高等工程数学讲义华科矩阵论

1、矩阵论为何要学矩阵论？自然界和社会发展的本质“变”（change）。种子幼苗 树林 房梁、桌椅婴儿小学生中学生硕士、博士数学描述：f：xy=f(x)：RxRy function推于T： ： transformationB，B具有线性结构：，变换具有线性性质：，那么可表为向量=（x1， xn）T，T可表为矩阵 ， 因此要研究矩阵的性质。（等于研究线性变换的性质）如解线性方程组：Ax=b，存在？唯一？正如二次型若有P使则 标准化其中 引出相似对角化问题。2.方阵的相似化简2.1 Jordan标准型21.1 矩阵的相似及对角化A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。A课相似对角化定理1.5.6

2、 A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量。事实上 取 （可选）有P-1AP=为求特征值的代数重数为求特征向量解有个线性无关的解的几何重数定理2.1.1 对任何方阵A的特征值有证明： t=1，。补充 使可逆P-1 AP=A-I=i-kiA22-Iniki推理（P57）若A的任一特征值满足niki，则A可以对角化例（P80）将A=进行相似化简解：首先解A-I=1-2-2=0的特征值对1=1得 x=0 得x1=对2=2，n2 =2得 x=0 得x2=由于k2=12=n2 知A不可对角化全因rank（A-2I）=2，使k2=3-2=1而由 rankA-2I2rank（A-2I） 可考虑 (A-2I)

3、2x = x = 0 （*）rankA-2I2=1dingN（A-2I2）=3-1=2= n2A-2I2 x2=A-2IA-2Ix2=0 即x2为（*）的解另一解x3，A-2Ix3=x2 则A-2I2 x3=A-2Ix2=0 即x3为（*）的解于是解x=得x3= （取x2=，得x3=） 注意到A-2Ix3=x2 A x3= x2 +2x3因此 A=即取P=，x1 x2 x3 线性无关，P-1存在就有 P-1 AP=J AJ例2 将A=进行相似化简解： A-I=1-32-对1=2， n1=1 解A-2Ix=0，得x1=T对i=1， n2 =3解x=0 得x2=，x3=rank（A-I）=2，k2

4、=4-2=23=n2，故A不可对角化考虑解齐次线性方程组A-Ix=x2 即 x= 无解（同理A-2x=x3无解）故另取x3= x2- x3=，解 x=，得x4=令P=(x1 x2 x x4) = 注意到Ax4 = x + x4有P-1AP=2.1.2 Jordon矩阵Jordon块Jl=Jordon矩阵diag(Jl1, Jl2，Jls)如例1中=例2中=2.1.3 k级根向量（广义特征向量）及其性质 A关于特征向量l0的k级根向量x:(A- l0I)k-1x0但(A- l0I)kx=0 特别，特征向量即为1级根向量。例1中的x3和例2中的x4为二级根向量。定理2.1-2 A关于l0的不同级根

5、向量线性无关。证明：设xi为A关于l0的i级根向量，i=1，p，且有a1x1+ a2x2+ apxp=0将上式左乘(A- l0I)p-1得(A- l0I)p-1xi = ap(A- l0I )p-1xp=0由(A- l0I)p-1xp0得ap=0。同理，依次可证，ap-1 = ap-2= a1=0。定理2.1-3 A关于不同特征值根向量线性无关。证明：设l1，ls 向为A的特征值，lilj(ij).xi为A关于li的ni级根向量，i=1，s,若a1x1+ a2x2+ asxs=0将上式左乘(A- l1I) n1-1(A- l2I) n2 (A- lsI) ns。由于矩阵多项式可换序相乘及(A-

6、 l2I) n2 (A- liI) ni xi=0, i=2，s,得a1 (A- l2I)n2(A- lsI)ns (A- l1I)n1-1x1=0记y=(A- l1I)n1-1x1,则y0且(A- l1I)y=0。当lil1时(A- l1I)my=(A- l1I)m-1(Ay- liI)y =( l1- li)(A- liI)m-2y =( l1- li)my可见，a1 (A- l2I)n2(A- lsI)ns (A- l1I)n1-1x1 = a1( l1- l2)n2( l1- ls)ns y=0由lil1,i=2,6和y0得a1=0，同理可推得a2= as=0。2.1.4 矩阵A的Jo

7、rdan标准形A关于特征值l0 根空间Nl0 = x| （A -l0 *I ）n0 x=0n0 为l0 的代数重数。A关 于特征值的指标r是A关于根向量的最高级数，即若：（A -l0 *I ）m x=0（m>r)则 (A -l0 *I )r x=0即：Nl0 = x| (A -l0 *I )r x=0rn0例如：在例2中对l2 =1有n2=3，r=2因为：(A-I)3 =(A-I)*(A-I)2= 0 0 -1 -1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

8、 0 0 1=(A-I)2一般有结论 dimNl0 =n0 从而有存在唯一性定理：任一复矩阵A 一定相似于一个Jordan矩阵J,且若不计J中Jordan块的次序，J是唯一的(但p不唯一),视J为A的Jordan标准形。例3 (p44 例4) 求A = 1 -1 1 1 0 0 的Jordan标准形。 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 解: | A -l *I | = 3-l -1 2-l 0 1-l 1 = l (2-l)5 1 1-l 0 2-l 1 1-l 对 l 1 =0 解 A x=

9、0 解得 x1= (0 0 0 0 1 -1)T对 l 2 =0 考虑方程组 1 -1 1 1 0 0 x = y1 1 -1 -1 -1 0 0 y2 0 0 0 0 1 1 y3 0 0 0 0 -1-1 y4 0 0 0 0 -1 1 y5 0 0 0 0 1 -1 y6( r2-r1)*(-0.5) 1 -1 0 0 0 0 (y1+y2 )/2 r1-r2 0 0 1 1 0 0 (y1-y2 )/2 0 0 0 0 1 0 (y3-y5)/2 r4+r3,r6+r5 0 0 0 0 0 0 (y3+y4 )(r3+r5)/2,r3-r5 0 0 0 0 0 1 (y3+y5)/2

10、0 0 0 0 0 0 (y5+ y6)令 y=0 得到一级根向量 x2(1) =(1 1 0 0 0 0 )Tx3(1) =(0 0 -1 1 0 0)T令 y= x2(1) 得到二级根向量 x2(2) =(1 0 0 0 0 0 )Ty= x3(1) 得x3(2) =(0 0 0 0 -1/2 -1/2)T令 y= x2(2) 得到三级根向量 x2(3) =(1/2 0 1/2 0 0 0 )T取P= (x1,x2(1) , x2(2) , x3(2) , x3(1) ,x3(2) )则有 P-1AP= 0 = J0 2 1 2 1 J2(1) 2 2 1 2 J2(2)步骤：(1) 求特

11、征值l 1。l s 即(A -l0 *I ) = n(2)求n个线性无关的根向量xi(j) i=1.s j=1.ri即 | A -li *I | xij =xij -1注意方程组必需有解 ，xi(0)=0;取P=(x1.xn) 使得 P-1AP=J=diag( Jl 1 , .Jl s) j=1.riJ的特点：(1) Jl i 的阶数= ni (代数重数)(2) Jl i =diag(Ji1 , .Ji ki) k i =n-rank(A -li *I )(3) Ji1 , .Ji ki 的最大阶数=ri (li 的指标 )2.1.5 应用举例例4 （P97例5）求例1中A=的k次方Ak。解

12、由例1知 A J1=1 J2=J22= J23=.J2k=AK=PJP -1PJP -1PJP -1.PJP -1=PP-1 = = =+2.2 最小多项式2.2.1 幂零矩阵Jordan块J=I+UU= U2= .Ur-1=，Ur=0Jk=（I+U）k=kI+k-1kU+k-2U2+Uk =kI+(k)'U+(k)''U+Uk=幂零矩阵A0，Ak=0 如=性质：幂零矩阵的特征值为零（P53 1.5） 因为0=Akx=kx 且x0k=0=02.2.2 矩阵多项式g(t)=a0tm+a1tm-1+am-1t+amt0用A替换上式的t，g(A)=a0Am+a1Am-1+am

13、-1A+amA0如g(t)=5t2+2 A= g(A)=5+2=性质（P52定理1.5-3）若 Ax=x(x0)，则g(A)x=g()x因为 Akx=Ak-1(x)=Ak-2(x)=kx k=0,1,g(A)x=(a0Am+a1Am-1+amA0)x = a0Amx+a1Am-1x+amA0x=g()x计算A的多项式计算其Jordan标准型的多项式：P-1AP=J A= P-1JP Ak= AJk P-1g(A)= = P P-1 =P g(J) P-1 =P diag (g(J1) , , g(Jr) P-1例 6 计算例2中A=的多项式g(A)=A34A25A2I解 由例2知AJ=，其中J

14、1=2,J2=1,J=g(J1)=g(2)=0 , g(J2)=g(1)=0g(J)= 452=故g(A)=Pg(J)P-1=0一般对r阶Jordan块Jl有g(Jl)有223零化多项式A的零化多项式g(l)g(A) , g(l)0定理2.2-1（Cayley-Hamiltion）f(l)=|AlI|为A的零化多项式（注意，不可认为f(A)=|AA|=0）证明：设f(l)=|AlI|=(l1l)n1(l2l)n2(lsl)ns , 则f(li)=f(li)= f(ni-1)(li)=0 i=1s而对任一li相应的gi(指标)ni(代数重数)，所以有f(Ji)=0其中 g(A)=P-1AP=J=

15、diag( J1 , Jm ) Jk为Jordan块从而 g(A)= P-1g(J)P=Pdiag (g(J1) ,g(Jm) P-1 =0注1：定理住处3对任何方阵A，零化多项式是存在的，但显然不唯一，事实上对g(l)=f(l)h(l) 都有g(A)f(A)h(A)=0注2 ：f(A)=0 =An =b1An-1 +b2An-2 + bnI = > Am= (mn)进而A的任意多项式g(A)都可通过低阶多项式r(A)计算，其中r(l)的阶n1事实上设g(l)=q(l)f(l)+r(l) 则g(A)=r(A)例7（P106例2）设A=,求g(A)=2A53A4A3+2AI解 fA(A)=

16、2l5-3l4-l3+2l-1=g(l)f(l)+r(l) , r(l)=a0l2+a1l+a2由fA(2)= fA(1)=0 ，fA(1)=0 得g(2)= 4a0+2a1+a2 =11g(1)= a0+a1+a2 =1g(1)= 2a0+a1 =3得上求方程组的a0=15 , a1=-33，a2 =17故g(A)=r(A)=153317=例8（P108例3） 求上例中A=的逆矩阵A-1解 fA(l)=|A-lI|=(2l)（1l）2=l3+4l2-5l+2|A|=2×1×1 0, A可逆 且由f(A)= A3+4A2-5A+2I=0得 A (A2+4A-5I)/2=I故

17、 A-1= A 2(A2+4A-5I)=最小多项式A的最小多项式，满足mA（A）=0的最低阶，首一多项式mA（l）。定理2.2-2 ：若g（l）满足g（A）=0，则mA(l)可整除g（l），mA（l）唯一。 证明：设g（l）= q（l）mA（l）+r（l），r（l）次数mA（l）的次数。 g（A）=0和mA（A）=0得r（A）=0 故r（l）0 否则与mA（l）为最小多项式导数，即g（l）= q（l）mA（l） mA（l）可整除g（l）若m1（l）和m2（l）均为A的最小多项式，则m1（l）|m2（l），m2（l）|m1（l）=> m2（l）=b*m1（l）由首一性得b=1，即m1（l）

18、=m2（l）推理mA（l）|fA（l）定理2.2-3：l0为A的特征值ó mA（l0）=0 证明 设Ax= l0x (x0),由定理1.5-3 “=>” 0=mA（A）x=mA（l0）x x0 => mA（l0）=0.“<=”若mA（l0）=0 ，由定理2.2-2和定理2.2-1 fA（l0）= q（l）mA（l0）=0定理2.2-3给出了求mA（l）的试探法若fA（l）=(l1-l)n1(l2-l)n2.(ls-l)ns, =n则mA（l）=(l1-l)r1(l2-l)r2.(ls-l)rs,1rini,i=1，2，···，s特别若n

19、i=1则mA（l）= fA（l）例9 设A=，求mA（l）解 fA（l）=（3-l）（2-l）3mA（l）有三种可能：（l-3）（l-2），（l-3）（l-2）2，（l-3）（l-2）3（A-3I）（A-2I）=，（A-3I）（A-2I）2=0故mA（l）=（l-3）（l-2）2一般，若A=diag(A1,A2,···Am)，则mA（l）为mA1（l）, ···mAm（l）的最小公倍式。如上例中mA1（l）=（l-2）2，mA2（l）=（l-3）（l-2）ð mA（l）=（l-2）2由于AJ有g（A）=P g（J）P-1，则

20、mA（l）=mJ（l）而J=diag(J1,···,Jm) ,Jm=(Ji-liI)r=Ur=0 即mJi（l）=（l-li）r-1因此mA（l）=（l-l1）1（l-l2）2···（l-ls）rs其中lilj,ri为A相应于li的指标。如AJ=, mA（l）=（l+2）3（l-5）2 (p110,例4).定理2.2-4 方阵可相似对角化<=> mA（l）没有重根。证明：“=>” Adiag(l1, l2,···lm)，每个li为一阶Jordan块 故mA（l）=（l-l1）（l-l2）

21、···（l-ls）。即ri=1“<=”设mA（l）=（l-l1）（l-l2）···（l-ls） lilj则ri=1 每个Jordan块均为一阶，即A可相似对角化。 例10（P112例5）设方阵A满足A3-3A2-A+3I=0，证明A必可相似对角化。证明：由题g（l）=l3-3l2-l+3是A的零化多项式，而g（l）=（l+1）（l-1）（l-3）无重根mA（l）|g（l），mA（l）亦没有重根，故A可相似对角化。2.3 方阵的酋（正交）相似化简证明题：P-1AP=J，放宽J为R，加严P为U，UHAU=R优点：R-1，R1R2似为

22、三角，特征值为rii，易解Rx=b等。2.3.1 酋矩阵与正规矩阵酋矩阵 UU-1= UH=正交矩阵 TT-1= TT（元素为实数的酋矩阵）优点：y=Ux，|y|=|x|，U的各列向量构成标准基正规矩阵 A AHA = AAH如：Hermite矩阵AH=A，反Hermite矩阵AH=-A，酋矩阵AH=A-1，对称阵AT=A，反对称阵AT=-A，正交阵AT=A-1，均为正规阵。性质1：设A为n阶正规阵=>|Ax|=|AHx|，|Ax|2=< Ax,Ax >=( Ax)T()=( Ax)H(Ax)=xHAHAx |AH x|2=< AH x, AH x >=( AH

23、x)H(AH x)= xHAAHx性质2：A的特征向量也是AH的特征向量。性质3：AHA=AAH <=> 2.3.2 Schur定理及其应用定理2.3-1：任一n阶方阵A都酋相似于一个上三角阵R，即存在U（UHU=I）使UHAU=R=（rij）nxn，rij=0(i>j)，且r11, rnn为A的特征值。证明：用数学归纳法n=1时，A是上三角阵，U=1，设对n-1阶方阵A1,有n-1阶酋矩阵U1使U1HA1U1=R1为上三角阵。对n阶方阵A，若有A1=11（1为特征值，1为单位特征向量） 扩充1>标准正交基（1, n）U2则 A U2=（A1,A n）=（1, n）即U

24、2HA2U2=，取U3=，则U= U2 U3为酋矩阵UHAU= U2HU2HAU2 U3= U3H = =由AR知其有相同的特征多项式（特征值亦同），故Tii为A的特征值。例11(P115例1)设A=(aij)nxn，B=(bij)nxn，UHAU=B=>证明：UHAU=B，UHAHU=BH，从而UHAAHU= BBH，AAH与BBH有相同的特征值，故trAAH=trBBH即，trAAH=例12(P116例2)设1,n为n阶方阵的特征值，则证明：有Schur定理UHAU=R，1=rii，i=1r由例1：定理2.3.2 对n阶方阵A,存在矩阵U使对角化证明 “” “”由Skhur定理 （同

25、“”的证明） R对角阵推论 实对称矩阵必可对角化正规矩阵性质2和性质3的证明：性质2 ，证则 ，i=1,n ，i=1,n即为A相应于的特征向量，也是相应于的特征向量。性质3: 2.3.3 实方阵的正交化简定理2.4-1若n阶方阵A的n个特征值均为实数,则A正交相似于一个实上三角阵.例13(P120例1)设,求正交阵Q使为上三角阵R.解,对解 得一特征向量 则,注,本题A1已为上三角阵,从而R为上三角阵,否则对A1实施上述步骤,直至R为上三角阵为止.镜像（householder）变换（矩阵）=（I-2 w wT）aHouseholder矩阵（变换）显然 HwT=Hw ，且HwTHw=（I-2 w

26、 wT）（I-2 w wT） =I- I-2 w wT- I-2 w wT+4 w wT w wT =I即Hw为对称正交阵，Hw= HwT= Hw-1另对任何向量a,b，当| a| =| b | 时，有Hwa= b取 w=a-b / |a-b|,则Hw=I-2（a-b）（a-b）T/|a-b|2Ha =（I-2（a-b）（a-b）T/|a-b|2）（a-b+b） =(a-b)+2(a-b)-2b（a-b）（a-b）T/|a-b|2 =b-(a-b)（a-b）（a-b）T/|a-b|2 -2b（a-b）（a-b）T/|a-b|2 =b-(a-b)（a+b）（a-b）T/|a-b|2 =b （a-

27、b）（a-b）T=aaT-bbT2.3.5 Hessenberg矩阵A=(aij)m×n aij=0,i>j+1 = 上Hessenberg矩阵 => AT为下的Hessenberg阵定理任一n阶实方阵A都正交相似于一个上Hessenberg阵记A=n-1取householder阵H1使H1=（，00）T令Q1= 则Q1TQ1=Q1Q1=IQ1AQ1= = =再对A1*实施上述步骤：A1*=取H2使H21=Q2=则Q1TQ1TQ1Q1=至多进行n-2次变换可解Qn-2TQ2TQ1TAQ1Q2Qn-2=上Hessenberg阵例14（p126例3）用Householder变

28、换使A=正交相似于上Hessenberg阵解 x=y=w=H=I-2/2=则QAQT= =3向量范数和矩阵范数3.1 向量范数定义 设V是数域的向量空间，对任一,有实数满足：（1） 正定性： 且 （2） 齐次性：（3） 三角不等式：则称为的范数。赋范空间-定义了范数的向量空间范数的连续性 取则，由三角不等式有由齐次性即（比）常用范数 ，例1 举例说明当时，不是向量范数。解：取，则。不满足（3）例2.设A是一个正定矩阵，证明是一种向量范数（加权范数）证：（1）A正定且 （2） （3）上式作为t的二次多项式有判别式即不等式两边开平方即得三角不等式 ： 特别取A为I时有： 3.1.4 范数的等价性

29、定理 设和是上的两个向量范数，则和使3.2 矩阵范数3.2.1 定义矩阵范数是Cmxn的实函数，满足：（1） 正定性：0且=0A=0mxn（2） 齐次性：=|K|A|, KC，（3） 三角不等式：|A+B|A|+|B|（4） 相容性： |AB|A| |B|用向量拉直（构造矩阵范数）A=（a1 ，a2 ，an）Vec A=（a1T,anT）T自然整洁|A|=|VecA|例3（P134例1）|A|F，|A|v1等，但|A|vec不是矩阵范书其中|A|F =（|aij|1/2=trAHA（Forbenices范数）|A|v1=|aij|A|Vco=|aij| 易证三者满足（1）（2）（3），对相容性

30、进行判断：A=（aij）mxn B=（bjk）nxs AB = (aijbjc)mxs|AB|F = |aij bjk|21/2 |aij| |bjk|)21/2 (|aij|)2(|bjk|)21/2 =(|aij|)2 (|bjk|)21/2 =|A|F |B|F 同理可证：|AB|v1|A|v1|B|v1设A=B=则AB= |AB|Vco=max=2>1x1=|A|Vec|A| Vec 不满足相容性。协调性与诱导范数与向量范数协调的范数|Ax|A|x|矩阵的诱导范数（算子范数）|A|=|AX|首先，由向量范数的连续性，知|Ax|在闭区域D1=x，|x|=1上可以达到最大值，即有x*

31、满足| x*|=1，使得|A|=|AX|=| x*|其次对任何|x|0有|=1， |A|=|A|A|AX|故x0时，|Ax|A|x|，而x=0时等号或正，即|A|具有协调性最后证明诱导范数满足矩阵范数的定义。（1）|A|=|A x*|0且A0时，存在x0使| x0|=1，Ax00，故|A|Ax0|>0A=0时，有Ax=0，故|A|=max|Ax|=0（2）|KA|=|k|=|K|A|(3) |A+B|=|Ax*+Bx*| |Ax*|+|Bx*| +=|A|+|B|（4）定理3.2-1 当向量范数取为，和时，相应的诱导范数分别为：（1），（列最大模和）（2），（行最大模和）（3），为的最大

32、特征值证明：（1）设又若，取，从而(4) 设又若，取，从而（3）设Hermite矩阵有，为上的标准正交基（为非负定）则对任何有又，例4（P140例5）设A= ，求|A|1，|A|，|A|2解： |A|1=max6,14,4=14 |A|=max8,3,13=13 AHA= fATA ()=（-0.017）（-9.323）（-102.66）|A|2=10.132应用举例 例5（P138例3）证明若A的诱导范数|A|<1,则I-A是可逆的，且证明 若I-A不可逆，则（I-A）x=0有非零解，即有满足 ，矛盾。故I=A可逆，证 ,则有于是 例6（P139例4）设方阵可逆，则线性方程组Ax=b有

33、唯一解，讨论当b有误差时，解的相对误差有多大？解 由 解x有 （绝对误差限） 又由Ax=b得，即，于是 （相对误差限） 称Cond(A)=为方阵A的条件数。注意到由相容性例7（续例4）求例4中A的条件数解 3.3 方阵的谱半径3.3.1 定义设Axi=ixi，i=1，2，n，x0。A的谱是Sp(A)=1，n；A的谱半径如：A=0 0;3 00，但(A)=0，不满足正定性；B=2 3;0 2,(B)=2，但(A+B)=2 3;3 2=5>0+2，不满足三角不等式；(AB)=0 0;0 9=9>(A)(B)=0，不满足相容性定理。3.3.2 范数的关系定理3.3-1 ：(1)(A)|A

34、|，(2)>0，存在|A|*=>|A|*(A)+证明（相对诱导范数证明(1)） 设Ax=x，x0| |x|=|x|=|Ax|A| |x|（协调性） =>|A| => (A)|A|例7 (P 143例1) 若AH=A，则(A)=|A|2证明：若Ax=x，则AHAx=A2x=2x例8（例2，P144）|A|0 =>cond(A) 证明：Ax=x => A-1x =-1x (|A|0 =>|0）Cond（A）= |A| |A-1|(A).(A-1) 定理结论（1） = 4 方阵函数4.1 矩阵级数4.1.1 矩阵序列的极限 , K=1,2, 收敛于A = A

35、= i=1,2,m，j=1,2,n 发散至少有,使不存在 4.1.2 性质若 = A， = B，则 (a,b为常数) ， 4.1.3 矩阵级数 例1 （P147 例1）设 ， k=1,2,4.1.4 序列收敛的范数定义 的收敛性(A为方阵)证明：如 A= 但 证明： ordan标准型故 。4.1.6 方阵的幂级数定理 4.1-3 设幂级数的收敛半径为R，则证明 由P-1AP=diag(J1，Js)J，有记当|<R 时，当|>R 时，必有一个发散，故而发散例2 （P150例2）讨论方阵幂级数的收敛性的收敛半径R=而方阵A=1 4;-2 -3的特征值为=-1±2i，谱半径(A

36、)=，故该方阵幂级数发散。例3（P151 例3） 讨论的收敛性解：对，故定理4.1-3失效，式中两个级数均为（单调）叉错级数，因而收敛，从而收敛*将xx展开傅里叶级数由4.2 方阵函数及其计算4.2.1 方阵函数的级数定义方阵A的函数， 其中复变量级数的收敛半径为R。如， 可推广 。 ， ， ，4.2.2 利用A的Jordan标准形求定理：，例4（例1），设，求，。解： ，类似例5（例2） 设，求，解： = =将用代可得（见例6）4.2.3 利用零化多项式求f(A) 原理：若h(l)=ln +a1ln-1+an , 使h(A)=0 , 比如 fA (A)>0 ,则An= -a1An-1-

37、anI 进而Am=fn-1(A),mn,于是矩阵函数f(A)=CKAK=b1An-1+b2An-2+bnIn=g(A)A=PP 1 f(Ji)=g(Ji) i=1,2s=方法： f(li) =g(li), f(li) = g(li),，f（ni-1）(li) = g(ni-1)(li) 由上述n1+n2+ ns=n 的方程 解出 b1，b2，,bn例6 设A同例5，试用零化多项式方法求eAt解： 由=（l-2）（l+1）2可设g(l)=b1l2+b2l+b3 ,f(l)=elt记 B=, 则B-1=,=B-1=eAt=g(A)=b1A2+b2A+b3I = A = A2=4.3 函数矩阵及其应用函数矩阵A(t) = aij(t)m×n,函数矩阵的导数矩阵性质（1） （2）X(t)