安元杰-第12节解析几何-圆锥曲线

1、西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心学员辅导教案学生姓名：安元杰授课时间 2016 年 4 月 1 日 （星期五）科目：数学圆锥曲线的方程与性质1椭圆（ 1）椭圆概念平面内与两个定点F1 、 F2 的距离的和等于常数2 a （大于 | F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有 | MF1 | MF2 | 2a 。椭圆的标准方程为：x2y21（ ay2x 21（ ab 0 ）（焦点在a2b2b 0 ）（焦点在 x 轴上）或b 2a 2y 轴上）。注：以上方程中a, b 的大小 a b0 ，其中 b2a2c2

2、；在 x2y2 1和 y2x21两个方程中都有ab0 的条件， 要分清焦点的位置， 只要看 x2 和 y2a2b2a2b2的分母的大小。例如椭圆x2y21 （ m0， n0， mn ）当 m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆；当mnm n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。（ 2）椭圆的性质x2y 21知 | x | a ， | y | b ，说明椭圆位于直线 xa ， yb 所围成的矩范围：由标准方程b2a2形里；对称性：在曲线方程里，若以y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y) 在曲线上时，点 (x,y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称， 同理，以x 代替 x 方程不变， 则曲线关于

3、 y 轴对称。 若同时以x 代替 x ， y代替 y 方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称1西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心中心叫椭圆的中心；顶点： 确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。 在椭圆的标准方程中，令 x0 ，得 yb ，则 B1(0,b) ， B2 (0,b) 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令y0 得 xa ，即A1 ( a,0) ， A2 ( a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段

4、A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在 RtOB2 F2 中， |OB2 |b ， |OF2 |c ，| B2 F2 | a ，且 | OF2 |2 | B2 F2 |2|OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；c叫椭圆的离心率 。ac 0 ，0e 1，且 e 越接近1， c离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 ea就越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆

5、。当且仅当a b 时， c0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。2双曲线（ 1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1 | PF2 |2a ）。注意：式中是差的绝对值，在02a | F1F2 |条件下； | PF1 | | PF2 |2a 时为双曲线的一支；|PF2| |PF1|2a 时为双曲线的另一支（含F1 的一支）；当 2a| F1F2 | 时， | PF1 | PF2 |2a 表示两条射线；当2a | F1 F2 | 时， | PF1| | PF2 | 2a 不表示任何图形；两定点F1 , F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 |

6、叫做焦距。（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程x2y 21，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa 的外侧。a2b22西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心即 x 2a 2 ， xa 即双曲线在两条直线 xa 的外侧。对称性：双曲线x2y 2a1 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，2b 2原点是双曲线 x2y21 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a2b 2顶点： 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 x2y21的方程里， 对称轴是 x, y 轴，a2b2所以令 y 0 得 xa ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A ( a,0) A

7、2 (a,0)x 2y 21的顶，他们是双曲线b2a 2点。令 x0 ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线： 注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线， 这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x 2y 21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a 2b2等轴双曲线：1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线

8、叫做等轴双曲线。定义式： a b ；2）等轴双曲线的性质： （1）渐近线方程为： yx ；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3ab ，则等轴双曲线可以设为：x2y2(0)，当0 时交点）注意到等轴双曲线的特征在 x 轴，当0 时焦点在 y 轴上。注意 x2y 21 与 y 2x21 的区别：三个量a, b, c 中 a,b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的169916坐标轴也变了。3西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心3抛物线（ 1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等

9、的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上 )。定点 F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是xp ；22（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 22 px ， x 22 py ， x 22 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y 22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)l

10、 yy图形yFlloxoFxF ox焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p)(0,p )2222准线方程xpxpypyp2222范围x0x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1e1说明：（1）通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（ 3）注意强调 p 的几何意义：是焦4西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心点到准线的距离。四、椭圆、双曲线、抛物线椭圆双曲线抛物线1到两定点 F ,F2的距离之11到两定点 F ,F

11、的距离之差的和为定值 2a(2a>|F 1F2|)12的点的轨迹绝对值为定值 2a(0<2a<|F 1F2|)与定点和直线的距离相等的的点的轨迹定义点的轨迹 .2与定点和直线的距离之2与定点和直线的距离之比为比为定值 e 的点的轨迹 .定值 e 的点的轨迹 . （ e>1）（ 0<e<1）点集： (M MF+ MF点集： M MF - MF .点集 M MF =点 M到直轨迹条件1212F 2a.=± 2a, F F 2a.线 l 的距离 .=2a, F1222图形方标准2222xy1( a b >0)xy1(a>0,b>0)y2

12、2 px程方程a 2b2a 2b2参数xacosxa secx2方程ybsinyb tan2 pt(t 为参数 )(参数 为离心角）(参数 为离心角）y2 pt范围 a x a， b y b|x|a ，yRx0中心原点 O（ 0，0）原点 O（ 0， 0）顶点(a,0), (a,0),(a,0), ( a,0)(0,0)(0,b) , (0, b)对称轴x 轴， y 轴；x 轴， y 轴 ;x 轴长轴长 2a, 短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点1212F (p ,0)F (c,0), F( c,0)F (c,0), F( c,0)25西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心2x=

13、± a2x=± ax=-p准线c准线垂直于长轴，且在椭圆外 .焦距2c （ c=a 2b2）离心率ec (0e1)a（ 4）中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程见下表：方程(x - h) 2+ (y - k) 2=1a 2b2椭圆(x - h) 2+ (y - k) 2=1b 2a 2(x - h) 2- (y - k) 2=1a 2b2双曲线(y - k) 2- (x - h) 2=1a 2b 2(y-k)2=2p(x-h)2(y-k)=-2p(x-h)抛物线(x-h) 2=2p(y-k)(x-h) 2=-2p(y-k)c准线垂直于实轴， 且在两顶点的内侧 .2c（c

14、=a2b2 ）ec (e 1)a焦点焦线( ± c+h,k)x=± a 2+hc(h, ± c+k)y=± a 2+kc( ± c+h,k)x=± a 2+kc(h, ± c+h)y=± a 2+kc( p +h,k)x=-p +h22(-p +h,k)x= p +h22(h,py=-p+k)+k22(h,-p +k)y= p +k222准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 .e=1对称轴x=hy=kx=hy=kx=hy=kx=hy=ky=ky=kx=hx=h6西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心圆锥曲线

15、的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 a>b>0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a>0,b>0y2=2px p>0范围x-a,ay-b,bx(- ,- a a,+ )yRx0,+ ) y 对称性关于 x 轴,y轴 , 原点对称关于 x 轴 ,y 轴 , 原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0)(p/2,0)【其中 c2=a2-b2】【其中 c2=a2+b2 】准线x=±(a2)/cx=&#

16、177;(a2)/cx=-p/2渐近线y=±(b/a)x离心率e=c/a,e (0,1)e=c/a,e (1,+ )e=1焦半径PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+a PF2=ex -aPF=x+p/2焦准距p=(b2)/cp=(b2)/cp通径(2b2)/a(2b2)/a2p参数方程x=a·cos y=b·sin ， 为参x=a·sec x=2pt2 y=2pt,7西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心数y=b·tan , 为参数为参数过圆锥曲(x0 ·x/a2)+(y0 ·y/b2)=1(x0x/a2)-

17、(y0 ·y/b2)=1y0·y=p(x+x0)线上一点(x0,y0) 的切线 方程斜率为 ky=kx± (a2) ·(k2)+b2y=kx± (a2) ·(k2)-b2y=kx+p/2k的切线方程圆锥曲线测试题一、选择题：（每题 4 分，共40 分）1 c 0 是方程ax 2y 2c表示椭圆或双曲线的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D 不充分不必要条件2如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线x=-1 ，那么它的焦点坐标为（）A（1, 0）B （2, 0）C（3, 0）D （ 1, 0）3直线 y = x +1 被椭圆

18、 x 2+2y 2=4 所截得的弦的中点坐标是（）12B(-2111)11)A( ,-),)C.( ,-D (-,333323324一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A 6 mB 26 mC 4.5mD 9m5. 已知椭圆 x 2y 21上的一点 P 到左焦点的距离是4 ，那么点 P 到椭圆的右准线的距离是（）953A 2B 6C 7D 1432222y6曲线 x y =1 与曲线x=1(k 9）的（）25925k9kA. 长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等227已知椭圆 x y1 的离心率 e=10,则 m 的值为（）5m5A 3

19、B.25或 3C.5D.5 15或1533B 为椭圆短轴的端点，8已知椭圆 C 的中心在原点，左焦点F ，右焦点 F 均在 x 轴上， A 为椭圆的右顶点，12P 是椭圆上一点，且PF1 x 轴， PF2 AB，则此椭圆的离心率等于（）A 1B2C 1D 522359方程 mxny 20 与 mx2ny 21( mn0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）8西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心ABCD2210.椭圆 x y =1 上一点 M 到左焦点的距离为2，N是M的中点，则 2 ON259F 1F 1等于 （）A. 3B . 4C. 8D.16二填空题(每题 4分，共 16 分)x2

20、y 2t 的取值范围是11.1表示双曲线，则实数4 t t112双曲线4 x2 y2 64 0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1 ，则点P 到另一个焦点的距离等于.13斜率为 1 的直线经过抛物线y2 4x的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则 AB等于.14. 设 x,yR, 在直角坐标平面内， a （ x,y+2 ） , b = (x,y 2)，且 a b 8，则点 M （ x , y ）的轨迹方程是.三解答题x2y21共焦点，且以 y4(10 分)15已知双曲线与椭圆24x为渐近线，求双曲线方程49316椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2，相应于焦点（ ，）（ c 0 ）的准F

21、c 0线 l 与 x 轴相交于点 A ， |OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点 .（）求椭圆的方程及离心率；（）若 OP OQ0 ，求直线 PQ 的方程；（12 分）9西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心17已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y = x +1 与该椭圆相交于P 和 Q，且 OP OQ ，|PQ|=10 ，求椭圆的方程 （12 分）218一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸，在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒，已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒 1 千米）求

22、 A 、P 两地的距离 (10分 )10西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心参考答案一选择题（本大题共10小题，每小题4 分，共 40分）题号12345678910答案BABBCDBDAC二填空题（本大题共4 小题，每小题4分，16分）11 t>4 或 t<112. 1713. 814. x2 x 2 11216三解答体15 (10 分 )解析 ：由椭圆 x2y 21c54924设双曲线方程为x2y 2b4a29故所求双曲线方程为x2y21a2b2 1，则a3b216916a 2b 22516（ 12 分） 解析 ：（1）由已知由题意，可设椭圆的方程为x2y21( a2) .由

23、已知得a2c222,解得a 22ac2(c).ca6 , c2 所以椭圆的方程为x 2y26.（）解：由（1）可得 A （ 3， 0） .设直线61，离心率 e32x2y 21, 得(321)218227260 依题意PQ的方程为由方程组kxk xky k (x 3) .62y k ( x 3)12(23k 2 )0 ，得6k6 .设 P( x1 , y1 ), Q( x2 ,y2 ) ，则 x1x218k 2， 27 k 2333k 216 .由直线 PQ 的方程得 yk( x13),y2k( x23) .于是x1 x22113ky1 y2k 2 ( x13)( x23) k 2 x1 x2 3(x1x2 ) 9.x1 x2y1 y20 . . 由得 5k 21，yk5(6,6) .Q533所 以 直 线 PQ 的 方 程 为 x5y 30