四川省青年数学教师优质课展评活动平面向量的数量积教...VIP

1、 2008 年四川省高中青年教师数学优秀课展评教案平面向量的数量积 （第一课时）教案一、教材分析平面向量的数量积是在学习了向量的相关概念，以及向量的加法、减法、实数与向量的积之后，高中数学又一重要概念和运算本课所包含的教学内容：向量的夹角、数量积的概念以及数量积的几何意义，既是学习数量积性质和运算律的前提，也为今后利用数量积处理有关距离、角度、垂直等问题奠定了基础二、学情分析基础知识方面： 学生之前学习了向量的相关概念、向量的线性运算以及平面向量基本定理等内容，同时学生对平面向量数量积的物理背景（如功、力的分解等）有一定的了解，这些都为概念的理解作好了必要的铺垫认知水平与能力方面：学生已经具备

2、初步的抽象概括能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些实际问题任教班级学情： 我班学生有较好的学习习惯，基础知识较为扎实，但是概念的深入理解和灵活运用的能力还有待进一步提高三、教学目标分析1教学目标依据教学大纲，渗透新课程理念，结合本节课的特点和学生的实际情况，本节课的教学目标确定为：知识目标（1）理解两非零向量的夹角的概念，掌握平面向量的数量积及其几何意义；（2）能初步运用数量积的相关概念进行运算能力目标经历向量的夹角、向量的数量积、投影等概念的形成过程，提高类比辨析、抽象概括等数学思维能力情感目标教学活动过程中，始终贯穿了对平面向量数量积的物理背景的深入挖掘，让学生感悟到1/

3、13数学来源于现实并用于现实，在探索问题的过程中体验成功的喜悦，从而进一步激发学生的学习兴趣2教学重点与难点分析重点理解并掌握数量积的概念及其几何意义难点理解并掌握数量积的概念及其几何意义.重、难点解决的方法策略通过充分挖掘“功”这一物理背景，建立知识生长点；采用从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略；每个概念的学习都让学生经历探究、理解与应用的过程；在教学的过程中借助多媒体的直观演示，这些都有利于突出重点、突破难点四、教学方法根据教学内容和学生的实际情况，并突出学生的主体地位，因此本课采用“启发 -探究”的教学模式，注重知识生长点的建立教师的教法突出活动的组织设计与方法引导；学生的学法突出对概

4、念的探究、 理解与应用， 学生在与老师的互动交流中获得本节课的知识与方法，并发展能力整个启发探究过程，可用下图示意：抽象概括物理背景（功）数学本质（数量积）力对物体做的功向量数量积的概念力和位移的夹角非零向量夹角的概念分力对物体做功数量积的几何意义2/13五、教学过程教学教师活动学生活动设计环节意图复【整理回顾，集体作答】通过复习旧习1、向量的加法、减法及回【设问回顾，温故启新】知，为学生学习数乘运算，结果仍然是向量顾问题 1：我们已经研究了向量的哪些运，算？这些运算的结果是什么？2、物理背景概念性质提供方法指导，学问题 2：向量的加法运算是如何引入运算律应用法本节内容仍然指的？又是按照怎样的

5、思维模式研究这一运导算的？是按照这种思教师：本节课我们将按照这一思维模式路来研究向量来研究向量的另一种运算的数量积运算3/13【演示视频，创设情境】展示“ 5·12”大地震中，医护人员抢救伤员的感人画面【设问分析，引入课题】【学生回顾，思考讨论】问题 3：画面中，这名医生拉小车的力1 功 W Fscos 所做的功如何计算？点评：功 W F s cos创问题 4：功是矢量，还是标量？2由计算公式知： 功 W问题 5：象这名医生这样，生活中，拉设较重物体时， 身体尽量保持前倾， 这样做的是标量理由是什么？情由此可见： 力对物体所做的功， 既与力、3在力和位移的大小不位移的大小有关，也与它

6、们的夹角有关境变的前提下，力和位移的夹，角愈小，则所做的功愈大引入课教师：事实上，功是两个向量运算的结果，它有别于向量的线性运算，其结果不是题向量，而是数量 正是基于这点， 我们称这种运算为平面向量的数量积它能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题板书： 平面向量的数量积本节课，我们将以力做功为背景，抽象概括，研究平面向量的数量积为此，我们先研究向量夹角学生跃跃欲试，进入探索状态让学生在具体情境中观察、体验，从功的计算中形成对平面向量数量积概念的初步认识从中体验到数量积运算具有鲜活的现实背景，而不仅仅是数学自身的演绎完善并指出数量积运算是解决数学、 物理等问题的有效工具，从而激发学生的学习兴趣

7、，产生研究新运算的强烈愿望教学教师活动学生活动设计环节意图4/13教师：我们还是回到物理背景，看看力和位移的夹角吧【动画演示，提出问题】教师：指出下列图示中力和位移夹角的大小或范围点评：将物体抽象为点，表示力和位移的有向线段有相同起点，此时两有向线段所成的角就是力和位移的夹角【观察类比，思考建构】1学生认真观察动画，讨论交流， 形成对向量夹角的感性认识根据学生的认知规律，以力和位移的夹角为生长点，类比类比教师：一般地，平移两个非零向量，使探它们具有共同的起点， 两有向线段构成的范围在 0°到 180°的角就称为两个非零向量究的夹角，其定义如下：，形【动画演示，明确概念】成已

8、知两个非零向量a 和 b ，作 OA = a ，夹OB = b ，则 ? AOBq (0180 )叫角做向量 a 与 b 的夹角，特别地，（ 1）当0 时， a 与 b 同向；的（ 2）当180 时， a 与 b 反向；概（ 3）当90 时，称 a 与 b 垂直，记作念a b 【媒体投影，出示练习】2 学生阅读、理解，明确概念的内涵、外延【运用新知，练习巩固】借鉴物理学的方法，将物体抽象成质点，从特殊到一般，抽象概括出一般向量的夹角，从而明确定义向量夹角的关键是练习 1如图，在正AC 的夹角的大小为的夹角的大小为教师提问，点评，共同小结：计算非零向量夹角的关键是“平移到同一起点”ABC 中，A

9、B 与； AB与BC CAB错误辨析， 方法总结， 明C确计算向量夹角的关键是“平移到同一起点”1错解：=120ABC 60；AB (A/)B /2平移 AB ，得120 ；C /C，得120 3平移 BC=120A(B/)B“平移到同一起点”5/13教学环节教师活动学生活动【适时引导，引发新知】【类比抽象，明确概念】1教师：数学中，根据功的计算、向1抽象概括， 得出定义：量夹角的概念，就引入了向量的数量积的定义两个向量的数量积等于两2a 与b，个向量的大小及其夹角余板书：已知两个非零向量它们的夹角为 q ，我们把数量a b cosq 叫弦的乘积做 a 与 b 的数量积 （或内积），记作： a

10、 b ，设计意图在功的计算、夹角概念之后，引入了数量积概念，要理解概念的本质， 但也要注意适度的类比探究，形成数量积的概念即 a b a b cos 强调：记法“a b ”中间的“· ”不可以省略，更不可以用“”代替规定，零向量与任一向量的数量积为零【媒体投影，巡视课堂】练习 2已知 a = 5, b = 4 ，a 与 b 的夹角为 120°，求 a b 练习 3如图，物体在力F 的作用下在水 平 面 上 发 生 一 段 位 移 s ， 其 中F 10 N ， s 2m 设力对物体所做的功为W，则当30 时，WJ；当60 时，WJ【设问点评，归纳小结】 两个向量的数量积是一

11、个数量，而不是向量； 力对物体所做的功，就是力F 与其作用下物体产生的位移s 的数量积，即W F s ； 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关2学生阅读、 理解，准确记忆形式化的数学定义【运用新知，练习巩固】1 初步运用公式，规范训练，准确记忆公式， 加深理解概念2 在教师的引导下反思小结，及时巩固新知形式化因此，对概念的形式化要求必不可少通过练习 2，熟悉数量积的计算公式， 进一步加深对概念的理解通过练习 3，让学生理解物理中功的计算就是力和位移的数量积， 体会了数量积的一个现实意义 同时，进一步明确数量积与两个向量的长度及其夹角有关， 引出了进一步的讨论6/13教学教师活动学生活动设

12、计环节意图7/13教师： 练习 3 中，当力、 位移的大小不变时，随着夹角q 的变化，功也在变化这种变化如何解释？【设问引导，形成新知】设问引导学生思考讨论，展示动画，点评：（ 1）从力的分解进行分析如图所示，类力 F 对物体所做的功其实就是分力F1 对物比体所做的功随着夹角的变化，分力 F1 的探变化，对应于数 F cosq 的变化，功也随之而变化究（ 2）在垂直于直线 OA 的方向上投射一束，平行光线， OB1 可形象地看成OB 的“影形子”，这样对应于 OB1 的数 F cosq 被赋予了成几何背景数量积的【顺势引导，给出定义】几教师：一般地，作有向线段OA 表示向量何a 、 OB 表示

13、向量 b ，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA ，垂足为 B1 ，则 OB1 可形象地看成意OB 的“影子“，从而把对应于OB1 的数b cosq 叫做向量 b 在 a 方向上的投影义【回顾思考，讨论交流】1从功的计算公式：通过对功的WF s cos来看，当 夹计算公式的进角变化时， cos 的变化导一步挖掘， 让学致功的变化生回顾物理知2从W Fs cos 的来识，获取了一定的感性认识， 从源出发，将力进行分解得出而引出了投影物理解释的概念， 有利于学生更好地理解投影的概念，为掌握数量积的几何意义奠定了基础【抽象概括，理解概念】观察、类比分析，理解、识记投影的概念教学教师活动学生活动设计意

14、图8/13环节由上可知，当夹角为锐角时， OB1 与向量 a 的方向一致， b 在 a 方向上的投影为正值【设问引导，归纳总结】1教师：当向量 a 、b 的夹角 q 变化时，请同学们观察动画， 研究 b 在 a 方向上的投影 b cos 的取值情况类2教师展示动画，与学生共同小结：比（ 1）当 q 为锐角时， b cos为正值；探（ 2）当 q 为钝角时， b cos为负值；究（ 3）当 q = 90时， b cos为 0；，形（ 4）当 q = 0 时， b cos等于 b ；成（ 5）当 q = 180时， b cos等于 - b 数量积的几何意义【数形结合，丰富内涵】教师：由 a ba

15、b cos我们可得到 a b 的几何意义：数量积 ab 也等于 a的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos的乘积【操作确认，明确外延】观察动画，小结归纳，完善认知【类比探究，发散拓展】因 a bba cos，而 a cos 可理解为 a 在 b的方向上的投影，那么a b也等于 b 的长度b 与 a 在b 的方向上的投影a cos的乘积由一般到特殊，研究这一概念的外延，更有利于学生准确全面的理解概念当学生产生困难时，教师适时点拔，甚至讲解，帮助学生突破难点通过数量积的几何意义， 数形结合，让学生加深对数量积9/13概念的理解教学教师活动学生活动设计环节意图10/13问题解决，提升能力

16、归纳总结【媒体投影，巡视点评】例 如右图所示， 已知正六边形 PP12P3P4P5 P6 ，下列向量的数量积中最大的是（）A PP12PP13P 5P 4B PPPPP 6P 31 21 4C PP12PP15D PP12PP16P 1P 2巡视、启发、引导，师生交流，个别指导【设问点评，归纳小结】 媒体投影两种解题思路； 定量计算虽严谨但计算量大，定性分析小巧灵活，充分体现数形结合的重要思想【设问点评，共同总结】教师：本课主要内容是什么？体现了哪些数学思想方法？研究方法是什么？教师点评、补充，投影展示1通过物理背景，类比力和位移的夹角、功的计算、分力做功，理解向量的夹角、数量积、投影的概念；

17、2数量积的几何意义、例题的解答体现了数形结合的数学思想方法；3感悟从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法结束语：本课我们从功这一物理背景出发，我们引入了数量积的概念，下节课我们将学习数【运用新知，练习巩固】思考、尝试、讨论、交流，得出两种思路：思路一： 利用数量积定义，定量计算后比较；思路二： 利用数量积几何意义， 定性分析后比较学生先讨论、交流本节课所学知识及探究过程中的数学思想方法通过例题的的解答，可以让学生及时巩固所学的三个重要概念两种方法的比较，可以让学生体会到数形结合是一种重要的数学思想方法通过师生的共同交流和反思来完成知识的总结归纳， 体现了学生的主体性，也培养了学生及时总结反思的学

18、习习量积的性质和运算律惯11/13教学师生活动设计环节意图A 组【再现·理解】1、阅读教材P- P.1271282、判断下列命题的真假：分层作业，夯实基础（ 1）若向量 a 与 b 的夹角为 q1 ， b 与 a 的夹角为 q2 ，则 q1 = q2 .（ 2 ）若向量- a 与 b 的夹角为q1 ，向量a 与 b 的夹角为q2 ，则q1 = 180?q2 .（ 3）向量 a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是a ?b0 .第一组作业着（ 4）向量 a 与 b 的夹角为钝角的充要条件是a ?b0 .重考查对本节重（ 5） a ?b0 的充要条件是 a = 0 或 b =0 或 a b

19、.要知识的理解和3、在 ABCD 中，已知 AB = 4 ， AD =3，? BAD60? . 求：（1）初步应用，从而AD ×BC （ 2） AB ×CD （ 3） AB ×DA .夯实基础4、设 a,b 是两个非零向量，是 a 在 b 方向上的投影，是 b 在 a 方向上的投影，若a,b 的夹角为钝角，则第二组作业强A .0B .0调知识的灵活应C . ,0,D .,0用，着重培养学5、如果 a2sin， b4cos， a 与 b 的夹角为. 求：生解决问题的能242412（ 1） a b ；力（ 2）求 a 在 b 方向上的投影；（ 3） b 在 a 方向上的投影 .B 组【运用?探究】1、设 a 在 b 方向上的投影是10， a b100 ，则 b2、