软集与软模糊粗糙集

1、国家自然科学基金(Grant No.60875034)，四川省教育厅（11ZB068）。作者简介 邵迎超，男，西南交通大学博士研究生，研究方向：智能信息处理；杜召彬，男，郑州职业技术学院讲师，硕士；研究方向：智能信息处理；杨霁琳，女，四川师范大学教授，博士；秦克云，男，西南交通大学教授，博导，研究方向：智能信息处理。软集与软模糊粗糙集*邵迎超1 杜召彬2 杨霁琳3 秦克云11西南交通大学数学学院, 成都, 四川，610031 2郑州职业技术学院，郑州，河南，4501213四川师范大学基础教育学院，成都，四川，610031摘 要：本文将Molodtsov 于1999年提出的软集理论与Z.Pawl

2、ak粗糙集结合起来,提出了模糊粗糙集和软模糊粗糙群的概念, 讨论了它们相关的性质。关键词：软 集；粗糙集；模糊粗糙集；软模糊粗糙集;软模糊粗糙群文章编号 文献标识码 A 中图分类号 TP301Soft sets and Soft Fuzzy Rough SetsYingchao Shao1,Zhaobin Du2,Jilin Yang3,Keyun Qin11School of Mathematics Southwest Jiaotong University, Chengdu, Sichuan, 6100312Zhengzhou technical college, Zhengzhou, H

3、enan, 4501213 College of Fundamental Education, SiChuan Normal University, Chengdu 610068Abstract: In this paper, the soft set theory introduced by Molodtsov in 1999 is applied to the theory of rough set introduced by P.Pawlak . For this, the notions of soft fuzzy rough sets and soft fuzzy rough gro

4、ups are presented and some related properties are discussed. Keywords: Soft set; Rough set; Fuzzy Rough set; Soft Fuzzy Rough set；Soft Fuzzy Rough Group1引言1999年，Molodtsov 1提出了软集的概念，试图从参数化的角度为研究不确定性问题提供统一的数学框架。作为一种新的处理不确定性问题的数学工具，软集理论与模糊集理论、粗糙集理论等具有很强的互补性，相关研究受到了学术界的广泛关注。随后，Maji等2描述了soft set理论在决策方面中的

5、应用，并给出了几种运算；他们也将soft set 理论扩展为fuzzy soft set.。随后一些专家学者对软集理论进行了研究，归纳起来主要有三个方面：（1）完善软集理论。对其概念，运算进行完善，扩充。如Maji提出软集的几种运算。Irfan3 也提出了几种软集的运算，并改进了软集的补的概念。Qin等4提出了软相等的概念。Chen等12提出了soft set的参数约减的定义，并将其与rough set的属性约减做了比较。（2）对处理不确定性的集理论的代数结构进行了研究。Jun9将soft set运用到BCK/BCI代数中，提出了soft BCK/BCI代数的概念。Zhan等10基于模糊集的概

6、念定义了软BL-代数，并将其应用于BL-代数的模糊滤子。Aktas5将soft set与fuzzy and rough set 结合起来，提出了soft groups的概念。Feng提出了soft semiring的概念。Acar等研究了软环及软环的软理想和软同态等概念。Qin等构建了软集的格结构。（3）应用方面。这又包括两个方面，一是将软集理论应用到实际的生产生活中，比如Maji描述了soft set 理论在决策方面的应用；二是将软集理论应用到其他学科分支中，比如Ali 21, Majumdar20将软集理论和模糊集理论结合起来，提出了软模糊集的概念。粗糙集（rough set）是波兰数学家

7、Pawlak于1982年提出的，它是一种新的处理含糊性和不确定性问题的数学工具。相对于概率统计、模糊集等处理不确定性问题的工具而言，粗糙集理论有其独特的优越性。粗糙集不需要关于数据的任何预备的或额外的信息，它有确定的数学公式描述，完全由数据决定，所以更具有客观性。正是由于粗糙集理论有这样的优势，因而自提出以来，许多计算机科学家和数学家对其进行了深入的研究，使之在理论上日趋完善。现在粗糙集理论已成为信息科学最活跃的研究领域。粗糙集的概念是由Pawlak Z.于1982年提出来的，他的基本思想是通过案例库的分类归纳出概念和规则。通过案例库的条件特征变量将案例库分类而形成概念，并通过生成的概念去研究

8、目标特征，从而得到关联规则。粗糙集的贡献是给出特征变量的约减与核心，简化了概念的分类特征，也简化了规则的表示。这不仅使概念和规则表述得清晰简明，而且使人们对概念与规则有了本质的认识。粗糙集的另一个概念是上近似与下近似，使其对于不能用已有概念表述的新概念给出某种近似表示，从而利用粗糙集得到的规则具有某种抗干扰性，因此；上近似与下近似同样成为归纳学习与信息融合的重要工具。构造与公理化方法是促进粗糙集理论的两个主要手段。通过利用这两种方法，粗糙集理论得以与其他数学理论融合。这些数学理论主要有：模态逻辑，Boole代数，模糊集，半群，random集，这些研究中，有许多研究是聚焦在粗糙集与代数系统上。B

9、iswas和Nanda18定义了粗子群的概念，Kuroki23提出了半群的粗理想的概念，研究了半群的子集的近似，并讨论了一个粗理想的积结构，Kuroki和Wang28探讨了关于正规子群的上下近似的一些性质，Davvaz25提出了关于一个环的理想的粗理想和粗子环的概念，Davvaz 与Mahdavipour 24将一个R-模看作是一个论域，提出了关于一个R-模的子模的粗子模的概念，Kazance和Davvaz25更进一步的研究了一个环的粗糙素理想和粗糙模糊素理想的概念。Xiao等26提出了半群中的粗糙素理想和粗糙模糊素理想的概念。Radziikowska 和Kerre29提出了模糊粗糙集的概念。

10、Jian和Chen27研究了基于群的粗糙模糊集的积结构，提出了在一个群中关于T-模糊正规子群的T-粗糙模糊子群的概念。鉴于软集和模糊集在理论和应用上的重要作用，最近，一些研究者专注于粗糙集与软集相结合的研究，他们从不同的角度提出了软集与粗糙集相结合的软模糊粗糙集的定义。Aygunoglu等15提出了模糊软群的概念并研究了它的性质和结构。Majumdar20推广了Maji的模糊软集的概念并将其应用于决策问题和医疗诊断问题中。Hu等21先提出了软距离的概念，再给出了一个不同的软集的定义，接着给出了软模糊粗糙集的定义。Feng等17先定义了软近似空间的概念，然后基于软近似空间，定义软下近似和软上近似

11、，进而提出了软粗糙集的概念。本文尝试将软集理论应用于粗集理论，提出一个基于正规模糊子群的软模糊粗糙集和软模糊粗糙群的概念并讨论它们的一些相关基本性质。2 预备知识本节回顾粗集与软集的基本概念和基本性质。定义 2.113,15 设是对象集，是上的等价关系，由产生的等价类之集记为，其中，。称与构成的整体为近似空间。对于任意， 记分别称为的下近似和上近似。如果的下近似和上近似相等，则称是可定义的集合，否则称为粗糙集或Rough 集。定义 2.2 19 设是一个群，是的一个正规子群，是的一个非空子集。令，。则分别称和为的关于的下上近似。定理 2.119 设和是的两个正规子群，和是的两个非空子集。则（1

12、），；（2），。定义2.330 设是群的一个模糊子集。如果对于任意的，（1），（2） ，则称是的一个模糊子群。一个模糊子群是正规的当且仅当对于任意的，。如果是群到群的一个同态映射，和分别是和的模糊子群，则和分别是和的模糊子群。定义2.429 设是一个非空的论域，是上的一个相似关系，即对于任意的，有：（1） 自反的 ，（2） 对称的 ，（3） Sup-min传递的 。则二元组称作是一个模糊近似空间。引理2.129 如果是上的一个相似关系，则对于任意的模和任意的，有 。引理2.229 设是一个连续的模，是一个基于的蕴涵算子，即对于任意的，有。则对于上的任意的相似关系，有。定义2.529 设是一个模

13、糊近似空间, 是一个有界蕴涵算子，是一个模。一个定义上的模糊粗糙近似是一个映射，满足，对于任意的，其中，对于任意的，。则分别称模糊集和下模糊粗糙近似和上模糊粗糙近似。设是一个模糊近似空间, 是一个有界蕴涵算子，是一个模。如果存在，使得，其中，表示的模糊子集的集合。则称二元组是一个模糊粗糙集。命题2.129 设是一个模糊近似空间, 是一个有界蕴涵算子，是一个模。则（F1）对于任意的，。（F2）.(F3) (a) , (b) 如果是左单调的，则。（F4）对于任意的，如果，则 （a）, (b) 如果是右单调的，则。下面介绍一些本文将要用到的软集的基本概念。设是一个非空的集合,表示的幂集,且，称二元组

14、称为U上的一个软集，这里为一个映射。对于任意的可以看作软集的-近似元素的集合。定义 2.6 3,4 上的两个软集合与的扩展交定义为，其中,且定义 2.7 3,4 上的两个软集合与的并定义为,其中,定义 2.8 3,4 上的两个软集合 与的严格交定义为,其中, 且。定义 2.9 3,4上的两个软集合 与的严格并定义为，其中, 且。定义 2.10 3,4 称为是一个相对空软集（关于参数集A）,记为，如果对于任意，。软集运算的基本性质参考3、4。3软模糊粗糙集与软模糊粗糙群 定义3.1 设是一个模糊近似空间，是上的模糊软集，即对于任意的，有都是的模糊子集，即。是定义在上映射， ，即，对于任意的，均是

15、上的一个模糊粗糙集，则称是上的关于一个软模糊粗糙集。如果在上定义一个有界蕴涵算子和一个模，则对于任意的，有。定理 3.1 设是上的一个软模糊粗糙集。如果，那么，是上的一个软模糊粗糙集，这里，表示在上的限制。证明 由定义直接得出。定理 3.2 设和是上的两个软模糊粗糙集。如果，那么，是上的一个软模糊粗糙集。这里，定义如下：，其中,且。是所对应的模糊粗糙集，即。证明 设，由定义2.8，是一个软集。对于任意的，若，则是上的一个模糊粗糙集。若，则是上的一个模糊粗糙集。由定义知是上的一个模糊粗糙集，其中，所以，是的一个模糊粗糙集。因此，是上的一个软模糊粗糙集。推论 3.1 设和是上的两个软模糊粗糙集，则

16、是上的一个软模糊粗糙集。推论 3.4 设 和是上的两个软模糊粗糙集。如果，那么，是上的一个软模糊粗糙集。定理 3.3 设和是上的两个软模糊粗糙集。如果，那么，是上的一个软模糊粗糙集。这里，定义如下：，其中,且。是所对应的模糊粗糙集，即。证明 类似于定理3.2的证明。推论 3.5 设 和是上的两个软模糊粗糙集。如果，那么，是上的一个软模糊粗糙集。引理3.1 设是一个模糊近似空间, 是一个有界蕴涵算子，且是右单调的，是一个模。对于任意的，如果，则（1） ，（2）。证明 （1）对于任意的，因为，所以对于任意的，有 。因此， 。所以有，。（2）对于任意的，因为，所以对于任意的，有 。因此，。所以有。定

17、义3.2 设是一个模糊近似空间, 是一个有界蕴涵算子，是一个模。是上的两个模糊粗糙集。如果对于任意的，则称是的模糊粗子集。记作。定义3.3 设和是上的两个软模糊粗糙集。 称为的一个软模糊粗子集，记为，如果：（1）；（2）对于任意，是的子集，即。引理3.2 设和是上的两个软模糊粗糙集。则当且仅当 对于任意的 ，。证明 由定义3.3直接得到。 定理3.4 设是上的一个软模糊粗糙集。和是的两个软子粗集，则 (1)，(2)。证明 （1）如果，其中，。由定义2.5 和定义2.8知，是一个模糊粗糙集。因此，是一个软模糊粗糙集。因为和是的两个软子粗集，我们很容易地得到，所以。由引理3.2得，及，所以，即。

18、(2) 如果那么，且，。因为，所以可以简化为，。因为， 且是的一个粗集,是的一个粗集。因此，是的 一个粗集。所以。4. 软模糊粗糙集与软模糊粗糙群的同态定义 4.1 设 ， 是两个函数，和分别是参数集。则数对称为由到的软模糊函数。定义4.2 设和分别是和上的两个软模糊粗糙集。是到的一个软模糊函数。（1）在下的象是软模糊集，这里，其中，。（2）在下的原像是模糊集，这里，。，。定义4.3 设是一个模糊软函数，如果是一个同态，则称是一个模糊软同态。定义4.419 设是论域。是一个群，是的一个子群，是的一个模糊子集。令；。这里，。则分别称，为模糊下上近似。若，是的模糊子群，则称是的模糊粗子群。容易验证

19、，这里定义的是一个相似关系，记作。定义4.5 设是论域，是一个群，是的正规模糊子群，是上的软模糊集。是上的关于的软模糊粗糙集。如果对于任意的，是一个模糊粗糙群，则称是一个上的软模糊粗糙群。定理4.1 设是论域，是上的两个群，是的正规模糊子群，是上的软模糊粗糙群，是一个由到模糊软同态，且。则是一个软模糊粗糙群。证明 由于是一个由到模糊软同态，是的正规模糊子群，所以是的正规模糊子群。对于任意的，必有，因为是上的软模糊粗糙群，是的一个模糊粗糙子群，所以和是的两个模糊子群。而是一个由到模糊软同态，所以和是的两个模糊子群。因此，是的模糊粗糙子群。这样，就证得是一个软模糊粗糙群。类似的，我们还可以得到下面

20、的：定理4.2 设是论域，是上的两个群，是的正规模糊子群，是上的软模糊粗糙群，是一个由到模糊软同态，且。则是一个软模糊粗糙群。7. 结论本文中我们介绍了软模糊粗糙集和软模糊粗糙群的概念，并探讨了它们的一些性质。基于这些结果，我们将进一步探讨软模糊粗糙集在理论和应用上的问题。参考文献1D. Molodtsov, Soft set theory-First results, Computers and Mathematics with Applications, 1999,37(4-5):19-31.2P.K.Maji,R.Biswas, A.R.Roy, Soft set theory, Com

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