高二数学回归分析的基本思想及其初步应用ppt课件

1、2021-03-28统计案例统计案例第三章第三章12021-03-28.?,?,:,等等等等性相关关系性相关关系线线体重之间是否存在体重之间是否存在身高和身高和一个重要因素一个重要因素肥胖是影响人类健康的肥胖是影响人类健康的与患肺癌有关系吗与患肺癌有关系吗吸烟吸烟胁人类性命的一种疾病胁人类性命的一种疾病肺癌是严重威肺癌是严重威面的问题面的问题我们经常会遇到类似下我们经常会遇到类似下在现实中在现实中.,)(,)(,以得到最可靠的结论以得到最可靠的结论当的方法分析数据当的方法分析数据然后用恰然后用恰的方法的方法数据数据并确定获取变量值并确定获取变量值题题决的问决的问用怎样的量来描述要解用怎样的量来

2、描述要解是什么是什么总体总体象象必须明确问题涉及的对必须明确问题涉及的对为了回答这些问题为了回答这些问题22021-03-28.,.,的作用的作用认识统计方法在决策中认识统计方法在决策中想想的基本思的基本思并初步了解独立性检验并初步了解独立性检验其应用其应用析方法及析方法及进一步讨论线性回归分进一步讨论线性回归分的讨论的讨论通过对典型例案通过对典型例案我们将在此基础上我们将在此基础上章中章中本本归等基本知识归等基本知识样本估计总体、线性回样本估计总体、线性回用用我们学习过关于抽样、我们学习过关于抽样、在必修模块中在必修模块中32021-03-28其初步应用其初步应用回归分析的基本思想及回归分析

3、的基本思想及1.342021-03-28.,3.)analysisregression(.,行预报行预报并用回归直线方程进并用回归直线方程进直线方程直线方程求回归求回归点图点图其步骤为画散其步骤为画散进行了研究进行了研究的方法的方法系的变量利用回归分析系的变量利用回归分析性相关关性相关关我们对两个具有线我们对两个具有线中中数学数学在在方法方法析的一种常用析的一种常用分分系的两个变量进行统计系的两个变量进行统计是对具有相关关是对具有相关关析析回归分回归分定性关系定性关系而相关关系是一种非确而相关关系是一种非确性关系性关系函数关系是一种确定函数关系是一种确定我们知道我们知道52021-03-28:

4、,y,x,y,x,y,xnn2211二乘估计公式分别为二乘估计公式分别为截距和斜率的最小截距和斜率的最小我们知道其回归方程的我们知道其回归方程的关系的数据关系的数据对于一组具有线性相关对于一组具有线性相关探究探究 1xbya 2,xxyyxxbn1i2in1iii?.y, x.yy,xn1xn1iin1ii公公式式吗吗你你能能推推导导出出这这两两个个计计算算称称为为其其中中样样本本点点的的中中心心.心心回归直线过样本点的中回归直线过样本点的中62021-03-28., xy, Qba ,n1i2ii的值取最小值时分别是使和斜率截距从已经学过的知识知道 n1i2iixyxyxy, Q由于2n1i

5、ii2iixyxyxyxy2xyxy,xynxyxyxy2xyxy2n1iiin1i2ii72021-03-28xyxyxyn1iii注意到n1iiixyxyxyn1in1iiixynxyxy, 0 xynxnynxy2n1i2iixynxyxy, Q所以82021-03-282n1i2iin1in1ii2i2xynyyyyxx2xx2n1i2in1iiin1i2i2xxyyxxxxxyn.yyxxyyxxn1i2in1i2i2n1iii92021-03-28即有均为当且仅当前两项的值取最小值因此要使数而前两项为非负无关后两项和在上式中, 0,Q, ,.xy,xxyyxxn1i2in1iii.

6、公式这正是我们所要推导的.,基本思想及其应用基本思想及其应用进一步学习回归分析的进一步学习回归分析的下面我们通过案例下面我们通过案例102021-03-28.13,81所示所示重数据如表重数据如表其身高和体其身高和体名女大学生名女大学生从某大学中随机选取从某大学中随机选取例例5943616454505748kg/170155165175170157165165cm/87654321体重体重身高身高编号编号.cm172,的女大学生的体重的女大学生的体重并预报一名身高为并预报一名身高为归方程归方程身高预报她的体重的回身高预报她的体重的回求根据一名女大学生的求根据一名女大学生的: ) 11.3(.y

7、,x,图图作散点体重为因变量真实取身高为自变量因此选据身高预报体重由于问题中要求根解11.3图图xy112021-03-28.,11.3画它们之间的关系刻性回归方程以用线因此可线性相关关系较好的重有比高和体身样本点呈条状分布中可以看出从图 .712.85x 849.0y .849.0b,712.85a ,21于是得到回归方程可以得到和根据探究中的公式.kg316.60712.85172849.0y,cm172,预报其体重为由回归方程可以的女大学生对身高为所以11.3图图xy122021-03-28?.,849.0y,1x,849.0b的强弱它们之间线性相关关系如何描述性相关关系体重与身高具有正

8、的线这表明个单位就增加体重个单位时每增加说明身高是斜率的估计值为关系数的具体计算公式样本相关系的方法两个变量之间线性相关来衡量我们介绍了用相关系数中在必修.r,3.yyxxyyxxrn1in1i2i2in1iii132021-03-28.75.0r,.,0r ;, 1r .,0r;,0r强的线性相关关系时认为两个变量有很大于当通常关系不存在线性相关表明两个变量之间几乎时越接近于性越强明两个变量的线性相关表的绝对值越接近表明两个变量负相关时当表明两个变量正相关时当.,798.0r,有意义的我们建立的回归模型是从而也表明关关系与身高有很强的线性相这表明体重可以计算出在本例中142021-03-28

9、?,?kg316.60cm172其原因是什么其原因是什么不是不是如果如果吗吗是是女大学生的体重一定女大学生的体重一定的的身高身高探究探究.21.3.kg316.60kg316.60cm172,位置说明了这一点本点和回归直线的相互中的样图以认为她的体重接近于但一般可是大学生的体重不一定的女身高显然21.3图图 3, eabxy:,回归模型来表示可用下面的线性所以身高和体重的关系线的附近而只是散布在某一条直线由于所有的样本点不共152021-03-28.y,x,yx,exy,称为预报变量称为预报变量把把称为解释变量称为解释变量因此我们把因此我们把的变化的变化只能解释部分只能解释部分即即共同确定共同

10、确定素素和随机因和随机因的值由的值由在回归模型中在回归模型中与函数关系不同与函数关系不同 :.0eD, 0eE,e.abxyye,ba2整表达式为整表达式为这样线性回归模型的完这样线性回归模型的完方差方差它的均值它的均值称为称为为随机变量为随机变量通常通常的误差的误差之间之间与与是是为模型的未知参数为模型的未知参数和和这里这里随随机机误误差差 .eD, 0eE,eabxy2 4 随机误差是引起预报随机误差是引起预报的精度越高的精度越高预报真实值预报真实值通过回归直线通过回归直线越小越小的方差的方差随机误差随机误差中中在线性回归模型在线性回归模型.y5, abxy,e,42162021-03-2

11、8.,yy 取决于随机误差的方差取决于随机误差的方差其大小其大小之间的误差的原因之一之间的误差的原因之一与真实值与真实值值值 .yy ,ba,ba 21,另一个原因另一个原因之间误差的之间误差的与真实值与真实值这种误差是引起预报值这种误差是引起预报值之间也存在误差之间也存在误差和和它们与真实值它们与真实值的估计值的估计值为截距和斜率为截距和斜率和和中中和和由于公式由于公式另一方面另一方面?e的原因是什么的原因是什么产生随机误差项产生随机误差项思考思考.e.,.,的产生的产生差项差项误误机机随随所有这些因素都会导致所有这些因素都会导致是一种近似的模型是一种近似的模型型往往只型往往只我们选用的线性

12、模我们选用的线性模另外另外动、度量误差等动、度量误差等食习惯、是否喜欢运食习惯、是否喜欢运例如饮例如饮许多其他因素的影响许多其他因素的影响还受还受身高的影响外身高的影响外一个人的体重值除了受一个人的体重值除了受实际上实际上172021-03-28?,yye,如何衡量预报的精度如何衡量预报的精度随机误差随机误差那么应该怎样研究那么应该怎样研究它是一个不可观测的量它是一个不可观测的量误差误差的的预报真实值预报真实值是用是用在线性回归模型中在线性回归模型中探究探究., 0,.,2随机误差的大小随机误差的大小来衡量来衡量因此可以用方差因此可以用方差而随机误差的均值为而随机误差的均值为于均值程度的数字特

13、征于均值程度的数字特征差是反映随机变量集中差是反映随机变量集中方方平均水平的数字特征平均水平的数字特征值是反映随机变量取值值是反映随机变量取值均均画它的一些总体特征画它的一些总体特征机变量的数字特征来刻机变量的数字特征来刻因此可以通过这个随因此可以通过这个随量量因为随机误差是随机变因为随机误差是随机变182021-03-28 .e,y,ye43?e.,2的样本的样本变量变量因此也就无法得到随机因此也就无法得到随机分离出来分离出来中中我们无法精确地把它从我们无法精确地把它从中中隐含在预报变量隐含在预报变量中的中的或或由于模型由于模型的样本呢的样本呢到随机变量到随机变量如何得如何得来估计总体方差来

14、估计总体方差的想法是通过样本方差的想法是通过样本方差一个自然一个自然的值的值需要估计需要估计为了衡量预报的精度为了衡量预报的精度192021-03-28 , a xby ,21.2归方程可以建立回和公式根据截距和斜率的估计样本的估计值来估计解决问题的途径是通过 .ey ye , yye.y5y 的估计量是所以由于随机误差的估计值中是因此. n, 2 , 1i , abxyyye,y,x,y,x,y,xiiiiinn2211 相应它们的随机误差为相应它们的随机误差为而言而言对于样本点对于样本点, n, 2 , 1i , a xbyy ye iiiii 其估计值为其估计值为202021-03-28

15、2nb, a Q2n1e 2n1 ,).residual(y,xe n1i22iii可以用可以用差估计总体方差的思想差估计总体方差的思想类比样本方类比样本方的的称为相应于点称为相应于点残差残差 ., . ).squaresofsumresidual(b, a Q,21ba ,222预报精度越高预报精度越高越小越小度度衡量回归方程的预报精衡量回归方程的预报精可以用可以用称为称为给出给出由公式由公式和和其中其中的估计值的估计值作为作为残差平方和残差平方和.2n效效果果是是为为了了达达到到更更好好的的估估计计公公式式中中的的分分母母取取 .xxyyxxb2. xbya :1n1i21n1iii公式公

16、式公式公式212021-03-28?0?21吗吗为为报误差报误差性回归方程的预性回归方程的预用这样的样本建立的线用这样的样本建立的线时残差平方和为多少时残差平方和为多少或或当样本容量为当样本容量为思考思考.,e ,e ,e ,.,n21这方面的分析工作称为这方面的分析工作称为在可疑数据在可疑数据判断原始数据中是否存判断原始数据中是否存来判断模型拟合的效果来判断模型拟合的效果可以通过残差可以通过残差然后然后性回归模型来拟合数据性回归模型来拟合数据是否可以用线是否可以用线线性相关线性相关来粗略判断它们是否相来粗略判断它们是否相首先要根据散点图首先要根据散点图系时系时在研究两个变量间的关在研究两个变

17、量间的关 残差分析残差分析.23相应的残差数据相应的残差数据重的原始数据以及重的原始数据以及列出女大学生身高和体列出女大学生身高和体表表 222021-03-28382.0883.2627.6137.1618.4419.2627.2373.6e 5943616454505748kg/170155165175170157165165cm/87654321残差残差体重体重身高身高编号编号编编号号残差残差31.3图图.31.3.,.残残差差图图坐坐标标的的样样本本编编号号为为横横是是以以图图这这样样作作出出的的图图形形为为等等或或体体重重估估计计值值高高数数据据或或身身可可选选为为样样本本编编号号横

18、横坐坐标标纵纵坐坐标标为为残残差差作作图图时时分分析析残残差差特特性性我我们们可可以以利利用用图图形形来来残残差差图图232021-03-28编编号号残差残差31.3图图.,.,;,.,61,31.3越高越高回归方程的预报精确度回归方程的预报精确度拟合精度越高拟合精度越高说明模型说明模型区域的宽度越窄区域的宽度越窄均匀地落在水平的带状均匀地落在水平的带状残差点比较残差点比较另外另外则需要寻找其他的原因则需要寻找其他的原因没有错误没有错误如果数据采集如果数据采集合数据合数据归模型拟归模型拟性回性回利用线利用线然后再重新然后再重新予以纠正予以纠正就就果数据采集有错误果数据采集有错误如如是否有人为的

19、错误是否有人为的错误点的过程中点的过程中两个样本两个样本需要确认在采集这需要确认在采集这大大个样本点的残差比较个样本点的残差比较个样本点和第个样本点和第第第出出中可以看中可以看从图从图242021-03-28.yyy y1R:,R,n1i2in1i2ii22其计算公式是其计算公式是来刻画回归的效果来刻画回归的效果我们还可以用相关指数我们还可以用相关指数另外另外.rR,2的平方的平方系数系数恰好等于相关恰好等于相关线性模型中线性模型中在含有一个解释变量的在含有一个解释变量的如果对某组数据如果对某组数据关性越强关性越强量和预报变量的线性相量和预报变量的线性相表示解释变表示解释变越接近于越接近于因为

20、因为表示回归的效果越好表示回归的效果越好接近于接近于越越化的贡献率化的贡献率释变量对于预报变量变释变量对于预报变量变表示解表示解在线性回归模型中在线性回归模型中模型的拟合效果越好模型的拟合效果越好也就是说也就是说意味着残差平方和越小意味着残差平方和越小取值越大取值越大显然显然. ), 1R(, 1R.R,.,R,2222252021-03-28.R,R,22据的模型据的模型大的模型作为这组数大的模型作为这组数选择选择可以通过比较几个可以通过比较几个也也回归分析回归分析种不同的回归方程进行种不同的回归方程进行取几取几可能性采可能性采.%64, %64,64.0R,12高引起的高引起的是由身是由身

21、女大学生体重差异有女大学生体重差异有或者说或者说体重变化体重变化的的女大学生身高解释了女大学生身高解释了表明表明中中在例在例:,需要注意下列问题用身高预报体重时.,.,.1系木的高与直径之间的关描述北方干旱地区的树方程的高与直径之间的回归在南方多雨地区的树木不能用生长同样之间的关系女运动员的身高和体重描述和体重之间的回归方程不能用女大学生的身高例如所研究的样本的总体回归方程只适用于我们262021-03-28.,8020,.2之间的关系描述现在的身高和体重方程建立的回归年代的身高体重数据所世纪能用不例如一般都有时间性我们所建立的回归方程.),ycm70 x,cm170,cm155x,(,.3显

22、然不合适值时的程计算而用这个方的样本的取值范围为解释变量即在回归方程中重之间的关系就不恰当幼儿时期的身高和体那么用它来描述一个人立的建大学生身高和体重数据我们的回归方程是由女例如归方程的适用范围样本取值范围会影响回.,.4值的平均值它是预报变量的可能取事实上精确值的的预报值就是预报变量不能期望回归方程得到272021-03-28:,骤为骤为建立回归模型的基本步建立回归模型的基本步一般地一般地 ;,1量是预报变量量是预报变量哪个变哪个变量量明确哪个变量是解释变明确哪个变量是解释变确定研究对象确定研究对象 ;,2如是否存在线性关系等如是否存在线性关系等观察它们之间的关系观察它们之间的关系散点图散点

23、图释主变量和预报变量的释主变量和预报变量的画出确定好的解画出确定好的解282021-03-28 );abxy,(3则选用线性回归方程则选用线性回归方程线性关系线性关系如我们观察到数据呈如我们观察到数据呈型型由经验确定回归方程类由经验确定回归方程类 );(4乘法乘法如最小二如最小二程中的参数程中的参数按一定规则估计回归方按一定规则估计回归方 .,),(5或模型是否合适等或模型是否合适等则检查数据是否有误则检查数据是否有误在异常在异常若存若存律性等等律性等等或残差呈现不随机的规或残差呈现不随机的规应残差过大应残差过大个别数据对个别数据对是否有异常是否有异常得出结果后分析残差图得出结果后分析残差图2

24、92021-03-28.xy,337.xy2之间的回归方程之间的回归方程与与试建立试建立中中观察数据列于表观察数据列于表组组现收集了现收集了有关有关和温度和温度一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数例例33 表表325115662421117/y35322927252321C/0个个产卵数产卵数温度温度41.3图图温度温度产卵数产卵数.41.3据作散点图根据收集的数解所以不能相关关系线性个变量不呈线因此两带状区域内某个布在有分并没样本点在散点图中,302021-03-28.cc,ecy,.21xc12是待定参数和其中的周围指数函数曲线某一条可以发现样本点分布在根据已有的函数知识系立两个变量之间的

25、关建来直接利用线性回归方程 .xy,.)cb,clna(abxz, ylnz.cc,2121了间的非线性回归方程之和型来建立就可以利用线性回归模这样的周围直线换后样本点应该分布在则变令系变为线性关过对数变换把指数关系我们可以通和参数问题变为如何估计待定现在 .,abxy线性回归方程线性回归方程我们称之为非我们称之为非时时当回归方程不是形如当回归方程不是形如图的样本数据表的数据可以得到变换后由表, 4333312021-03-28.,51.3.4351.3用线性回归方程来拟合因此可以一条直线的附近变换后的样本点分布在看出中可以从图中数据的散点图给出了表784.5745.4190.4178.304

26、5.3398.2946.1z35322927252321x43表产卵数的对数温度51.3图图.843.3x272.0z 43到线性回归方程中的数据得由表回归方程为数对温度的非线性因此红铃虫的产卵322021-03-28 6ey 843.3x272.01.xy,ty,xt,.cc,cxcy41.3,243423非线性回归方程之间的与从而得到之间的线性回归方程与立然后建即令变换因此可以对温度变量做数为待定参和其中的附近次曲线中样本点集中在某二可以认为图另一方面.61.3,53是相应的散点图图应的温度的平方是红铃虫的产卵数和对表325115662421117y12251024841729625529

27、441t53表332021-03-28.xycxcy,ty,61.3423下面介绍具体方法下面介绍具体方法到到还可以通过残差分析得还可以通过残差分析得这个结论这个结论之间的关系之间的关系与与来拟合来拟合二次曲线二次曲线即不宜用即不宜用合它合它回归方程来拟回归方程来拟此不宜用线性此不宜用线性因因直线的周围直线的周围不分布在一条不分布在一条的散点图并的散点图并与与可以看出可以看出中中从图从图温度的平方数卵产61.3图图中用线性回归模型拟合表的二次回归方程关于下面建立的指数回归方程关于前面已经建立了方程归需要建立两个相应的回残差为比较两个不同模型的52.xy,xy.,342021-03-28 7.54.202x367.0y xy,54.202t367.0y ty,222的二次回归方程为关于即的线性回归方程关于得到的数据 的残差计算公式分别为和则回归方程列的数据行第第表示表用的拟合效果和个回归方程可以通过残差来比较两76,1i153x.76i ; 7 , 2 , 1i ,eyy ye 843.3x272.0i1ii1i .7 , 2 , 1i ,54.202x367.0yy ye 2ii2ii2i .76,76.63的拟合效果好的拟合效果好型型的拟合效果比模的拟合效果比模因此模型因此模型的残差的绝对值小的残差的绝对值小模型模型的残差