【全国卷】2018高三理科数学总复习第五节指数与指数函数(001)

1、第五节指数与指数函数【最新考纲】1.理解有理指数哥的含义，了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算.2.了解指数函数模型的实际背景.3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10,1,1的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函23数模型.禽篇总春夯实双基|代楸川叼典农强区I基础梳理1.根式的性质(1)(n/a)n=a.(2)当n为奇数时，nan=a.当n为偶数时，nan= |a| = aa(a>0)(a<0)(4)负数的偶次方根无意义.(5)零的任何次方根都等于零.2 .有理指数哥(1)分数指数哥m,正分数指数帚：an=FOm(a>0

2、,m,n6N,且n>1);负分数指数哥:m, n 6 N*,且 n>m11,八a-=(a>0,nmnanam1)；0的正分数指数哥等于0,0的负分数指哥没有意义.(2)有理数指数哥的运算性质：ar.as=ar+s(a>0,r、s6Q);(ar)s=02(a>0,r、s6Q);(ab)r=arbr(a>0,b>0,r6Q).3 .指数函数的图象与性质定义域R值域（0,十8）性质过定点(0、1)当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1;当x<0时，y>1在R匕增函数在R上是

3、减函数学情自测1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)4(-4)4=-4.()21(2)(-1)4=(-1)2=正工()(3)函数丫=2/1是指数函数.()(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+°°).()答案：(1)x(2)x(3)x(4)x12.化简(2)62(1)0结果为()A.9B.7C.-10D.911解析：(-2)62-(-1)0=(26)2-1=8-1=7.答案：B3.已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)解析：由a0=1知

4、，当x1=0,即x=1时，f(1)=5,即图象必过定点(1,5).答案：A4 .(2016唐山一模)函数f(x)=也x_2的定义域是.解析：由题意可得：2一x2A0,/.2x>2,/.-x>1,/.x<-1,即函数的定义域为(一s,-1.答案：(一8,15 .指数函数y=(2a)x在定域内是减函数，则a的取值范围是解析：由题意知0c2a<1,解得1<a<2.答案:(1,2)-名师微博通法领悟1两种方法1 .根式与分数指数哥的实质是相同的，分数指数哥与根式可以互化，通常利用分数指数哥进行根式的化简运算.2 .判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=1

5、得到底数的值再进行比较.二点汪息1 .指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常分0ca<1和a>1进行分类讨论.2 .对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成并且一定要注意函数的定义域.3 .对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c>0(W0)形式的方程式不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.“I番高效_提能I-却京城价一、选择题1.若x=log43,则(2x2x)2=()解析：由x=log43,得4x=3,即2x=V3,2x=3,所以(2x2x)2=232=4.答案：D2,函数2x)=2-1|的图象是()2x1,

6、x>1,解析：f(x)=1x-11由图象特点可知选B.答案：B3.函数f(x)=ax1(a>0,a#1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是()A.y=1xB.y=|x2|C.y=2x1D.y=log2(2x)解析：f(x)=ax1(a>0,a#1)的图象恒过点(1,1),又由，11=0知(1,1)不在函数y=V1Zx的图象上.答案：A4.若函数f(x)=a|2x4(a>0,a#1),满足f(1)=1,则f(x)的单9调递减区间是()A.(一巴2B.2,+*C.-2,+8)解析：由f=g,得牙=3,a=；（a=g舍去），即f（x）=g|2x-4|由于y=|2x4

7、|在（一s,2上递减，在2,+8）上递增，所以f（x）在（8,2上递增，在2,+8）上递减.答案：B（2015天津卷）已知定义在R上的函数f（x）=2-mli（m为实数）为偶函数，记a=f,b=f（log25）,c=f（2m）,则a,b,c的大小关系为（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a解析：由f（x）=2ml1是偶函数可知m=0,所以f（x）=2凶一1.所以a=f=2|-1=2log23-1=2,b=f（log25）=2|log25|-1=2log25-1=4,c=f（0）=2|0|-1=0,所以c<a<b.

8、答案：C6.如果函数/（上）=口上2+2工一3在区间（一8,4）上是单调递增的，则实数的取值范围是（）C.-<aV0【）,一44答案二、填空题7. （2015江苏卷）不等式2x2x<4的解集为.解析:*2x2x<4,2x2x<22,.x2x<2,即x2x2<0,1<x<2.答案：x1<x<2(或(一1,2)8. (2015山东卷)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a#1)的定义域和值域都是1,0,则a+b=.解析：当a>1时，函数f(x)=ax+b在1,0上为增函数，由a1+b=-1,题意得0.八无解.当0<a&l

9、t;1时，函数f(x)=ax+b在1,a0+b=0a1+b=0,a=J,0上为减函数，由题意得a0+b=_1解得2所以a+b=32.,3答案：29.y=+2|I|+3的单调增区间为.解析：由题意知,当.丁>。时少=/+2+?=一(I1)3+4*当.rVO时+了=/2.丁+3=(.丁+1)2+4+函数3=+2|*|+3在(-8,上是增函数.答案：(一8,-1。，三、解答题10,设a>0且a?1,函数y=a2x+2ax1在1,1上的最大值是14,求a的值.解：令t=ax(a>0且a?1),则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0).当0<a<1时，x-1,1,t

10、=ax6a,1,a一，1，一，此时f(t)在a,g上为增函数.a所以f(t)max=fJ=3+12=14.aa则：+1=16,所以a=1或a=1.a53又因为a>0,所以a=1.3当a>1时，x61,1,t=ax61,a,a此时f(t)在1,a上是增函数.a所以f(t)max=f(a)=(a+1)22=14,解得a=3(a=5舍去)，11，综上得a=1或3.311。一11.已知f(x)=ax_1+2x3(a>0,且a?1).讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.解：(1)由于ax1*0,则ax*1,得x*0,所以函数f(x)的定义域为x|x丰0.对于定义域内任意x,有1,13f(-x)=ax_1+2Jx)3ax1。=1-ax+2(-x),113=Tax1+2(-x)1 1Q=a*_i+2