应用 19 低频,次低频,最后得到趋势项。EMD 分解是信号本身所决定的一个自适应分解过程,能很快

11、地提取信号特征并分解出信号的分量,分解出的四个IMF 分量和趋势量正是仿真信号的五个原始信号,表明了分解的可靠性、高效性,体现了IMF 分量本身的物理含义。四、小波变换和希尔伯特-黄变换实例比较信号S 由一频率为30 Hz 余弦信号信号和一频率为120 Hz 正弦信号叠加而成。该信号由方程表示为(cos(230sin(2120S t t t =+(10图4图5图4为该信号经过CWT 后的尺度图,可以看出该信号由一高频和一低频信号组成,而图5则更清晰地显示出两个信号的频率。通过上面两个图形我们还可以发现Hilbert 谱的大部分能量都集中在一定的时间和频率范围内,而Morlet 谱的能量在频率范

12、围内分布较广,这是由于Morlet 小波引起的能量泄漏造成的。五、结论通过对上述三个信号分别进行小波变换和Hilbert-Huang 变换,以及对小波谱与Hilbert 谱分析的比较,我们可以得出如下结论:1.CWT 是良好的时间、频率同时分析工具,它能解决Fourier 分析中信号在时域和频域不能同时表达的问题;EMD 依据信号本身的固有特性进行分解,保证了信号分解后的非平稳特性,具有自适应性强和高效的优点。2.HHT 方法是一种更具适应性的时频局部分析方法,它没有固定的先验基底,是自适应的;瞬时频率定义为相位函数的导数,不需要整个波来定义局部频率,因而可以实现从低频信号中分辨出奇异信号,这

13、比小波有了明显的进步。参考文献1 高志,余啸海.Matlab 小波分析工具箱原理与应用.北京.国防工业出版社.2004.2 J.Slavic ,I.Simonovski ,damping identification using acontinuous wavelet transform:application to real data.Journal of sound and vibration 262.2003.291-307.3 卢小泉,刘宏德.分析化学中的小波分析技术.北京.化学工业出版社.2005.10.4 李书进,虞晖,瞿伟廉.基于Hilbert-Huang 变换的结构损伤诊断.武汉理工大学学报.2004.8.In time frequency analysis applicationSun Tao Liu Jingjing Kong Fan Wan PingAbstracts:Introduced simply when the frequency analysis elementary theory, applies separately the wavelet transformation and the Hilbert - yello