高等数学讲义第三章

1、数学应考必备第三章 一元函数积分学§3.1 不定积分（1） 内容要点一、 基本概念与性质1、 原函数与不定积分的概念设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为。其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式。2、 不定积分的性质设F(x)C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。则 (1)F(x)C 或F(x)C (2)= f(x) 或 df(x)dx (3)k (4)=3、原函数的存在性 设f(x)

2、在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如， ， ，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、 基本积分表（略）三、 换元积分法和分部积分法1、 第一换元积分法（凑微分法）设=F(u)+C=F+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。2、 第二换元积分法设x可导，且，若 ，则 其中t为x的反函数。3、 分部积分法 设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则u(x)v(x)或u(x)v(x)（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)为n次多项式，a为常

3、数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为；多项式部分为u（x）。（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)为n次多项式取P(x)为，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。（2） 典型例题例1、 求下列不定积分（测试题，限15分钟）（1） （2）（3） （4）（5） （6） （）例2、求下列不定积分（1） （2） （a）（3）（） （4）解：（1） =（2） （3）= =（4）=例3、 求解： 6 662=2-3例4、求解一：=-(这里已设x>0)解二：倒代

4、换 原式=(x>0)例5、求解一：x(arcsinx)=x2 =x+2 = x+2 = x+2 = x+2arcsinx2x+C解二：令arcsinxt，则xsint ， 2tcost2sint +C =x+2例6、设f（x）的一个原函数F（x），求I解：Ixf（x）x = C例7、设，当x时 f(x)F(x) ，又F(0)1，F(x)>0， 求f（x）（x解：22而 =+ C ，C=0，又，因此 则 f（x）例8、设，求I解一：令u=，则sinx，xarcsin，f(u)=则 I2 222C解二：令x，则，dx2costsintdt，则I 2tcost22tcost2sintC

5、22C§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法（甲）内容要点一、 定积分的概念与性质1、 定积分的定义及其几何意义2、 定积分的性质中值定理，设f（x）在上连续，则存在使得定义：我们称为f（x）在上的积分平均值。二、 基本定理1、 变上限积分的函数定理：设f（x）在上连续，则在上可导，且推广形式，设，可导，f(x)连续，则2、 牛顿莱布尼兹公式设 f（x）在上可积，为f（x）在上任意一个原函数，则有三、定积分的换元积分法和分部积分法1、（x在上有连续导数，单调，）2、四、广义积分定积分的积分区间是有限区间，又f（x）在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就

6、是两种不同类型的广义积分。1、 无穷区间上的广义积分定义：若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。2、无界函数的广义积分（瑕积分）(1)设f（x）在内连续，且，则称b为f（x）的瑕点。定义若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散。发散的广义积分没有值的概念。(2)设f（x）在内连续，且，则称a为f（x）的瑕点定义若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。（3）设f（x）在和皆连续

7、，且，则称C为f（x）的瑕点定义（乙）典型例题一、一般方法例1、计算下列定积分（1）（xlnxx）2（2）（3）（4）22二、用特殊方法计算定积分例1、计算下列定积分（1） I（f为连续函数，f（sinx）f（cosx）（2） I（3） I（a常数）（）（4） I解：（1）令x，则I， 2I， I（2）令x ，则I I ， 2I， I（3）令x，则I，2I，I（4）令9xt3，则 x39t，于是I因此，2I ，则I1例2、 设连续函数f（x）满足f（x）lnx，求解：令A，则f（x）lnxA，两边从1到e进行积分，得（xlnxx）A（e1）于是Ae（e1）A（e1），eA1，A，则例3、 设f

8、（x）连续，且，f（1）1，求解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u2xt，则2x（u>0）代入条件方程后，两边对x求导，得三、递推方法例1、设（n0，1，2，）（1） 求证当n2时，（2） 求解：（1）xcosx (n1) =(n1) =(n1) （n1） n(n1) ，则（n）（2），1，当n2k 正偶数时， 当n2k1 正奇数时，例2、设 ，求证 证：令xt, = 则 例3、设 求证解： 例4：计算（n为正整数）解一：令xcost解二： 四、 广义积分例1、 计算I解：I 0 lnln1lnln2（这里ln10） 于是Iln2例2 计算解：令x ，I由于 I= =

9、arctan =§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题一、 有关变上（下）限积分例1、设f（x）= (常数)，求解： 例2、设f（x）在内可导，f（1），对所有x，t，均有，求f（x）解：把所给方程两边求x求导，tf（xt）tf（x）du把x1代入，得 tf（t） 再两边对t求导，得f（t）t于是，则f（t）=lnt + C ,令t=1代入得C=f（1） ，所以f（x）（lnx+1）例3 设f（x）为连续函数，且满足2，求f（x）在0,2上的最大值与最小值。解：先从方程中求出f（x），为此方程两边对x求导 =而=因此 两边再对x求导，得2f（2x）2412x6 f（x）3 6x3

10、，令0 得驻点 x又在0,2上f（x）没有不可导点，比较f（0）0，f（），f（2）6可知f（x）在0,2上最大值为f（2）6，最小值为f（）例4 设f（x）在上连续，且f（x）>0,证明g（x）内单调增加证：当x>0时，因为 g（x）在内单调增加二、积分证明题例1、设f（x）在0,上连续，求证存在证：令F（x） 则F(0)0，F()0，又0如果F(x)sinx在（0,）内恒为正，恒为负 则也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）0 于是在区间上分别用罗尔定理，则存在使，存在0，其中例2、设在0,1上有连续的一阶导数，且f（0）f（1）0，试证：，其中M证：用拉

11、格朗日中值定理f（x）f（x）f（0），其中f（x）f（x）f（1）=,其中由 题设可知; 又因此M例3设f（x），g（x）在上连续，证明证一：（引入参数法）设t为实参数， 则2作为t的一元二次不等式 A2BtC，则AC0即,因此证二：（引入变上限积分）令F（u）于是2f（u）g（u） 则 F（u）在上单调不增 故即证三： （化为二重积分处理）令 I ， 则I，其中区域D：，同理 I 2I，故2I因此，I例4设f（x）在上连续，证明证：在例3中，令g（x）1，则于是例5设在上连续，且>0，证明证：在例3柯西不等式中，取f(x)为 ，g(x)为则 ，而因此例6、设在上具有连续导数，且0，求

12、证：证：在例3柯西不等式中取f(x)为，g（x）为x于是=§3.4 定积分的应用（甲）内容要点一、平面图形的面积1直角坐标系模型 ，其中 ， 模型 ，其中 ，注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型加以计算，然后再相加。2. 极坐标系模型 模型 3参数形式表出的曲线所围成的面积设 曲线C的参数方程 在（或）上有连续导数，且不变号，且连续。则曲边梯形面积（曲线C与直线xa，xb和x轴所围成）二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）（略）三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积（1）平面图形由曲线y=f(x) () 与直线xa，xb 和x轴围成绕x轴旋转一周的体积 绕y轴旋转一周的

13、体积（2）平面图形由曲线x=g(y) () 与直线yc，yd 和y轴围成绕y轴旋转一周的体积 绕x轴旋转一周的体积四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）（略）(乙)典型例题一、在几何方面的应用例1、求曲线 处法线与曲线所围成图形的面积解： 先找出法线方程 法线方程 y1（1）（x） xy曲线和法线xy的另一交点为所求面积 S例2、设f(x)在上连续，在（a, b）内，证明，且唯一，使得yf（x），yf，xa，所围面积是yf（x），yf，xb 所围面积的三倍。证：令F（t） 由连续函数介值定理的推论可知使F0再由，可知f（x）的单调增加性，则唯一例3、设yf（x）在上为任一非负连续函

14、数。（1）试证：，使上以f（x）为高的矩形面积等于上以yf（x）为曲边的曲边梯形面积。（2）又设f（x）在（0，1）内可导，且，证明（1）中唯一。（1）证：设，则，且，对F(x)在上用罗尔定理，使，即证毕（2）证：令 2f(x)<0(由（2）的已知条件)因此在（0，1）内， 单调减少，是唯一的例4 求由曲线y和直线y0，x1，x3 所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。解一：平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积27所求体积=+=9解二： = =例5、设是由抛物线和直线x=a, x=2 及y=0 所围成的平面区域; 是由抛物线和直线x=a, y=0

15、所围成的平面区域, 其中0<a<2.(1) 试求绕x轴旋转而成的旋转体体积;绕y轴而成的旋转体体积(如图)(2)问当a为何值时, +取得最大值? 试求此最大值解 (1) = =或 =(2) V=+=由=0,得区间 (a,2) 内的唯一驻点 a=1.又因此a=1 是极大值点, 也是最大值点. 此时+的最大值为二 物理和力学方面应用(数学一和数学二)例 为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口, 已知井深30m, 抓斗自重400N, 缆绳每米重 50N, 抓斗抓起污泥重2000N, 提升速度 3m/s, 提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起

16、污泥的抓斗提升到井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?说明：(1) 1N1m=1J; m, N, s, J 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳. (2)抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.解：所需作功 W= 是克服抓斗自重所作的功=40030=12000 是克服缆绳重力作的功=是提取污泥所作的功=所以 W=91500(J)三、经济方面应用(数学三和数学四)例1 设某商品每天生产x单位时固定成本40元, 边际成本函数为(元/单位), 求总成本函数C(x), 最小平均成本. 若该商品的销售单价为20元, 且产品全部售出, 问每天生产多少单位时才能获得最大利润, 最大利润多少?解: (1) =0.2x+2, C(x)=+40 = +40 = , 令 （舍去）， ， 故生产20单位时平均成本最小为.(2) 总收益 R（x）= 20x , 总利润L（x）20x (0.1+2x+40) =(18x 0.1 40) , 令 18 0.2x 0x90 ， , 因此，每天生产90单位时，才能获得最大利润。 最大利润为 L（90）(18x 0.1 40)270（元）例2 由于折旧等因素，某机器转售价格P（t）是时间t（周）的减函数P（t）（元），其中A是机器的最初价格。在任何时间t，机器开动就能产生R的利润。问机器