静定结构位移计算

1、第9章 静定结构位移计算【9.1位移计算概述】【9.2变形体虚功原理】【9.3位移计算公式】【9.4静定结构在荷载作用下的位移计算】【9.5图乘法】【9.6其它因素产生的位移】【9.7互等定理】目的要求领会变形体虚功原理和互等定理。掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。熟练掌握荷载产生的位移计算。熟练掌握图乘法求位移。了解温度改变、支座移动引起的位移计算。9.1 位移计算概述9.1.1 计算位移的目的：（1）验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。（2）为超静定结构的内力计算打基础。 （3）结构在施工过程中的挠度验算。（4)结构动力计算和稳定计算也需要计算结构的位移。举例919.1

2、.2 引起位移的主要原因： 各种因素对静定结构的影响：  内力 变形 位移 荷载 温度改变或材料胀缩 × 支座移动或制造误差 × × 引起位移的主要原因有上述三种：荷载作用、温度变化、支座移动和制造误差。9.1.3 计算方法本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是虚功原理。 线性变形体系和叠加原理的使用条件是：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；小变形。因此可以应用叠加原理计算结构的位移。 9.2 变形体的虚功原理1 / 189.2.1 虚功和虚功原理（1）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值（2）虚功：力在其它原因引起的

3、位移上所作的功（力在虚位移上作的功），可正可负如图（9-1）力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条件允许的微小位移。引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移等，也可以是假想的位移，故称为“虚”。（3）广义力和广义位移：在功的计算公式W=P中，涉及到两方面因素： 与力有关的因素：例如，一个力、一个力偶、一对力、一对力偶。把这些与力有关的因素称为广义力； 与广义力相应的位移因素：例如，与集中力相应的广义位移是该力的作用点的总全位移在力的方向上的分量；与集中力偶相应的广义位移是它所作用截面的转角；与作用点不同但等值、反向、共线的一对力

4、相应的广义位移是两力作用点沿两力方向的相对线位移；与等值、反向一对力偶相应的广义位移是两力偶作用截面的相对转角，等。把这些与位移有关的因素称为广义位移。广义力与相应广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。 9.2.2 变形体虚功原理：变形虚功：当给体系一虚位移时，除了外力（荷载、反力）在虚位移上作虚功外，内力在相应变形上也要作虚功。内力在相应变形上所作的虚功称为变形虚功。变形体的虚功原理可描述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和，等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和。即：外力虚功变形虚功      

5、                                     （91）        （为虚功方程）注意：变形体虚功原理，对刚体也适用。因刚体发生虚位移时，微段不变形，

6、故得所以：刚体虚功原理是变形体虚功原理得一个特例。虚功原理的适用范围：弹性、非弹性、线性、非线性的变形体系都适用。9.2.3 变形虚功的计算如图93所示，微段的变形虚功：整个结构得变形虚功：       ·····（c）所有微段两侧截面内力在相应变形上所作的虚功总和，称变形虚功。虚功方程： 对于平面杆件结构：          （92）虚功方程：    &#

7、160;             （93）图939.2.4 虚功原理的应用虚功有两种常见表达形式：由于产生虚功的力和位移无关，因此，即可以把位移看作是虚设的，也可以把力看作是虚设的。（1）位移是虚设的，虚功可以描述为：实际存在的力虚设的位移，由于位移是虚设的，这种形式下的虚功原理又叫做虚位移原理，可以用于求未知力。（2）力是虚设的，虚功可以描述为：实际存在的位移虚设的力，由于力是虚设的，这种形式下的虚功原理又叫做虚力原理，可以用于求未知位移。9.3 位移计算的一般公式

8、0; 单位荷载法9.3.1 一般公式     例图9-4（a）所示，由于荷载、支座移动引起了变形，求指定点K沿指定方向K-K上的位移。 （a） （b）  图9-4应用虚功原理，建立虚设状态如图9-4（b），   、为引起的内力           （94） 式（94）为平面杆系结构位移计算一般公式位移实际方向的确定： 为正，实际方向与方向相同；为负，实际方向与方向相反。 广义位移要点：用虚功原理求

9、位移，关键在于虚设一个恰当的力状态。恰当之处：让在所求位移上作虚功，虚功恰好等于所求位移。这种计算位移的方法，叫虚设单位荷载法。9.3.2 虚设广义单位荷载必须与拟求的广义位移相对应。如图9-5所示。                              图9-5 9.4 静定结构在荷载作用下的

10、位移计算9.4.1 荷载作用下的位移计算公式假定：结构的材料是线弹性，位移微小，应力应变符合虎克定律，位移与荷载成正比，荷载产生的位移可以叠加。例图9-6（a）所示，求K点指定方向的位移  图9-6 位移计算公式：       （95） 荷载引起：             （a）     、虚拟状态中微段上的内力   

11、 、实际状态微段的变形由材力知：          剪应力不均匀系数矩形, 圆,     位移计算公式： （96）（96）式平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。分析：右三项分别表示：弯曲变形、轴向变形、剪切变形对所求位移的影响。梁和刚架：（、引起的位移很小,可忽略不计） （97）桁架：（只有轴力、且EA沿杆长L是常数）  （98）组合结构：（梁式杆只计M，链杆只计N） （99）剪切变形中修正系数K的来源：式（a）中：虚拟状态的剪力在实际状态剪切变形上所作的虚功。

12、由于“虚设状态”中、“实际状态”中分布不均匀，相应剪应变分布也不均匀，所以微段所作的虚功应按积分计算：   图9-7由材力知：                                  b所求剪应力处的截面宽度    S该

13、位置以上（下）截面积对z轴的静矩，如图9-7。 式中                  剪应力分布不均匀改正系数。（无量纲）9.4.2 计算举例例1  试求图9-8（a）所示刚架A点的竖向位移。各杆材料相同，截面I、A为常数。图9-8解：(1)、建立虚拟状态如图（b）， (2)、写、式 设坐标如图： AB段：       

14、60;                   BC段：                          (3)、代入（7-6）式积分： 括号内第一项是弯矩M的影响；第二项是轴力N的

15、影响；第三项是剪力Q的影响。(4)、讨论：设截面为矩形            当时，取，得： 由此可见：影响可忽略。一般杆系结构不超过。所以只考虑M的影响即可。例2 试求图9-9所示等截面圆弧曲梁B点得水平位移。实际状态 虚拟状态图9-9解：(1)、建立虚拟状态如图。(2)、为小曲率杆，近似用直杆位移公式，只考虑弯矩M的影响，写、表达式，即列弯矩方程：            &

16、#160;                  (3)、计算位移例3          试求图9-10所示对称桁架结点D的竖向位移。图中右半部各括号内数值为杆件得截面积，设，A（）图9-10解：(1) 建立虚拟状态如图。(2) 求各杆内力、(3) 求（下弦视为两根杆）  例4  图9-11所示曲梁为圆弧形，EI=常数，试

17、求B点的水平位移。图9-11（）9.5 图乘法求位移从上节知，计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，先写、方程式，再代入公式积分，当荷载比较复杂时，运算十分繁。但当结构符合一定条件时，可以用图乘法代替积分法运算，可使计算简化。9.5.1 图乘法的条件（1）杆段是直杆；（2）杆段内EI为常数；（3）或图至少有一个是直线图形。9.5.2 公式推导 图9-12如图9-12，      若所有杆件均可图乘： （910）式中：-为一个弯矩图的面积；yc-为另一个弯矩图中的竖标。即：当满足图乘条件时，积分的值，就等于图的面积乘以形心位置对应的图（直线图）上的竖

18、距再除以EI，这就叫图乘法（图形相乘法）。注意事项：(1)    必须符合三个条件。EI沿杆长变化或为曲杆不能用。EI各段不同时应分段。(2)    必须取自直线图，并与曲线图形心对应。若、图均为直线图，可互换。(3)    同侧图形相乘为正，异侧图形相乘为负。(4) 二次抛物线图形（均布荷载作用下M图）的面积及形心位置公式：。               

19、                 图9-6      (5) 抛物线的顶点（Q=0点）切线平行于底边的点。   当弯矩图的形心位置或面积不便于确定时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分，并将它们分别与另一图形相乘，再将所得结果相加。下面分两种情况讨论：    （1） 直线图形乘直线图形图3所示两直线图形相乘，先将第一个图形分

20、成两个三角形，分别与第二个图形相乘再叠加，结果为：                                              

21、0;                  图9-7注：竖标在基线同侧时乘积为正值，在异侧乘积为负。各种直线形图形与直线形图形相乘，都可用该式处理。（2） 复杂抛物线形图形乘直线形图形：当抛物线的顶点（Q=0处）不在抛物线的中点或端点时，可将其分成直线形和简单抛物线（如图4），两者分别与另一图形相乘，再把乘得的结果相加。         &#

22、160;     图9-8图乘法举例929.6 其它因素产生的位移9.6.1 温度变化引起的位移计算温度作用是指结构使用与建造时温度发生改变对结构的作用。温度改变对静定结构不产生内力，但材料会发生自由膨胀和收缩，从而引起截面的应变（即温度应变），使结构产生变形和位移。 （1）温度变形：假设温度改变沿杆长均匀，沿截面高度为线性分布。因此，截面发生温度变形后，仍保持为平面。截面的变形可分解为沿轴向拉伸变形和截面转角变形 。 图9-9形心轴处的温度改变：         

23、     t0=（h1t2+h2t1）/h 上、下边缘的温度改变差值：t=t2-t1 微段的变形：du=t0ds，d =a（t2-t1）ds/h = atds/h，d=0     （2）温度改变引起的位移计算公式：将温度变形代入位移计算一般公式： 得到温度改变引起的位移计算公式：                  （911）式中：材料的线膨胀系数；

24、  h杆件的截面高度；  t0杆件轴线上的温度改变；t杆件两侧温度改变之差。正负号规定： 件同侧受拉时乘积为正，否则为负。计算举例  举例939.6.2 支座移动引起的位移计算 （1）  支座移动引起的位移：静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，位移计算公式 。 (912)单位荷载产生的反力与支座位移同向时，为正，否则为负。 （2） 制造误差引起的位移计算公式：制造误差通常是杆件长度偏差0 将制造误差视为初变形，制造误差引起的位移就等于单位荷载产生的内力在这些初变形上作的虚功，即：      

25、                                                   

26、;             （913）正负规定： 与初变形方向一致时乘积为正，否则为负。 支座移动引起的位移       举例94     制造误差引起的位移       举例959.7 互等定理9.7.1互等定理 （1） 功的互等定理： 状态1的外力在状态2的位移上作的虚功T12，等于状态2的外力在状态1的位移上作的虚功T21。即：T12=T21。功的互等定理推导     举例96（