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文档简介
1、第九讲 全等三角形培优竞赛线段的垂直平分线与角平分线一、线段垂直平分线1、线段垂直平分线的性质(1)线段的对称轴是 (2)垂直平分线性质定理: 定理的几何符号表示:如图1 2、线段垂直平分线判定定理:定理的几何符号表示:如图1, 定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的性质(1)三角形三边的垂直平分线 ,并且这一点到 的距离相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形 ;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是 ;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形 .经典例题
2、:BCDEA例1如图1,在ABC中,BC8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长等于()A6cm B8cmC10cm D12cmB针对性练习:已知:1)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果EBC的周长是24cm,那么BC= 2) 如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么EBC的周长是 3) 如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果A=28度,那么EBC是 CBOAN例2. 已知:在ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC
3、求证:点O在BC的垂直平分线 B针对性练习:已知如图,在ABC中,AB=AC,O是ABC内一点,且OB=OC,求证:AO垂直平分BC. 例3. 在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°,ABC的顶角B的大小为_。B针对性练习:在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则底角B的大小为_。例4、如图8,已知AD是ABC的BC边上的高,且C2B,求证:BDACCD.针对性练习:1.如图,AC=AD,BC=BD,则( )A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上结论均不对2.如
4、果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有( )线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;经过线段中点的直线只有一条;点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5 cm,BC=4cm,那么DBC的周长是( )A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5、如图7,在ABC中,AC23,AB的
5、垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,ACE的周长为50,求BC边的长.6、求证:等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.二、角的平分线1.角平分线的性质定理:角是一个轴对称图形,它的对称轴是 .角平分线的性质定理:角平分线上的点到 的距离相等. 定理几何符号表示:如图4, 定理的作用:证明两条线段相等;用于几何作图问题;2、角平分线的判定定理:角平分线的判定定理:在角的内部,且 的点在这个角的角平分线上. 定理的几何符号表示:如图5 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 3、关于三角形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分
6、线 ,并且这一点到 的距离相等.定理的作用:用于证明三角形内的线段相等;用于实际中的几何作图问题.(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的 .4、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.经典例题:例1 已知:如图,点B、C在A的两边上,且AB=AC,P为A内一点,PB=PC, PEAB,PFAC,垂足分别是E、F。 求证:PE=PFB针对性练习:*已知,BD平分ABC,ABAD于A,BC=2AB,求证BD=DC。 例2
7、、如图10,已知在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,E为BC中点,连接AE、DE,DE平分ADC,求证:AE平分BAD.B针对性练习:BACPNM1、*已知: AP、CP分别是ABC外角MAC和NCA平分线,它们交于PD,作BM于D,PFBN于F,求证:BP为MBN的平分线。2、ABC的外角ACD与内角ABC平分线CP,BP交于点P,若BPC=40度,则CAP= 度【实战模拟】培优竞赛训练一、选择题:1. 如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A、ABC的三条中线的交点B、ABC三边的中垂线的交点 C、ABC三条
8、角平分线的交点D、ABC三条高所在直线的交点2. 在中,平分,交于点,若,且,则点到的距离为( ) A. 18B. 16C. 14D. 123、如图,直线表示三条互相交叉的公路,现要修建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选择的地址有( )A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处 4、 如图,中,点为的三条角平分线的交点,点分别是垂足,且,则点到三边的距离分别等于( ) A. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、55、如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:(甲)作ACP、BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;(乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确()A、两人都正确B、两人都错误 C、甲正确,乙错误D、甲错误,乙正确二、填空题1. ABC中,AB=AC,AC的中垂线交AB于E,EBC的周长为20cm,AB=2BC,则腰长为_。2. 如图所示,AB/CD,O为A、C的平分线的交点,OEAC于E,且OE=2,则AB与CD之间的距离等于_。三、解答题1.已知:如图,B=C=900,DM平分ADC, AM平分DAB 。求证: M B=MC2、如图,
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