网校上课用---用二次函数解决实际问题-老师版.

1、用二次函数解决实际问题（4 种类型应用题）【学习目标】1. 能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2. 经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型【要点梳理】知识点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤：(1) 审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系 ( 即函数关系 ) (2) 设出两个变量，注意分清自变量和因变

2、量，同时还要注意所设变量的单位要准确(3) 列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数(4) 按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5) 检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案(6) 写出答案要点诠释：常见的问题：求最大 ( 小 ) 值( 如求最大利润、最大面积、最小周长等 ) 、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等 . 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式 .知识点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1) 恰当地建立直角坐标系；(2) 将已知条件转化为点的坐标；(3) 合理地设出

3、所求函数关系式；(4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5) 利用关系式求解问题要点诠释：(1) 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题 . 在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2) 对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：首先必须了解二次函数的基本性质；学会从实际问题中建立二次函数的模型；借助二次函数的性质来解决实际问题 .【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中利润的最大（小）值1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的

4、养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价y，( 元) 与销售月份 x ( 月 ) 满足关系式y13 x836 ，而其每千克成本y2 ( 元) 与销售月份x( 月 ) 满足的函数关系如图所示(1) 试确定 b，c 的值；(2) 求出这种水产品每千克的利润 y( 元) 与销售月份 x( 月 ) 之间的函数关系式； ( 不要求指出 x 的取值范围 )(3) “五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少 ?举一反三：【例 2】某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70 元，试销

5、中销售量 y （件）与销售单价 x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围；根据题意判断：当 x 取何值时， P 的值最大？最大值是多少？（总利润 总销售额总成本）练习： 1. 某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x500 （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果

6、李明想要每月获得2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本进价×销售量）类型二、利用二次函数解决抛物线形的建筑问题3. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧距地面 4 米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，你能计算出大学校门的高吗 ?【练习 1】（中考）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边 AE ，ED ，DB 组成，已知河

7、底 ED 是水平的， ED=16 米， AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h（单位：米）随时间 t（单位：时）的变化满足函数关系h=（t 19）2+8（0t40），且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？类型三、利用二次函数求跳水、投篮、喷水池等实际问题4. 如图所示，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，

8、当球运行的水平距离为 2.5 m时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为 3.05 m ，若该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?5. 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件） .在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 2 米，入水处距池边的距离为4 米，运动员在3距水面高度为 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误（ 1）求

9、这条抛物线的解析式；（ 2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（ 1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时， 距池边的水平距 O 离为 3 3 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算5说明理由练习 1. ( 武汉调考 ) 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为为 3m2.25m 的水管，在水管的1 m 处达到最高，高度(1) 建立适当的平面直角坐标系 ，使水管顶端的坐标为 (0 ，2.25) ，水柱的最高点的坐标为 (1 ，3) ，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；(2)

10、 如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为 0.3 m ，最内轨道的半径为 r m ，其上每 0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r 为多少时池中安装的地漏的个数最多？Rr类型四、利用二次函数求图形的边长、面积的最大（小）值问题6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆 O，下部是一个矩形 ABCD(1) 当 AD 4 米时，求隧道截面上部半圆 O的面积；(2) 已知矩形 ABCD相邻两边之和为 8 米，半圆 O的半径为 r 米求隧道截面的面积 S(m

11、)2 关于半径 r(m) 的函数关系式 ( 不要求写出 r 的取值范围 ) ；若 2 米 CD 3 米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值 ( 取 3.14 ，结果精确到 0.1 米)举一反三：【练习 1. 】已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【练习 2. 】(山东聊城 )如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （ 1）要使长方体盒子的底面积为 48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（ 2）你