等腰三角形及直角三角形

1、第第 2 课时课时等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形1了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件2了解等边三角形的概念及其性质3了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件4会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形考点 1 等腰三角形的判定与性质1判定(1)有两条边_的三角形是等腰三角形，即“等边对等角”(2)有两个角_的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”相等相等相等重合底边上的高(中线)或顶角的角平分线2性质(1)等腰三角形的两个底角_，即“等边对等角”(2)三线合一：等腰三角形的顶角

2、平分线、底边上的中线、底边上的高互相_(3) 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是_所在的直线考点2等边三角形的判定与性质1判定相等相等等腰(1)三条边都_的三角形是等边三角形(2)三个角都_的三角形是等边三角形(3)有一个角是 60的_三角形是等边三角形2性质相等60轴对称图形三(1)等边三角形的三条边_ .(2)等边三角形的三个角都是_(3)对称性：等边三角形是_，有_条对称轴考点3直角三角形的判定与性质1判定(1)有一个角是_的三角形是直角三角形(2)勾股定理的逆定理2性质(1)直角三角形的两个锐角_(2)直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的_(3)直角三角形中，斜边上的中

3、线长等于斜边长的_直角互余一半一半考点4勾股定理及其逆定理1勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和_斜边的平方等于平方2勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的_，则这个三角形是直角三角形【学有奇招】1“等角对等边”应用极为广泛，但一定要注意前提条件是在同一个三角形中2等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理(1)和(2)是在三角形条件下，判定定理(3)是在等腰三角形的条件下3辅助线问题：等腰三角形中常作顶角的平分线、底边上的高、中线；当图形中不存在特殊三角形时，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成特殊三角形，然后利用有关性质进行计算与求解)B1有一个内角

4、是 60的等腰三角形是(A钝角三角形B等边三角形C直角三角形D以上都不是2边长为 4 的正三角形的高为()DA2B4C. D23等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，腰长为a，则其底边上的高是_4已知等腰三角形的一个内角为 80，则另两个角的度数是_50，50或 80，20333122aa或等腰三角形的性质与判定例题：(2013 年内蒙古赤峰)在等腰三角形中，马彪同学做了如下探究：已知一个角是60，则另两个角是唯一确定的(60，60)；已知一个角是90,则另两个角也是唯一确定的(45,45)；已知一个角是120，则另两个角也是唯一确定的(30,30)由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，

5、已知一个角的度数，则另两个角的度数是唯一确定的马彪同学的结论是_的(填“正确”或“错误”)思路分析：当等腰三角形的一个角是锐角时，这个锐角可能是等腰三角形的顶角也可能是底角，需要分类讨论解析：如已知一个角是70，当70为顶角时，另外两个角是底角，大小为55；当70为底角时，另外一个底角也是70，顶角是40.故马彪的结论是错误的答案：错误【试题精选】1(2013 年甘肃白银)等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边分别为_5,5 或 6,42(2013 年湖北仙桃)如图 4-2-26，在ABC 中，ABAC，A120，BC6 cm，AB的垂直平分线交BC 于点 M，交AB于点 E，AC

6、 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC于点F，则 MN的长为()图 4-2-26A4 cmC2 cmB3 cmD1 cm形AMANMN.BMMNNC.MNBC2.故选C.解析：连接MA，NA.ME 为AB 的垂直平分线，NF 为AC的垂直平分线，BMAM，CNAN.MABB，CANC.BAC120,ABAC，BC30.BAMCAN60，AMNANM60.AMN 是等边三角13答案：C3(2013年山东淄博)如图4-2-27，ADBC，BD 平分ABC.求证：ABAD.图 4-2-27证明：ADBC，DBCADB.又BD 平分ABC，ABDDBC.ABDADB.ABAD.名师点评：解决与等腰

7、三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用角证边或用边证角，若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现直角三角形的性质与判定例题：(2013 年山东济南)如图 4-2-28(1)，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m则旗)图 4-2-28杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(A12 mB13 mC16 mD17 m解析：如图4-2-28(2)，作BCAE 于点C，则BCDE8.设A

8、Ex，则 ABx，ACx2.在RtABC 中，AB2AC2BC2，则 x2(x2)264，解得 x17.答案：D【试题精选】4(2013 年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为 3)和 4，则第三边的长为(D5.(2013 年湖北黄冈)如图 4-2-29，已知ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CECD1，连接 DE，则 DE_.图 4-2-293名师点评：解决直角三角形的关键：一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角

9、形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形)1(2012 年广东肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为()CA16B18C20D16 或 202(2012 年广东广州)在RtABC 中，C90，AC9，BC12，则点 C 到 AB 的距离是()AA.365B.1225C.94D.3433(2011 年广东茂名)如图 4-2-30，已知ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CGCD，DFDE，15则E_.图 4-2-30图 4-2-314(2013 年广东梅州)如图 4-2-31，已知ABC 是腰长为 1的等腰直角三角形，以 RtABC 的

10、斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，则第 2013 个等腰直角三角形的斜边长是_2013 25(2013 年广东湛江)如图 4-2-32，所有正三角形的一边都平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，来表示，其中A1A2 与 x 轴，底边 A1A2 与 A4A5，A4A5 与 A7A8，均相距一个单位，则顶点 A3 的坐标是_，A92 的坐标是_图 4-2-326(2012年广东肇庆)如图4-2-33，已知 ACBC，BDAD，AC

11、与 BD 交于点 O，ACBD.求证：(1)BCAD；(2)OAB 是等腰三角形图 4-2-33证明：(1)ACBC，BDAD，ADBBCA90.在 RtABC 和 RtBAD 中，ABBA，ACBD，RtABC RtBAD(HL)BCAD.(2)RtABC RtBAD，CABDBA.OAOB.OAB 是等腰三角形7.(2013 年广东梅州)用如图 4-2-34 所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：(1)(2)(1)(2)图4-2-35图4-2-34探究一：将以上两个三角形按图 4-2-35(1)拼接(BC 和 ED重合)，在 BC 边上有一动点 P.(1)当点 P 运动到CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长；(2)当点 P 在运动的过程中出现 PA FC 时，求PAB 的度数探究二：如图 4-2-35(2)，将DEF 的顶点 D 放在ABC的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转DEF，使DEF 的两直角边与ABC 的两直角边分别交于 M，N 两点，连接 ，在旋转 DEF 的过程中，MNAMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由解：探究一：(1)如