长春吉林大学附属实验学校级高二年级数学学科圆锥曲线的参数方程 教师版学案

1、2019级高二年级数学学科学案学案类型：新授课 材料序号： 13 编稿教师： 滕苑 审稿教师：金莹 选修4-4 第四讲 圆锥曲线的参数方程 一、学习目标 （1）掌握圆锥曲线的参数方程，会用参数方程求解一些最值问题（2）掌握椭圆参数方程，理解椭圆参数方程中的几何意义（3）了解抛物线和双曲线的参数方程，了解抛物线参数方程中参数的几何意义二、知识解析（一）椭圆的参数方程如图所示，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆设为大圆上的任一点，连接，与小圆交于点过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点设以为始边，为终边的角为，点的坐标是那么点的横坐标为，点的纵坐标为由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有：，当半

2、径绕点旋转一周时，就得到了点的轨迹，它的参数方程是这是中心在原点，焦点在轴上的椭圆.在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为（二）双曲线的参数方程如图所示，以原点为圆心，为半径分别作同心圆设为圆上任一点，作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点过点分别作轴，轴的平行线交于点设为始边，为终边的角为，点的坐标是那么点的坐标为，点的坐标为因为点在圆上，由圆的参数方程得点的坐标为，所以因为，所以，从而解得记，则因为点在角的终边上，由三角函数的定义有，即所以，点的轨迹的参数方程为由消去参数后得到点的轨迹的普通方程在双曲线的参数方程中，通常规定参数的范围为，且（三）抛物线的参

3、数方程如图所示，设抛物线的普通方程为，其中表示焦点到准线的距离设为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为终边的角记作显然，当在内变化时，点在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点与之对应因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程由于点在的终边上，根据三角函数定义可得可得这就是抛物线的参数方程如果令，则得：当时，方程表示的点正好是抛物线的顶点因此，当时，参数方程就表示整条抛物线三、例题分析类型一 椭圆的参数方程例1 在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离解析：因为椭圆的参数方程为，所以点的坐标为由点到直线的距离公式，得到点到直线的距离为其中满足.由三角函数性质知，当时

4、，取最小值此时因此，当点位于时，点与直线的距离取最小值类型二 双曲线的参数方程例2 如图，设为双曲线上任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于两点.探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？解析:双曲线的渐近线方程为.不妨设为双曲线右支上一点,其坐标为，则直线的方程为.(*)将带入（*），解得点的坐标为.同理可得，点的横坐标为.设，则.因此，平行四边形的面积为类型三 抛物线的参数方程例3如图，是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且，并与相交于点.（）求的面积的最小值；（）求线段中点的轨迹方程；（）求点的轨迹方程；解析：设抛物线的参数方程为(为参数)，并设，（

5、）的面积当且仅当，且时取等号.（）设，由中点公式得（）当斜率存在时，且，则的交点为的轨迹方程，联立方程得由联立，得，即.当斜率不存在时，且，不妨设，则点，也符合.点的轨迹方程为.四、巩固提高（一）选择题：（1）已知动圆：是正常数，是参数），则圆心的轨迹是（D）（A）直线（B）圆（C）抛物线的一部分（D）椭圆（2）是椭圆上一定点，为椭圆上异于的一动点，则的最大值为（C）（A）（B）（C）（D）（3）是椭圆上一点，且在第一象限，为原点）的倾斜角为，则点的坐标为（B）（A）（B）（C）（D）（4）参数方程表示（A）（A）抛物线的一部分，这部分过点（B）双曲线的一支，这支过点（C）双曲线的一支，这支过

6、点（D）抛物线的一部分，这部分过点（二）解答题：（5）根据下列条件求椭圆的参数方程：（）设为参数；（）设为参数解析：（）把代入椭圆方程，得到，于是，于是，由于具有任意性，与的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取因此，椭圆的参数方程是（）把代入椭圆方程，得到，于是，即因此，椭圆的参数方程是或（6）如图所示，已知点是椭圆上在第一象限的点，和是椭圆的两个顶点，为原点，求四边形的面积的最大值解析：由椭圆参数方程，故可设，其中，因此所以，当时，四边形面积的最大值为（7）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点在该椭圆上运动，求的重心的轨迹方程解析：设的坐标为，由于点不与重合，故设的重心的坐标为，依题意，知，由三角形的重心坐标公式，得，即其中，这就是重心的参数方程，消去参数，得，点及除外所以的重心的轨迹方程为，点及除外（8）已知椭圆上任意一点（除短轴端点外