第国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试三解答

1、第53届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试三解答第一天2012年3月25日 上午8：0012：301.如图,锐角中,为的垂心,点、分别在边、上，,为的外心.点与在直线的同侧，使得为正三角形.证明：、三点共线.证法一：如图, 设为的垂心, 延长、交于点, 延长、交于点,易知、四点共圆.由知：,即.设为点关于的对称点,则.由知：.因此为正三角形.由及知：与相似,因此与（顺）相似,由此推出与（顺）相似.用表示向量与的夹角（逆时针方向为正）.由于,因此,而与均为正三角形,所以与全等.因此.由此可知,即 . 由、即知, 、三点共线, 得证.证法二：以为原点建立复平面，以每点的字母表示这点所对应的复数，设

2、，则，且. 由得：， 同理. 由为正三角形知：，所以，要证、三点共线,即证，也就是证明.将，代入得到，.只需证明 ，比较左右两边的实部与虚部即知这是成立的，得证.2. 证明：对任意给定的整数, 存在个互不相同的正整数, 使得对任意整数, , , 以及任意非负整数, 只要, 就有证明： 我们证明更强的命题：对任意正实数, 以及任意正整数, 都存在个正整数, 满足, , 且对任意实数, , , 以及任意非负整数, 只要, 就有 不妨设, 对用数学归纳法证明上述命题. 时, , 只需取即可. 假设结论对成立, 我们有满足要求, 且, , 现考虑的情形. 先取定一个正整数, 满足,再令, , 取充分大

3、的正整数, 使得, 以及 . 下面证明这组满足要求. 设实数(注意到此时有), 以及非负整数,满足.若, 则(这里用到式)若, 则(这里用到式)这不可能.若, 再考虑三种情况, 若, 则 (这里用到式)这不可能. 若, 则, 注意到, , 由归纳假设知若, 则 (这里用到式)这样便验证了所取的满足条件，结论证毕.3. 求满足下面条件的最小实数: 对任意一个首项系数为1的2012次实系数多项式,都可以将其中的一些系数乘以, 其余的系数不变, 使得新得到的多项式的每个根都满足, 这里和分别表示复数的实部和虚部.解答：首先我们说明. 考虑多项式, 通过改变的系数符号, 得到4个多项式, , 和. 注

4、意到与有相同的根, 其中之一为, 此外与有相同的根, 且为的所有根的相反数, 故有一根, 由此得下面证明满足题目要求. 对任意,将其系数适当改变符号后可以得到多项式,其中，；对，我们证明的每一个根, 都满足. 用反证法：假设有一个根, 使得, 则, 并且要么与的夹角小于, 要么与的夹角小于. 假设与的夹角小于, 另一种情况只需考虑的共轭虚根. 分两种情形：若在第一象限(或虚轴上), 设, 其中为将逆时针方向旋转到与相同方向的最小角度. 对, 若, 则; 若, 则, 又, 故每个的辐角主值在中, 此角状区域的顶角为, 又, 不全为0, 它们的和不能等于0. 若在第二象限, 设, 若, 则; 若,

5、 则, 于是每个的辐角主值都在中, 由于, 而, , 不全为0, 它们的和不能等于0.综上所述, 所求最小实数为.第二天2012年3月26日 上午8：0012：304. 给定整数，设，已知对任意，为平方数，证明：证明：引理：设正整数为中元素，为中元素，则引理的证明：首先注意（这等价于）故但由条件，此式左右两边均为整数，由此得到将上式两边展开，得到因，故，结合上式得到，故回到原题， 设， ，不妨设由于为平方数，故若，不妨设，则由均为平方数及，易知，从而因此，或者有，或者有应用引理可知，从而，若，则有，若，则有，故总有5. 求所有具有下述性质的整数：存在整数，满足, , , , 且.证: 若有平方

6、因子, 设, , 取即满足条件.下设无平方因子.若存在两个素数, 使得，设，两两不同，. 由于与中至少有1个数与互素（否则整除它们的差，即，矛盾），取这个数为，则，. 同理可在与两数中取一个数，使，. 从而，且.这样的满足条件.若不存在两个素数, 使，易验证这样的整数只可能等于15, 30或者形如（其中为奇素数）. 易知时，不存在满足条件的；当时，满足条件.综上所述，整数满足题设当且仅当不是奇素数、奇素数的两倍及30.6. 由个单位方格构成的正方形棋盘的一些小方格中停有甲虫, 一个小方格中至多停有一只甲虫. 某一时刻, 所有的甲虫飞起并再次全部落在这个棋盘的方格中, 每一个小方格中仍至多停有一

7、只甲虫. 一只甲虫飞起前所在小方格的中心指向再次落下后所在小方格的中心的向量称为该甲虫的“位移向量”, 所有甲虫的“位移向量”之和称为“总位移向量”. 就甲虫的个数及始、末位置的所有可能情况, 求“总位移向量”长度的最大值.解答: 以棋盘中心为原点, 平行于格线建立直角坐标系, 将所有小方格的中心点记为集合, 初始时停有甲虫的小方格中心点记为集合, 再次落下后停有甲虫的小方格中心点记为集合, 同一甲虫前后两次停留的小方格给出了到的一一对应, 于是总位移向量等于. 注意到式与无关, 因此只需对所有, 求式的最大值. 可不妨设, 否则将同时减去它们的交集后式不改变. 由于的选取方式有限, 设对某一

8、对, 取得最大值. 显然，过作垂直于的直线.引理一: 不过中任意一点, 且为某一侧的所有中的点，为另一侧的所有中的点.引理一的证明: 首先, 否则由于为偶数, 至少有两个点不在中, 不妨设与的夹角不超过, 则, 故将加入, 加入后, 严格增大, 这与的最大性矛盾. 于是互为补集. 其次, , 如若不然, 则中都包含一对对称点, 即存在, 使得, . 不妨设与的夹角不超过, 则与的最大性矛盾, 故是对称的点集. 不过中任意一点，如若不然，设过, ，则将换入, 换入后, 总位移向量为, 注意与的夹角等于，则, 矛盾. 最后我们说明，是一侧的所有中的点（指向的那一侧），是另一侧的所有中的点如若不然，

9、在指向的一侧有，另一侧有，则与的夹角小于，这样将换入，换入，变为，长度严格变大，与的最大性矛盾. 至此引理一获证.引理二: 设, 是过的一条直线, 且不过中点. 在一侧的所有点记为, 另一侧的所有点记为, 则的最大值在水平(或垂直)时取得, 此时的方向为垂直(或水平).引理二的证明: 的点落在一个正方形边界上, 每边上有个点. 设该正方形的四个顶点分别为, , , . 由对称性, 不妨设过AD内部, 且斜率非负, 这样设与AD的交点在AD上从上往下第个中的点和第个中的点之间. 此时算得， 其中分别表示水平和垂直单位向量. 记，则.上式作为关于的二次函数, 对称轴在处, 易知当时，取最大值，即取最大值, 此时，即是水平直线