第四节() 二阶常系数线性微分方程

1、第四节第四节( (* *) ) 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一一. 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构形如:( )( )( ),(1)yP x yQ x yf x显然, y = 0 是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理1. 如果 是(2)的两个解,则 也是(1)的解,其中 为任意常数.)(),(21xyxy)()(2211xyCxyCy21,CC的二阶微分方程,由于方程中末知函数y及其各阶导数都以一次(线性)形式出现,故称为二阶线性微分方程。 ( )0f x ( )0f x 若则称为二阶齐次线性微分方程。若 则方程（1）称为二阶非齐次线性微分方程( )( )0,

2、(2)yP x yQ x y即：11212211)2(CyyCCyCyCy例如:1y是(2)的解, 则 也是(2)的解.12y此时不是通解函数的线性相关和线性无关设 为定义在 I 上的 n 个函数,nyyy,21 02211 nnykykyknkkk,21 如果存在n个不全为零的常数 ,使得注意: 不一定是通解.1122( )( )yC yxC yx定义：则称这些函数线性相关，否则称线性无关。例如:线性相关在任意区间I上:xx22sin,cos, 1取, 1, 1321kkk0sincos122xx2, 1xx线性无关要使 ,必须02321xkxkk. 0321kkk对于两个函数:如果它们之比

3、为常数,则线性相关;否则,线性无关定理2. 如果 是(2)的两个线性无关的特解,则 )(),(21xyxy2211yCyCy21,CC是(2)的通解, 为任意常数.例如:0 yyxyxysin,cos21是它的特解,xCxCysincos21线性无关通解一般形式:)3(),()()(xfyxQyxPy 定理3. 如果 是(3)的一个特解, 是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,则 y2211yCyCYyYy是(3)的通解.定理4. 如果 分别是 )(),(21xyxy的特解,则 是方程)()()(2xfyxQyxPy )()()(1xfyxQyxPy )4()()()()(21xfxfyxQy

4、xPy 的特解.)()(21xyxy二二. 二阶常系数线性方程的解法二阶常系数线性方程的解法一般形式:) 1 (, 0 qyypyp,q为常数分析由方程特点可看出:为同一类型函数,yyy ,之间相差常数因子.因此假设rxey rxey 将 代入(1)得:, 0)(2rxeqprr)2(, 02qprr当 满足(2)时, 是(1)的一个特解.rrxe特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.n 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法0 u0)()2(1211 uqprrupru21rr 1.特征根为相异实根 :xrxreyey2121,是(1)的两个线性无

5、关的特解,xrxreCeCy2121则(1)的通解为21rr 2.特征根为二重根 :xrey11是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.xrexuy1)(2设 代入方程(1):取, xu xrxey12得到另一个线性无关的特解xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121则(1)的通解为线性无关特解)0(,21irir3.特征根为共轭复根:xixieyey)(2)(1,是(1)的两个特解,)sin(cos)(1xixeeyxxi)sin(cos)(2xixeeyxxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCeyx则(1)的通解为例

6、:023 yyy, 0232 rr, 2, 121rr则通解为xxeCeCy221例:2|, 4|, 0200 xxyyyyy, 0122 rr, 121 rr则通解为xexCCy)(2144|10CyxxexCCCy)(21222|20Cyx则特解为xexy)24(例:032 yyy, 0322 rr,212, 1ir则通解为)2sin2cos(21xCxCeyx)3(, 0)2(2)1(1)( ypypypynnnn02211 nnnnprprpr注:上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程:特征方程 特征根 通解中的对应项单实根 r一项一对单复根 ir2 , 1两项k 重实根 rk 项

7、一对 k 重复根ir2, 12k 项rxCe)(121 kkrxxCxCCe)sincos(21xCxCexsin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 例:0)3()4()5( yyyy, 02345rrrr, 1 ,0 ,0iir则通解为xCxCeCxCCyxsincos54321n 二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法一般形式:)4(),(xfqyypy p,q为常数yYy由解的结构可知, (4)的通解是:故只要求出(4)的一个特解 .y待定系数法1. 型xnexPxf)()(n 次多项式与指数函数乘积xexQy)(因此设待定多项式将 代入

8、(4)式并整理得:xexQy)()5()()()2(2xPQqpQpQn (1).当 不是特征根时:, 02qp因此取nnnnnbxbxbxbxQxQ 1110)()(xnexQy)(则设(2).当 是特征单根时:, 02 , 02pqp因此 是 n 次多项式,)(xQxnexxQy)(则设 是n+1次多项式,)(xQ例:求 的一个特解. 1332 xyyy, 0322 rr 型,xnexPxf)()(由于 不是特征根,0baxy则设将 代入方程得:y13323xbaax13233baa311ba31xy则一个特解为(3).当 是特征重根时:, 02 , 02pqp因此 是 n 次多项式,)(

9、xQ xnexQxy)(2则设 是 n+2 次多项式,)(xQ由于 是特征单根,2xebaxxy2)(则设将 代入方程得:yxbaax220212baa121baxexxy2) 121(则一个特解为因此通解为:xxeCeCy3221xexx22)2(例:求 的通解. xxeyyy265 , 0652 rr, 3, 221rr则对应的奇次方程的通解为xxeCeCY32212. 型sin)(cos)()(xxPxxPexfmlxsin)(cos)()2()1(xxQxxQexynnxk此时设特解为:iik10不是特征根是特征根证明略n 次多项式,max mln 例:求 的一个特解. xeyyyxcos22 由于 是特征根,ii1)sincos(xbxaxeyx则设将 代入方程得:yxxaxbcos)sincos(221, 0baxexyxsin2则一个特解为, 0222 rr,12, 1ir例: 求 的通解. xxyy2sin4 , 042r则对应的奇次方程的通解为xCxCY2sin2cos21,22, 1ir由于 是特征根,ii22s