弹性力学基本理论

1、弹 性 力学及有限单元法陈孝珍(教授)南阳理工学院土木工程系第一页，共176页。第二页，共176页。第三页，共176页。第四页，共176页。第五页，共176页。第六页，共176页。第七页，共176页。第八页，共176页。第九页，共176页。 假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。第十页，共176页。第十一页，共176页。假定物体由同种材料组成,因此， E、等与位置 无关。假定物体各向同性。E、与方向无关。由3、4知E、等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。),(zyx第十二页，共176页。假定位移和形变为很小。a.位移物体尺寸， 例：梁的挠度v梁高h。例：梁的 1弧度。b. ,

2、1. g 3 101- 鬃 鬃2),(第十四页，共176页。弹性力学根本假定，确定了弹性力学的研究范围: 理想弹性体的小变形问题。第十五页，共176页。第十六页，共176页。第十七页，共176页。第十八页，共176页。第十九页，共176页。第二十页，共176页。 第二十一页，共176页。第二十二页，共176页。第二十三页，共176页。第二十四页，共176页。第五节第五节 用极坐标解法求解平面问题实例用极坐标解法求解平面问题实例 第一节第一节 弹性力学的根本概念弹性力学的根本概念第二节第二节 弹性力学平面问题弹性力学平面问题 的直角坐标解答的直角坐标解答第三节第三节 用直角坐标法求解平面问题实例

3、用直角坐标法求解平面问题实例第四节第四节 弹性力学平面问题的极坐标解法弹性力学平面问题的极坐标解法第二十五页，共176页。第二十六页，共176页。第二十七页，共176页。第二十八页，共176页。第二十九页，共176页。第三十页，共176页。第三十一页，共176页。(), ,f x y z(),f x yxyzxyyzzxsssttt、xyzxyyzzxuvweeeggg、 、 、 、xyxyxyxyuvssteeg、 、 、第三十二页，共176页。第三十三页，共176页。第三十四页，共176页。第三十五页，共176页。第三十六页，共176页。3、由于截面形状、体力、面力及、由于截面形状、体力、

4、面力及约束沿约束沿z向均不变，故应力、应变和向均不变，故应力、应变和位移均为位移均为x、y的函数。的函数。所以平面应变问题：所以平面应变问题：应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存存在，且仅为在，且仅为 。 xyyx,(),f x y第三十七页，共176页。隧道挡土墙yxyoxo第三十八页，共176页。第三十九页，共176页。第四十页，共176页。xyyx, ,，第四十一页，共176页。弧形闸门闸墩弧形闸门闸墩 深梁深梁yfyf第四十二页，共176页。因外表无任何面力，因外表无任何面力，0,0 xyff=即 ： 平面应力(),0.zzxzyttAB例题例题1 1：试分析：试分析ABA

5、B薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故外表上，有：故外表上，有：在近外表很薄一层内：在近外表很薄一层内：(),0zzxzy tt=第四十三页，共176页。第四十四页，共176页。变形前位置： 变形后位置： 各点的位置如图。 通过点P(x,y)作两正坐正坐标向的微分线段, ,PAdxPBdy=, , ,P A B定义定义,PA B第四十五页，共176页。应用根本假定：连续性；小变形。PA 线应变PB 线应变第四十六页，共176页。 适用于区域内任何点，因为适用于区域内任何点，因为Ax,y；对几何方程的说明：对几何方程的说明：, , .xyxyuvvuxyx

6、yeeg抖抖=+抖抖所以平面问题的几何方程平面问题的几何方程为： 适用条件：适用条件：a、连续性；、连续性；b、小变形。、小变形。 应用小变形假定，略去了高阶小应用小变形假定，略去了高阶小量量-线性的几何方程；线性的几何方程；第四十七页，共176页。 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。 形变和位移之间的关系： 位移确定形变完全确定； 从物理概念看，各点的位置确定，那么微分线段上的形变确定 。 从数学推导看，位移函数确定，那么其导数形变确定 。说明说明 第四十八页，共176页。 形变确定，位移不完全确定；从物理概念看， 、 确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看， 、 确定，求位移

7、是积分运算，出现待定函数。形变与位移的关系形变与位移的关系第四十九页，共176页。由由 , ,两边对两边对y y积分积分，由由 , ,两边对两边对x x积分，积分，例：假设例：假设 , ,求位移：求位移：0 xyxyeeg=0(a)xyvuxyg抖+=抖形变与位移的关系形变与位移的关系0 xuxe=0yvye=11( , )( ).u x yCf y=+22( , )( ).v x yCf x=+代入第三式代入第三式第五十页，共176页。分开变量， 12d ( )d( ) ( ).(b)ddfyfxyxw-= 因为几何方程第三式对任意的x，y均应满足。当xy变化时，式(b)的左，右均应=常数

8、，由此解出 。可得21, ff , . (c)oou uyv vx ww=-=+第五十一页，共176页。物理意义：00,vu表示物体绕原点的刚体转动。表示x，y向的刚体平移，第五十二页，共176页。结论结论 形变确定，那么与形变有关的位移可形变确定，那么与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移以确定，而与形变无关的刚体位移那么未定。须通过边界上的约束条件来确那么未定。须通过边界上的约束条件来确定定 。,oovu,oovu第五十三页，共176页。物理方程表示微分体上应力和形变 之间的物理关系。11(), ,11(), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGE

9、GEGemmgtemmgtemmgt=-=-=-=定义即为广义胡克定律：第五十四页，共176页。物理方程的说明：说明说明 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。 是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的； 适用条件理想弹性体；第五十五页，共176页。 物理方程的两种形式：物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于应变用应力表示，用于 按应力求解；按应力求解； 应力用应变再用位移表示应力用应变再用位移表示 表示，用于按位移求解。表示，用于按位移求解。( ) f =( ) f=说明说明第五十六页，共176页。平面应力问题的物理方程：代入 ，得：在z方向0zzxzytt=11(), (),(

10、a)2(1).xxyyyxxyxyEEEememmgt=-=-+= 0, ().zzxyEm= -+平面应力第五十七页，共176页。, xxyyyxEEemem=-=-2, xxyyyxEEemm emm=-=-上两式相加，得2()1xxyEemem=+-同理2()( 10,2.17)1yyxEPemem=+-式第五十八页，共176页。 2101011002( 10,2.18)xxyyxyxyEDPemmemmtge轾犏禳禳镲镲犏镲镲镲镲犏镲镲镲镲=犏睚睚镲镲犏-镲镲犏-镲镲镲镲镲镲犏铪铪犏臌=式第五十九页，共176页。平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，0,().zzxyesm ss=+

11、0zzxzyegg=第六十页，共176页。11(), ,11(), ,11(), .0,().xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyzzxyEGEGEGemmgtemmgtemmgtesm ss=-=-=-=+22221()(1)(1)1()(1)(1)xxyxyxyyyxxyyxEEemmmmmemmmmm=-+=-+=-+=-+ 22(1)1(1)1xxyyyxEEmemmmemm=-=-222(1)11(1)11xxyyyxEEmemmmmmemmmm=-骣=-桫 第六十一页，共176页。222(1)11(1)11xxyyyxEEmemmmmmemmmm=-骣=-桫 上面两式相

12、加可得：222(1)1(1)1xyxxEEmmeemmmm骣+=-桫()()()()22212(1)1(1)11(9,2.11)121xyxxxyEEEPmmeemmmmm ememm-+=-轾=-+犏臌-+第六十二页，共176页。同理()()()1(9,2.11)121yyxEPm ememm轾=-+犏臌-第六十三页，共176页。()()()()()()11211(9,2.11)121xxyyyxEEPm ememmm ememm轾=-+犏臌-+轾=-+犏臌-+第六十四页，共176页。2, .11EEmmmm-2(12), .(1)1EEmmmmm+平面应变物理方程平面应力物理方程：第六十五

13、页，共176页。第六十六页，共176页。应用的根本假定：连续性假定应力用连续函数来表示。小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。 第六十七页，共176页。列出平衡条件：合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件平衡条件第六十八页，共176页。那么平面问题的平衡微分方程表示为 即：即：0X=0Y=第六十九页，共176页。 适用的条件-连续性，小变形；xy说明说明对平衡微分方程的说明： 代表A中所有点的平衡条件， 因位 ，A； 应力不能直接求出； 对两类平面问题的方程一样。第七十页，共176页。理论力学考虑整体 的平衡只决定整体的运动状态。 VV

14、Vd说明说明比较:材料力学考虑有限体 的平衡近似。 弹性力学考虑微分体 的平衡准确。第七十一页，共176页。 当 均平衡时，保证 ， 平衡；反之那么不然。 VDV说明说明Vd 所以弹力的平衡条件是严格的，并且是准确的。 第七十二页，共176页。理力 V 材力 弹力 dVhx bD=鬃ddd1Vxy=hV dxdy dx第七十三页，共176页。第七十四页，共176页。11(), (),(a)2(1).xxyyyxxyxyEEEememmgt=-=-+= 222222222222221(),12(1)()yxxyyxyxyxyEyyxExxx yEx yemegtmm抖=-抖抖抖+=-=抖抖抖第七

15、十五页，共176页。第七十六页，共176页。222222xyxxyyXx yxxYx yyytt= -抖抖抖= -抖抖222222xyyxXYx yxxyyt抖抖= -抖抖抖两式相加代入下式第七十七页，共176页。222222222222()(1)()yyxxyxxyxyXYxxyymm抖抖+-+=抖抖抖+-抖抖222222222222()(1)()(1)()yyyxxxxyxyxyXYxymmm抖抖+-+抖抖抖抖=+-抖第七十八页，共176页。22222222(1)()yyxxxyxyXYxym抖抖+抖抖抖=+-抖2222()()(1)()xyxyXYxym抖+抖抖= -+抖第七十九页，共1

16、76页。2222()()(1)()xyxyXYxym抖+抖抖= -+抖第八十页，共176页。， 第八十一页，共176页。由平衡方程可知平面问题的应力边界条件第八十二页，共176页。假设x=a为正x面，l= 1, m = 0, 那么式(d)成为(), (). (e)x ax x axxyyfft=当边界面为坐标面时，坐标面yxbaxfyfxxfyfxyxxy第八十三页，共176页。假设x=-b为负x面，l = -1, m = 0 ,那么式(d)成为(), (). (f)xbx xbxxyyfft=-=-= -= -yxbaxfyfxxfyfxyxxy第八十四页，共176页。lh/2h/2qyxo

17、yyxxyyyxx例1列出边界条件：1q第八十五页，共176页。0( )0 ( )0.x 0 x 0 x, u,v=边界()0, ()0.x x lxy x lxl,=边界( ) ( )0.yhyxhyy22xhy,q ,2l=-=-=-=-=边 界1()0, ().yhyxhyy22hy,q2= +=边 界第八十六页，共176页。yxoqqqqbbaa例2列出边界条件：xyyyxx第八十七页，共176页。显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。b()0, ()0.yyyxybyb= = = =边界：xa= x2()( ) , ()0.x xaxyxaxayqb= = = =边界：第八十八

18、页，共176页。 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件3、混合边界条件： 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第八十九页，共176页。xa=,( )0,()0.xaxyxaxaut=yxoa第九十页，共176页。n弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。n圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第九十一页，共176页。第九十二页，共176页。圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 小边界，次要边界或部分边界；圣维南原理的说明：4.远处 指“近处之

19、外。3.近处 指面力变换范围的一，二倍 的部分区域；2.静力等效 指两者主矢量一样，对 同一点主矩也一样；第九十三页，共176页。第九十四页，共176页。第九十五页，共176页。第九十六页，共176页。第九十七页，共176页。 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定； 左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力一样，并按应力的方向规定确定正负号。第九十八页，共176页。假如给出的不是面力分布，而是给出单位宽度上面力的主矢和主矩 ，那么在 的小边界上边界条件表示为 第九十九页，共176页。第一百页，共176页。 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此

20、，两者的解答相似,只须将 进展变换。以下讨论平面应力问题。1.1.平面问题的根本方程及边界条件平面问题的根本方程及边界条件,E平面问题五、按位移求解平面问题五、按位移求解平面问题第一百零一页，共176页。0,0.yxxyxyXxyYyxtt+=抖抖+=抖 平面域平面域A内的根本方程内的根本方程:平衡微分方程平衡微分方程在在A A内内第一百零二页，共176页。, , .xyxyuvvuxyxyeeg抖抖=+抖抖11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEEememmgt=-=-+= 几何方程物理方程在在A A内内在在A A内内第一百零三页，共176页。22()1()(a)12(1)xxyy

21、yxxyxyEEE=+-=+-=+ 即:第一百零四页，共176页。 2101011002( 10,2.18)xxyyxyxyEDPemmemmtge轾犏禳禳镲镲犏镲镲镲镲犏镲镲镲镲=犏睚睚镲镲犏-镲镲犏-镲镲镲镲镲镲犏铪铪犏臌=式第一百零五页，共176页。应力边界条件应力边界条件 位移边界条件位移边界条件 在 上在 上(),().xyxsxyxysylmfmlftt+=+= s),(vuxyyxxyyxus(),().ssuuvv= S S上边界条件上边界条件: 8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。第一百零六页，共176页。2, .11EEmmmm-第一百零七页，共176页。 按位移求解

22、位移法取 ， 为根本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。2.解法消元法 uvuvuvv第一百零八页，共176页。 按应力求解应力法取 为根本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。xyyx, 这是弹力问题的两种根本解法。这是弹力问题的两种根本解法。第一百零九页，共176页。3. 按位移求解uvu vu vu v 将其他未知函数用 ，表示： 形变用 ，表示几何方程; 应力先用形变来表示物理方程， 再代入几何方程，用 ，表示: 取 ， 为根本未知函数；第一百一十页

23、，共176页。22222222222222(),(),11(),()2(1)2(1)yxyxyxEuvEvuxxx yyyx yEvuEvuyx yyxxx ytt抖抖=+=+抖抖-抖抖抖抖=+=+抖抖+抖2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy抖=+=+-抖抖=+=+-抖抖=+抖 第一百一十一页，共176页。0,0.yxxyxyXxyYyxtt+=抖抖+=抖 第一百一十二页，共176页。22222222222211()012211()0122EuuvXxyx yEvvuYyxx y-+=-抖抖-+=-抖第一百一十

24、三页，共176页。( ),( ).ssuuvv= 第一百一十四页，共176页。 求函数式解答困难，但在近似解法变分法，差分法，有限单元法中有着广泛的应用。 适用性广可适用于任何边界条件。第一百一十五页，共176页。0,xyffgr=xoyloyxgg(a) (b)第一百一十六页，共176页。解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),0,m=0,( ).uvv y=xoyloyxgg (a) (b)第一百一十七页，共176页。22222222222211()012211()0122EuuvXxyx yEvvuYyxx y-+=-抖抖 -+=-抖抖 ( )

25、,( ).ssuuvv= 第一式自然满足，第二式成为2222.vd vgydyEr= -第一百一十八页，共176页。 均属于位移边界条件，代入 ，2.2gvyA yBEr= -+0,yl=0( )0,yv=0;B=v得得( )0,ylv=.2gAlEr=解出第一百一十九页，共176页。2(),2(2),2(2).2yygvlyyEglyEglyrrer=-=-=-在 处，2ly=0.y=代入 ，并求出形变和应力，v第一百二十页，共176页。第一百二十一页，共176页。1取 为根本未知函数；2其他未知函数用应力来表示。从几何方程中消去位移 u、v ，得相容方程形变协调条件：xyyx,22222.

26、yxyxyxx yege抖+=抖抖第一百二十二页，共176页。 代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进展简化，便得用应力表示的相容方程 第一百二十三页，共176页。第一百二十四页，共176页。1A内的平衡微分方程；2A内的相容方程；3边界 上的应力边界条件；4对于多连体，还须满足位移的单值条 件。 归纳归纳：xyyx,ss 1-4也是校核应力分量是否正确的全部条件。 按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足以下条件：第一百二十五页，共176页。2、形变协调条件相容方程的物理意义形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。 形

27、变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。第一百二十六页，共176页。点共点连续，变形后三连杆在 点共点，那么三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例1三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 DD FDD第一百二十七页，共176页。第一百二十八页，共176页。第一百二十九页，共176页。第一百三十页，共176页。第一百三十一页，共176页。 第一百三十二页，共176页。22,xxf xy=-22,yyf yx=-2.xyx y= -抖第一百三十三页，共176页。第一百三十四页，共176页。第一百三十五页，共1

28、76页。，第一百三十六页，共176页。 1例题2例题3例题4例题7例题5例题6例题1第一百三十七页，共176页。例1 试列出图中的边界条件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)第一百三十八页，共176页。解: (a)在主要边界 应准确满足以下边界条件：21/ 2, () , 0;/ 2, 0, .yxyyxyxyhqlyhqstst= -= -= +=/2yh= 第一百三十九页，共176页。在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，1/20/2/20/2/20/2()d,()d,()dhxxhhxxhhxyxshyFyyMyFss

29、t=-=-=-=。第一百四十页，共176页。在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。第一百四十一页，共176页。(b) 在主要边界x= 0, b，应准确满足以下边界条件：0 , 0; 0, xxyxxyxgyxlqrtt= -= - 。030FOxyqh(b)gy b/2 b/2(,1)hb d =第一百四十二页，共176页。 在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，10000003()d,23()d,4()d2byybyybyxyFxFxxbFxsst= -= -= -。第一百四十三页，共176页。 注意在

30、列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。第一百四十四页，共176页。例例2 2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。1d=233222323(),266282623Fx yFyFyFlFhuyE IE IIGE IIGFxyFxFxlFlvE IE IE IE Imm= -+-=+-+。第一百四十五页，共176页。 h/2 h/2AxylFO(,1)lh d =第一百四十六页，共176页。解： 此组位移解答假设为图示问题的解答，那么应满足以下条件:(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 第

31、一百四十七页，共176页。2应力边界条件，在所有受面力的边界 上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。3位移边界条件。此题在x = l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。4应变协调方程S第一百四十八页，共176页。 因此，只需校核以下三个刚体的约束条件： A点 x = l及y = 0，( , ,)0.uu vx= 读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，那么是该问题之解。第一百四十九页，共176页。3222( ) , , ;( ) , , ;( ) 0, xyxyxyxyxyxyaAxyByCDybAyBx yCxycCxyeege

32、egeeg=-=。例例3 3 试考虑以下平面问题的应变分试考虑以下平面问题的应变分量是否可能存在量是否可能存在第一百五十页，共176页。解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 a相容； b须满足B = 0, 2A=C ； c不相容，只有C = 0 。22222.yxyxyxxyege抖+=抖抖第一百五十一页，共176页。2222( ) , , ;( ) (), (), ;xyxyxyxyaAxByCxDyExFybA xyB xyCxytg=+=+=+=+=+=例例4 4 在无体力情况下，试考虑以下应力分量是在无体力情况下，试考虑以下应力分量是否可能在弹性体中存在：否可能在弹性体中

33、存在：第一百五十二页，共176页。解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： 1平衡微分方程； 2相容方程； 3应力边界条件当 。SS=第一百五十三页，共176页。第一百五十四页，共176页。例例5 5 假设假设 是平面调和函数，即是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程 试证明函数试证明函数 都满足重调和方程，都满足重调和方程，因此都可以作为应力函数使用。因此都可以作为应力函数使用。20.f=fyxyfxff) ( , , ,22),( yxf40,=第一百五十五页，共176页。解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程重调和方程，40.=第一百五十六页，共176页。23331

34、23213(64),2,6xyxyqx yyhqyC yChqxyC xhsst= -= -+=+。(a)例例6 6 图中的梁，受到如下图的荷载的作图中的梁，受到如下图的荷载的作用，试用以下应力表达式求解其应力，用，试用以下应力表达式求解其应力，第一百五十七页，共176页。202qh)202(22qhqlxy(,1)lh d =loqql h/2 h/2第一百五十八页，共176页。2()0 xy+=SS=第一百五十九页，共176页。再校核边界条件，在主要边界上，21316, 0, ()0, 243 ; 2xyhqhyxChqCht= = += -即得312322, , (),282 .2yhq

35、hhyqCCqhqCs= -= -+= -= -即得12, 0, CC2yhys=将，代入后满足。第一百六十页，共176页。12( ), CCa将 ，代入得到应力公式，22333222(32),13(2),(b)223(41)2xyxyqyxyhyyqhhqxyhht= - = -+=- 。第一百六十一页，共176页。再将式b表达式代入次要边界条件，/20- /2 d0,hx xhy=（）0, 0, xyxt=334, xyqh=其主矢量为而主矩为2/20- /2 d . 20hx xhqhy y=（）第一百六十二页，共176页。223 , (41), 2xyqlyxlhht=-/20- /2 d.hxy xhyqlt= -（）233(64),xql yyh= -22/2- /2 d().220hx x lhqlqhy y= -（）其主矢量为其主矢量为0，而主矩为第一百六十三页，共176页。 由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式b是图示问题之解。第一百六十四页，共176页。 q(x)xy(,1)lh d =lo h/2 h/2例7 在材料力学中，当矩形截面梁宽度 受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为1(