第02讲--角平分线的性质与判定.

1、第 02 讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例】如图，已知OD平分 AOB，在 OA、OB边上截取 OAOB，PMBD，PNAD. 求证： PMPN【解法指导】由于 PMBD，PNAD. 欲证 PMPN只需 3 4，证 3 4，只需 3 和 4 所在的 OBD与 OAD全等即可 .证明： OD平分 AOB 1 2B M3D4OBOA在 OBD与 OAD中，1

2、2 OBDODODO12PNA OAD 3 4 PMBD，PN AD所以 PMPN【变式题组】01如图， CP、BP分别平分 ABC的外角 BCM、 CBN.求证：点 P在 BAC的平分线上.MCPABN02如图， BD平分 ABC，ABBC，点 P是 BD延长线上的一点， PMAD，PNCD. 求证： PMPNAMPBDNC【例】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中， AC平分 BAD，CEAB于点 E，且 AE 1 ( ABAD) ，如果 D120°，求 B 的度数DC2【解法指导】由已知 1 2，CEAB，联想到可作 CFADE BA于 F，得 CECF，AFAE，又由 A

3、E 1 ( ABAD) 得 DFEB，于是可证 CFD CEB，2则 B CDF60°. 或者在 AE上截取 AMAD从而构造全等三角形 .解：过点 C作 CFAD于点 F. AC平分 BAD，CEAB，点 C是 AC上一点， CECF在 RtCFA和 RtCEA中， CF CEACAC RtACFRtACE AFAE又 AE 1 ( AE BEAFDF) ，2AEAEAFBEDF， BEDF2CFAD，CEAB， F CEB90°FCDCE CF1在和中，FCEB，CEBCFDCEB CFD2DFBEAE B B CDF 又 ADC120°， CDF60

4、6;，即 B60°.【变式题组】C01如图，在 ABC中， CD平分 ACB，AC5，BC3. 求 SSACDCBDADB02( 河北竞赛 ) 在四边形 ABCD中，已知 ABa，ADb. 且 BCDC，对角线 AC平分BAD，问 a 与 b 的大小符合什么条件时，有B D180°，请画图并证明你的结论 .【例】如图，在 ABC中， BAC90°, ABAC，BE平分 ABC，CEBE. 求证： CE 1 BD2【解法指导】由于BE平分 ABC，因而可以考虑过点D作 BC的垂线或延长 CE从而构造全等三角形 .证明：延长 CE交 BA的延长线于 F， 1 2，BE

5、BE， BEF BEC BEF BEC(ASA)CEEF， CE 1 CF 1 F 3 F290°， 1 3FAE13D 3在 ABD和 ACF中， ABAC， ABD ACF21BADCAFBCBD CFCE 1 BD2【变式题组】01如图，已知 ACBD，EA、EB分别平分 CAB、 DBA，CD过点 E， CED求证： ABACBD.AB02如图，在 ABC中， B60°， AD、CE分别是 BAC、 BCA的平分线， AD、 CE相交于点 F.B请你判断 FE和 FD之间的数量关系，并说明理由；求证： AECDAC.EDFAC演练巩固·反馈提高01如图，在

6、 RtABC中， C90°， BD平分 ABC交 AC于 D，若 CDn，ABm，则 ABD的面积是（）A 1 mnB 1 mnC mnD 2 mn3202如图，已知 ABAC，BECE，下面四个结论： BPCP； ADBC； AE平分BAC； PBC PCB.其中正确的结论个数有（）个A1B2C3D403如图，在 ABC中， P、Q分别是 BC、AC上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别是 R、S. 若 AQ PQ， PRPS，下列结论： ASAR； PQAR； BRP CSP.其中正确的是（）A ABACDPBD CBEFEERBDC AA第 2题图P第4题图DAQS CCB第

7、3题图第5题图B第1题图C04如图， ABC中， ABAC，AD平分 BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中： AD上任意一点到 B、C的距离相等； AD上任意一点到AB、AC的距离相等； ADBC且 BDCD； BDE CDF.其中正确的是（）ABCD05如图，在 RtABC中， ACB90°， CAB30°， ACB的平分线与 ABC的外角平分线交于E点，则 AEB的度数为（）A50°B45°C40°D 35°06如图， P是 ABC内一点， PDAB于 D，PEBC于 E，PFAC于 F，且 PDPEPF

8、，给出下列结论： ADAF； ABECACBE； BCCF ABAF；点 P是 ABC三条角平分线的交点 . 其中正确的序号是（）ABCD07如图，点 P是 ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A点 P 到 ABC三边的距离相等B点 P在 ABC的平分线上C P 与 B 的关系是： P 1 B90° D P 与 B 的关系是： B 1 P22AAEDAFPPBEC B第7题图 CF第 6题图AKDAQENB第8题图 CEC 第9题图BBCM第10题图D08如图， BD平分 ABC，CD平分 ACE，BD与 CD相交于 D. 给出下列结论：点D到 AB、AC的距离相等

9、； BAC2BDC； DA DC； DB平分 ADC.其中正确的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个09如图， ABC中， C90° AD是 ABC的角平分线， DEAB于 E，下列结论中： AD平分 CDE； BAC BDE； DE平分 ADB； ABACBE. 其中正确的个数有（）A3 个B2 个C1 个D4 个10如图，已知 BQ是 ABC的内角平分线， CQ是 ACB的外角平分线，由Q出发，作点 Q到 BC、AC和 AB的垂线 QM、QN和 QK，垂足分别为 M、N、K，则 QM、QN、 QK的关系是 _11如图， AD是 BAC的平分线， DEAB于 E，DFAC于

10、F，且 DBDC. 求证： BECFEDBAFC12如图，在 ABC中， AD是 BAC的平分线， DEAB于点 E，DFAC于点 F. 求证：ADEF.EAOFBDC培优升级·奥赛检测01如图，直线 l 1、l 2、l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A一处B二处C三处D四处02已知 RtABC中， C90°， AD平分 BAC交 BC于 D，若 BC32，且 BD: CD9:7 ，则 D到 AB边的距离为（）A18B16C14D1203如图， ABC中， C90°， AD是 ABC的平分线，有一个动点 P从 A向 B运动 .已知： DC3cm，DB4cm，AD 8cm. DP的长为 x( cm) ，那么 x 的范围是 _l1CAEBABDEOl2PFl3APB第1题图第3题图CGDC 第5题图D第4题图04如图，已知 ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为 E、F、G，且 PFPG PE，则 BPD_05如图，已知 ABCD，O为 CAB、ACD的平分线的交点， OEAC，且 OE2，则两平行线 AB、CD间的距离等于 _06如图， AD平分 BAC，EFAD，垂足为 P，EF的延长线于 BC的延长线相交于点G. 求证： G 1 ( ACB B)2E