确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

1、2）。确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么 巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨 迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射 点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1 ）；带电粒子

2、如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。例2.如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度vo从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，0点为圆心。当/ M0# 120。时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径 R及在磁场区中的运动时间。第1页共7页第1页XS-L点0以与MN成30角的同样速度 v射入磁场 出时相距多远？射出的时间差是多少？圈3JV例1.如图3所示，直线 MN上方有磁感应强度为 B的匀强磁场。正、负电子同时从同一（电子质量为 m电荷为e）,它们从磁场中射解

3、析：分别过M N点作半径OM ON勺垂线，此两垂线的交点O即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为 60 , O O的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30 =.-.R二些又带电粒子的轨道半径可表示为：八故带电粒子运动周期：w 2m 2岔乳T =rqE 旳带电粒子在磁场区域中运动的时间 -二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨 迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7）,用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。第1页共7页第#页Az 距s=2r=二，由

4、图还看出经历时间相差匚,所以解此题的关键是找圆心、找图-？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径 和轨迹（如图4）,由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相、 2T 4册半径和用对称。第1页共7页第#页例3.如图8所示,S为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为vo,质量为m电量为q的电子（q0）, MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L,挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场,fi* TT ,vN图-g磁感应强度大小为mv/qL,求挡板被电子击中的范围为多大?图-9解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕圆的

5、每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图 点为动态圆与MN勺相切时的交点 P,最低点为动态圆与带电粒子在磁场中作圆周运动,由洛仑兹力提供向心力,S点旋转的动态圆，且动态9所示，最高 MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，JDF由厂二得汀7解析：设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的半径为 R由牛顿第二定律和洛仑兹力。vqvB-m公式得：三，解得:SQ为直径，则：SQ：2L，SO=L，由几何关系得:从O点以半径R （- v Rv a）动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场中运C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场中的P为

6、切点，所以OP= L ,所以粒子能击中的范围为1+ Ti 运动时间为t，依题意-，所以/ oca _。第1页共7页第3页解得:（2 一绑團-12a例4. （2010全国新课程卷）如图 10所示，在0W xw A. 0w yw -范围内有垂直于 xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为Bo坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy平面内，与ya轴正方向的夹角分布在 090范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于-到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子

7、从粒子源射出时的：（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y轴正方向的夹角为a,由几何关系得:R 汕盘二 R-冷-.-.22,J ,，再加上二三、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作 圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动 态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使 问题得到解决。第1页共7页第#页例5.如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为 B,宽度为d, 电子从左边界垂直匀强磁场射 入，入射方向与边界的夹角为 0，已知电子的质量为 m电量为e,要使电子能从轨道的另- 侧射出，求

8、电子速度大小的范围。E-16当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出, 速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时， 个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为得：叶r cos 0 =d解析：如图14所示,电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这Vo,带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB=qU/d,解得离子的速度为：v=U/B0d (为一定数值)。虽然离子速度大小不变，但质量m改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图16中的动态圆。(

9、1 )由题意知，离子甲的运动轨迹是图17中的半圆，半圆与 EG边相切于A点，与EF边垂直相交于 B点，由几何关系可得半径：Racos30 tan15 = (_： ) a,电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力:ev.B二耀丄r ，所以:从而求得离子甲的质量Bed卩。=联立解得：二,所以电子从另一侧射出的条件是速度大于(2)离子乙的运动轨迹如图18所示，在 EIQ中，由余弦定理得:(+(尹.2(鵜吨血6，解得R 乙=a/4 ,第1页共7页第5页从而求得乙离子的质量adqBBm 乙= _。例6.(2010全国II卷)如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为 d,电压为U,两板间有匀强磁场，磁

10、感应强度为Bo,方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域 EFGEF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场， 磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为 q的正离子沿平行于金属板面、 垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。第1页共7页第#页第1页共7页第#页(1)已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；(2) 已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点(图中未画出)穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；(3) 若这些离子中的最轻离子的质量等于

11、离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的， 问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？(3)由半径公式R=mv/qB知m 结合（1）(2)问分析可得:若离子的质量满足 m甲/2 me m甲，则所有离子都垂直 EH边离开磁场，离开磁场的位置到H的距离介于R甲到2R甲之间，即一，第1页共7页第#页若离子的质量满足 m甲m m乙，则所有离子都从 EG边离开磁场，离开磁场的位置介于- (1)盘A到I之间，其中 AE的距离AE-，IE距离IE。四、临界法以题目中的“恰好”“最大” “最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，

12、然后 利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。例7.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B,板间距离也为 L,两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子(不计重力)从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。例8如图22, 一足够长的矩形区域 abed内充满磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域 ad边中点O射出与Od边夹角为30,大小为V。的带电粒子，已知 粒子质量为 m电量为q, ad边长为L, ab边足够长，粒子重力忽略不计。求：(1)试求粒子能从ab边上射出磁场的vo的大小

13、范围；(2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范 围。0-190-21解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转， 20、图21所示，打到右边界时，在直角三角形.5LT临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图附二(R 纣+厶2OAB1中由几何关系得：电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力恰好打到下板右边界和左边界为两个解得轨道半径5qBLVj 因此二込打在左侧边界时，如图 21所示，由几何关系得轨迹半径电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，所以打在板上时速度的范围为qBL 5qBL v解析：(1)画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从轨迹如图径 r1

14、=L,-图君ab边射出的粒子的临界23所示，轨迹与de边相切时，射到 ab边上的A点，此时轨迹圆心为 O,则轨道半V由-1得最大速度qBLV5 二m 。轨迹与ab边相切时，射到 ab边上的B点，此时轨迹圆心为O,则轨道半径r2=L/3，由qBL所以粒子能够从ab边射出的速度范围为:qBL qBL?.Vo；：。(2)当粒子从ad边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300 ,所以最长时间：亠，射出的范围为：O(=2=L/3。通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是画出带电粒 子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，

15、 很多问题都可以迎刃而解。涉及圆周的某些综合题， 常要在圆周里构建直角三角形来帮助解答。这些直角三角形大多由该圆周的半径、弦或切线构成。这里用几道高考压轴题”为例来说明。第1页共7页第7页例2 ( 2007全国2)如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿 y轴正方向的匀强磁场， 场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点 O的距离为h; C是x轴上的一点，至U O的距离为I。一质量为m电荷量为q的 带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域， 继而通过C点进入磁场区域。 并再次通过A点，此时速度方向与 y轴正方向成锐角。不计重力作

16、用。试求：(1) 粒子经过C点速度的大小和方向;(2) 磁感应强度的大小 B。Vi=由式得V!= W:设粒子经过C点时的速度方向与X轴的夹角为a ,tan a = 2h由式得 a = arctan .分析：运动过程包含类平抛和匀速圆周运动。第(2)问较难。欲求 B值，要先算出圆周半径R,应构建相应的直角三角形， 如下图中的 APD 以及 CPB .再由已知的h和L来求解(见解答中的式和(11)。解：(1)以a表示粒子在电场作用下的加速度，有qE= ma加速度沿y轴负方向。设粒子从 A点进入电场时的初速度 为vo,由A点运动到C点经历的时间为t，则有1(2)粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为

17、v的圆周运动。则有qvB= m设圆心为P,贝U PC必与过C点的速度垂直，且有丄J=1轴的夹角，由几何关系得Rcos 3 = Rcos a + hRs in 3 = l Rs in ah= at2I = Vot由(11)式解得由式得由(12)式得则有若圆周的半径为R,。用3表示匸与y2(13)设粒子从点进入磁场时的速度为V, V垂直于x轴的分量第1页共7页第9页值得归纳的是，例题 1和例题2有共通的地方，即利用两个直角三角形，来建立两第1页共7页第10页第1页共7页第#页且F=d得: B=个已知长度和一个未知半径的联系。题1中是用、求半径R;题2中是用h、I求半径R,而接下来的例题 3，仍然涉

18、及两个直角三角形，但这次是用两个已知的半径来求解一个未知的 长度。例3( 2008重庆)下图是一种质谱仪的工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2 a的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。 CM垂直磁场左边界于 M且OMd。现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为 Vo。若该离子束中比荷为 ；的离子都能汇聚到 D,试求：由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外。(2)设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R,运动时间为t,d联立得 R = _二2观离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=:二

19、 ea 2(0 +a)结合得t=Tx =第1页共7页第11页第1页共7页第#页(3)由图可知 CM H ：?(1) 磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象)；(2) 离子沿与CM成 0角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；(3) 线段CM的长度。分析：在第(2)问的过程中，圆心上移了，但运动轨迹是对称的；第(3)问难度加大，而下图中的和丄一匚，会有助于建立已知量 OM和 O N,与未知量NM之间的联系(见解答中的式)，便于 CM的求解。解：(1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R第1页共7页第#页再由：/? -F./： ：l. A ：.：I-!l联立求解得CM d cot E_：: F间接得到，因为_匸J不在直角三角形中，难与各边建立三角函数关系。 而和_1 _ 各是两直角三角形（ZI F00i 和 C05 ）中的内角，便于用反三 角函数表示，见解答中的式和式。第1页共7页第12页第1页共7页第#页解：设探月卫星的质量为 g万有引力常量为 G根据万有引力定律有Ml+d 尺注：若引入正弦定理，利用非直角三角形-,也能得出|1 I ；.二上，可代替式。第1页共7页第#页跳出磁场，在其他