解析几何圆锥曲线结论

1、 六.圆锥曲线1. 椭圆(!)椭圆的参数方程是.(2)椭圆焦半径公式，.(3)椭圆的准线方程为,椭圆的准线方程为(4)椭圆的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为(5)P是椭圆上一点,F,F 是它的两个焦点,FP F= ,则P F F的面积= , 当点与椭圆短轴顶点重合时最大；P是椭圆上一点,A,B是长轴的两端点,当点P在短轴端点时,最大. (6)若AB是过焦点F的弦,设,P表示焦准距,则2. 双曲线(1)双曲线的准线方程为双曲线的准线方程为(2) 双曲线的渐近线方程为,双曲线的的渐近线方程为(3) P是双曲线上一点,F,F 是它的两个焦点,FP F=则P F F的面积=(4)若AB是过焦点F的

2、弦,设,P表示焦准距,AB交在同支时,AB交在两支时, (设)（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过垂足。 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项（2）共轭双曲线：与其离心率分别为 其性质：渐近线相同；焦距相同（焦点不同）（3）渐近线相同的双曲线系方程为：渐近线方程都是（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为（对圆则是，为什么？）3.抛物线(1)上的动点可设为P或 P，其中 .(2)P(,)是抛物线上的一点,F是它的焦点,则|PF|=+(3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：&l

3、t;1> x1x2=；y1y2=p2； <2>；<3>以AB为直径的圆与准线相切； <4>以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；<5>。焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角; 点P是抛物线上的一点,F是它的焦点,则AB的中垂线与X轴交于点R，则（6）抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则若，顶点到点A距离最小，最小值为； 若，抛物线上有关于轴对称的两点到A的距离最小，最小值为。（7）直线与圆锥曲线相交：弦长公式4、A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，则直线AB过定点（或）（1）先证“”设直线AB：，与抛物线方程联立

4、得从而可得（2）再证 “”设直线AB：，与抛物线方程联立得从而可证得直线AB过定点5、抛物线y2=2px(p>0)与直线相交于且该直线与轴交于点，则有6、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：若，则A、F、B三点共线。若点M是准线上任一点，则7、过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的动弦OA，OB，则直线AB过定点 的最小值为4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的斜率）. 若（弦端点A由方程 消去x得到，,为直线的斜率）.则5.圆锥曲线关于点成中心对

5、称的曲线是.求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题1、已知点是椭圆上任意一点，求以点为切点的切线方程。解：若， 切线为;若，与同理得若，则切线亦满足。故所求的切线方程为。2、已知点是双曲线上任意一点，求以点为切点的切线方程。解：若， 切线为;若， 与同理得若，则切线亦满足。故所求的切线方程为。3、已知点是抛物线上任意一点，求以点为切点的切线方程。解：4、已知椭圆，点是定直线上一动点，过点P作椭圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设，由第1题的结论，则，则有，故直线AB：，由于，即直线AB过定点点评：若点定直线上的动点呢？则直线AB过定点5、已知双

6、曲线，点是定直线上一动点，过点P可作双曲线的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设，由第2题的结论，则，则有，故直线AB：，由于，即直线AB过定点点评：若点定直线上的动点呢？只要能过其上的点作两条切线，则直线AB过定点6、已知抛物线，点是定直线上一动点，过点P可作抛物线的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明: 设，由第3题的结论，则故直线AB：，由于，即直线AB过定点7、已知椭圆C：的左、右顶点分别是A、B，设是直线上的动点，若直线与椭圆C分别交于M、N，求证：直线MN过定点证明：同理令，故直线MN过定点注意

7、:理解思路，试题一般会告知具体数字。变式：已知椭圆C：的上、下顶点分别是A、B，设是直线上的动点，若直线与椭圆C分别交于M、N，求证：直线MN过定点8、已知双曲线C：的左、右顶点分别是A、B，设是直线上的点，直线与双曲线C分别交于M、N，求证：直线MN过定点9、已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线过定点证明：设，直线：代入得，点评：过定点的直线与抛物线交于点，经过点和抛物线顶点的直线交定直线于，则；过定点的直线与抛物线交于点，作交定直线于，则三点共线。10、已知点是椭圆C：上不同于左、右顶点A、B的任意一点，直线分别交直线于点，则以 M

8、N为直径的圆经过定点证明：以 MN为直径的圆：令即过定点11、过抛物线的焦点F任意作直线与抛物线交于点两点，则在轴上存在定点，使始终平分。证明：设设则由，则，始终平分。点评：过定点作直线与抛物线交于点两点，点与点关于轴对称，则直线过定点12、过椭圆的左焦点F任意作直线与椭圆交于点两点，则在轴上存在定点，使始终平分。点评：过定点作直线与椭圆交于点两点，点与点关于轴对称，则直线过定点（即焦点）13、过双曲线的右焦点F任意作直线与双曲线交于点两点，则在轴上存在定点，使始终平分。点评：过定点作直线与双曲线交于点两点，点与点关于轴对称，则直线过定点（即焦点）14、已知椭圆上有一点，过P作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与椭圆交于异于点P的两点M，N，则直线MN的斜率为定值，类似地，已知双曲线上有一点，过P作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与双曲线交于异于点P的两点M，N，则直线MN的斜率为