大学高数试卷及答案

1、欢迎阅读浙江农林大学 2016-2017 学年第一学期期中考试课程名称： 高等数学 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项 ： 1、本试卷满分100 分。：号学：名姓：级班业专：院学题答2 、考试时间120 分钟。题号一二三四五六七八得分得分得分评阅人一、单项选择题 （在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3 分，共 21 分）1下列各式正确的是： ()sin xsin xxxA.lim1 B. lim0 C.lim 11e D. lim 11exxx 0xxxxx2. 当 x0时，与x 等价的无穷小量是： ()A. 1x1 B. ln1xC

2、. 1 e x D. 1cosx1x3. 设 f ( x) 在 xa 的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：()A. limhf (a1)f (a) 存在 B. limf (a2h)f (a h) 存在hhh 0hC. limf ( ah)f (ah) 存在 D. limf (a)f ( ah) 存在h 02hh 0h要4. 函数 y 3x3x 在区间 0,1 上的最小值是： ()不内A.0B. 没有 C.2D.2线9订装欢迎阅读5. 函数y 1 x2 在区间上应用罗尔定理时，所得到的中值()1,1A.0B.1C. 1 D.2axex06设函数 f ( x)处处可导，那么： ()A

3、 ab1 B a2,b1C a0,b1D a 1,b07.设 x a 为函数 yf ( x) 的极值点，则下列论述正确的是 ()A f ' (a)0B f ( a)0 C f '' (a) 0D以上都不对二、填空题（每小题3 分，共 21 分）得分1.极限 limx2cos3 x21 =.x( xsin x)2极限 lim222=.22Lnn1n22nn3.设函数( )=x23x10x2 在点x=2处连续，则 a.x2f xax24.函数 f ( x)x的间断点为 .sin x5.函数 y2 x2ln x 的单调减区间为 .6.设函数 y ln tanx ，则 dy .

4、7椭圆曲线xa cost 在 t4相应的点处的切线方程为 .yb sin t三、求下列极限（每小题6 分,共 18 分）得分1x sin x 11. 求极限 limx2x 0e1欢迎阅读x 12. 求极限 lim3x26xx3.求极限 lim ( 121)x 0 xx tan x四、计算下列导数或微分（每小题分6,共 18 分）得分1.设函数 y (2 x)2ln(ex1e2x ) , 求 dy 与 dy .dx2.设 yf ( x) 是由方程 arctan xlnx2y2 确定的隐函数，求 d2 y2 .ydx3. 计算函数 y ( x ) x 的一阶导数 .1 x欢迎阅读6 分）求函数 y

5、5 )3五、（本题( xx2的凹凸区间与拐点 .2六、（本题6 分）得分得分设函数 f ( x) 在 (,) 上二阶可导，函数g( x)ax2bxcx00 点二阶可f (x)x，试确定常数 a, b,c 的值，使得函数 g( x) 在 x0导 .七、（本题5 分）证明：当 x0 时，得分1 x ln( x1 x2 )1x2八、（本题 5分）设函数 f ( x) 在 0,3上连续，在 (0,3) 内可导，且得分f (0)f (1)f (2)3 ， f (3) 1 . 试证：必存在一点(0,3) ，使得f ' ( )0 .欢迎阅读浙江农林大学 2016-2017 学年第一学期期中考试参考答

6、案一、 单项选择题DBDDACD二、填空题（每小题3 分，共 21 分）1.12 2；3. 7 ； 4. k , k0, 1, 2,L ；5. (0, 1) ；6.csc 2 x2ab 0dx ；7. ay bx2x三、求下列极限（每小题6 分,共 18分）1x sin x 11. 求极限 limx2x 0e1xsin x2解：原式 =lim23分x0xlim sin x 4分x02x1 6分22. 求极限 lim3x6xxx 12x 1解：原式 = xlim1322分6x36x3 x 1= lim136 x 25分6xxlim3 x 13e 26分ex6x23.求极限 lim ( 121)x

7、 0 xx tan xtan xxlimtan xx解：原式 =lim2tan x32分x 0 xx0x欢迎阅读= limsec2x 11cos2x4分3x2lim3x2x 0x 0= lim 2cos x sin x1 6分x 06x3四、计算下列导数或微分（每小题分6,共 18 分）1. 设函数 y(2x)2ln(ex1e2x ) , 求 dy 与 dy .dxy2(2x)ex4分1e2 x解：dy2(2x)exdx 6分1e2x2. 设 yf ( x) 是由方程 arctan xlnx2y2确定的隐函数，求 d2 y .ydx2解：方程两边同时对变量x 求导并化简可得：y xy'

8、xyy'从而得到： y'yx，2分yx上式继续对变量 x 求导可得： y'y'xy''1 y'y'yy''4分'''2( x2y2 )6分化简上式并带入 y 可得： yyx33. 计算函数 y(x ) x 的一阶导数 .1 xx解：两边同时取对数得： ln yx ln( 1x)xln x ln(1x) 分(2)y'ln xln(1x)11lnx1两边同时对 x 求导得：yxxx 1 x1 分(5)x1从而得 y'ylnx1x ln(xx)lnxx1 分(6)x 1x111x1

9、6 分）求函数 y( x5 )3x2的凹凸区间与拐点 .五、（本题2解：函数的定义域为 (,) ， y5( x1)''5(2 x1)3， y3x43x9欢迎阅读x1 , y''0 ， x0, y''不存在。 2分24分可知 y( x5)3x2 函数 y ( x5)3x2在 (1, 0)和 (0,) 上是凹的，在22( ,1) 内是凸的，拐点为 (1 ,3 3 2) . 6分222六、（本题6 分）设函数 f ( x) 在 (, ) 上二阶可导，函数 g( x)ax2bxcx0，试确定常数f ( x)x0a, b, c 的值，使得函数 g( x)

10、在 x0 点二阶可导 .解：因为 g( x) 在 x 0 点二阶可导，所以， g( x) 在 x0 点一阶可导、连续。由 g( x) 在 x0 点连续可得： lim g(0)f (0)limg (0)c ，从而 cf (0) 2分x0x 0由 g( x) 在 x0 点可导可得： g'(0)f'(0)'(0)limax2bxcf (0)gx0b ，从而x0b f ' (0) 4分从而可知： g '2ax bx0( x)'( x)x0f又由 g( x) 在 x0 点二阶可导可得： g '' (0)f '' (0)g &

11、#39;'(0)lim2axbf ' (0)2a ，x 0x0从而 2a f '' (0) 6分七、（本题 5分）证明：当 x0时，1x ln( x1x2 )1x2欢迎阅读证明：令 f (x)1 x ln( x1 x2 )1 x2，则 f (0)0 1分因为 f ' ( x)ln( x1 x2 )0 ，从而 f (x) 在 x0时单调递增， 3分从而 f ( x)f (0)0 ，从而 1 x ln( x1 x2 )1 x25分八、（本题 5分）设函数 f ( x) 在 0,3 上连续，在 (0,3) 内可导，且 f (0)f (1) f (2) 3 ， f (3)1 . 试证：必存在一点(0,3) ，使得 f ' () 0 .证明：因为函数 f (x) 在 0,3 上连续，从而函数 f ( x)