格林公式及其应用教案

1、丽 水 学 院 教 案课 程 名 称 ： 高等数学 课 程 代 码 ： B2 授课专业班级 ： 电信121、122本 授 课 教 师 ： 洪涛清 院 别 ： 理学院 2013年 5月13 日一、授课题目 10.3 格林公式及其应用二、教学时间安排： 共3课时三、教学目的、要求1了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。2熟练掌握格林公式及其简单的应用。3理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。4会求全微分的原函数。四、教学重点和难点重点: 格林公式的应用难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。五、教学方法及手段启发式讲授法结合多媒体教学。六、教学过程设计 准备知识1单连通与

2、复连通区域: 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 2边界曲线的正向：对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边. （一）格林公式1定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有 , 其中L是D的取正向的边界曲线. 2简要证明分析: 先就D既是X型的又是Y型的区域情形进行证明. 设D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有 . 另一方面, 由对坐

3、标的曲线积分的性质及计算法有 . 因此 . 设D=(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd. 类似地可证 . 由于D既是X型的又是Y型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 . 注意: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向. 3格林公式的简单应用：（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1 例1/ 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明 . 证: 令P=2xy, Q=x2, 则. 因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“”号？ )（2）化二重积分为曲线积分例2. 计算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B

4、(0, 1)为顶点的三角形闭区域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 则. 因此, 由格林公式有 .（3）计算平面区域面积设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得 , 或. 例3. 椭圆x=a cosq , y=b sinq 所围成图形的面积A. 分析: 只要, 就有. 解: 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域. 令, , 则. 于是由格林公式, =pab. 4注意格林公式成立的条件： 例4 计算, 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向. 解: 令, . 则当x2+y20时, 有.

5、记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)D时, 由格林公式得; 当(0, 0)D时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得 其中l的方向取逆时针方向. 于是 =2p. 注：计算结果与L围成的区域是否包括原点有关！因为P、Q的偏导数在原点不连续。（二）平面上曲线积分与路径无关的条件 1定义：设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2, 等式 恒成立, 就说曲线积分在G内与路径无关, 否则说与路径有关. 设曲线

6、积分在G内与路径无关, L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线, 则有 , 于是有 , 所以有以下等价的结论: 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零. 2 定理2 设开区域G是一个单连通区域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是等式 在G内恒成立. （证明略） 注意: 定理要求, 区域G是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 如前例4: 设L为一条无重点、分段

7、光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点(0, 0)不连续. 因为当x2+y20时, , 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L所围成的区域内时, 结论不成立，因而计算结果与积分路径有关. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点. 3定理2的应用：若在某区域内，恒有成立，则1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线转化为闭曲线）;3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数（放第3课时教学）例5

8、 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因为在整个xOy面内都成立, 所以在整个xOy面内, 积分与路径无关. 于是，有 . 又如课件中例5（三）二元函数的全微分求积（第3课时） 曲线积分在G内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关. 如果与路径无关, 则把它记为 即 . 若起点(x0, y0)为G内的一定点, 终点(x, y)为G内的动点, 则 u(x, y)为G内的的函数. 二元函数u(x, y)的全微分为du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表达式P(x, y)dx+Q(x,

9、y)dy与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个二元函数u(x, y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 简要证明: 必要性: 假设存在某一函数u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 则有 , . 因为、连续, 所以, 即. 充分性: 因为在

10、G内, 所以积分在G内与路径无关. 在G内从点(x0, y0)到点(x, y)的曲线积分可表示为 考虑函数u(x, y). 因为 u(x, y) , 所以 . 类似地有, 从而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函数的全微分. 并且有求原函数的计算公式: , , . 例6 验证:在右半平面(x0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解: 这里, . 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在右半平面内, 是某个函数的全微分. 取积分路线为从A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折线, 则所求函数为 . 问: 为什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例7 验证: 在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解