机器人学课程论文

1、 基于六自由度机器人的动力学分析研究生：梅海舟 目录摘要III引言.1 第一章 机器人运动学和动力学概述.11.1 机器人运动学11.2 雅克比矩阵41.3 机器人动力学4第二章 六自由度机器人的运动学分析52.1 六自由度机器人的坐标系统.52.2六自由度机器人的运动学方程.72.3 六自由度机器人的运动反解.92.4 六自由度机器人雅可比矩阵11第三章 六自由度机器人的动力学分析143.1 动能14 3.2 势能.17 3.3 拉格朗日函数.18 3.4 机器人运动方程.18结论.20参考文献.20基于六自由度机器人的动力学分析研究生：梅海舟摘要近二十年来，机器人技术发展非常迅速，各种用途

2、的机器人在各个领域广泛获得应用。我国在机器人的研究和应用方面与工业化国家相比还有一定的差距，因此研究和设计各种用途的机器人特别是工业机器人、推广机器人的应用是有现实意义的。本文就机器人主要是六自由度机器人的运动学和动力学进行了分析。关键词： 六自由度，机器人，运动学分析，雅克比矩阵，动力学分析.21 / 24引言本论文的研究的课题是基于六自由度机器人的动力学分析，这是一个基础性的研究课题。主要达到的目的是通过本课题的研究，掌握机器人运动学和动力学研究的基本方法基本理论和基本知识。 本课题的研究围包括：齐次变换的基本理论与应用；连杆坐标系的建立方法原则；运动学建模，与运动学方程；运动学正解运动学

3、逆解；机器人的雅克比矩阵的建立；动力学方程等。 第一章 机器人运动学和动力学概述1.1机器人运动学1.1.1机器人运动学的矩阵表示矩阵可用来表示点向量平移旋转以与变换，还可以表示坐标系中的物体和其他运动元件。1.1.1.1 坐标系在固定参考坐标系原点的表示 （1.1）其中为三个互相垂直的单位向量，分别表示法线指向和接近向量。znaoyx图 1.1 坐标系在参考原点的表示1.1.1.2 坐标系在固定参考系中的表示坐标系不在参考坐标系的原点的坐标系可以由三个表示单位向量以与第四个位置向量来表示。 （1.2）azopxyx图1.2 一个坐标系在另一个坐标系中的表示1.1.1.3 刚体的表示 一个物体

4、在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。 （1.3）1.1.2 齐次变换矩阵为保证所表示的矩阵为方阵，如果在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可在矩阵中加入比例因子使之成为4x4矩阵。如果只表示姿态，则可去掉比例因子得到3x3矩阵，或加入第四列全为零的位置数据以保持矩阵为方阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵，它们写为： （1.4）1.1.3 变换的表示变换定义为空间的一个运动。当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可用类似于表示坐标系的方式来表示。纯平移 变换矩阵 （1.5） (1.6)绕一个轴的纯旋转 绕x轴纯旋转 (1.7)绕

5、y轴纯旋转 (1.8)绕z轴纯旋转 (1.9)复合变换 复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移或旋转变换所组成的。每次变换后该点相对于参考坐标系的坐标都是通过每个变换矩阵左乘该点的坐标得到的。注意，对于相对于参考坐标系的每次变换，矩阵都是左乘的，而相对于运动坐标系或当前坐标系的变换，矩阵都是右乘的。1.1.4 机械手的位姿表示机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。用A矩阵描述连杆坐标系间相对旋转和平移的齐次变换。A1表示第一连杆对基坐标的位姿；A2表示第二连杆对第一连杆位姿，则第二连杆对基坐标的位姿为于是，对于六连杆机械手来说：图 1.3 机械手的位姿表示1.2雅

6、可比矩阵 雅可比矩阵表示机构部件随时间变化的几何关系，它可以将单个关节的微分运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也可以将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。可通过使用位置方程对所有变量求导来计算雅可比矩阵。或 (2.0)其中，中的表示机器人手沿x,y与z轴的微分运动，中的，与分别表示机器人手绕x,y与z轴的微分旋转，表示关节的微分运动。1.3机器人动力学1.3.1机器人连杆系统的拉格朗日函数拉格朗日力学是基于能量項对系统变量与时间的微分的。拉格朗日力学以下面两个基本方程为基础：一个针对直线运动，另一个针对旋转运动。首先，定义拉格朗日函数为： L=K - PL是拉格朗日函数，K是系统动

7、能，P是系统势能。于是, (2.1)F是线运动的所有外力之和，T是转动中的所有外力矩之和，x是系统变量。机器人连杆系统的拉格朗日函数是：L=K-P=(2.2)1.3.2机器人拉格朗日动力学方程可以通过对拉格朗日函数求导来得到运动的动力学方程，如下所示：式中: 该式中，第一部分是角加速度惯量项，第二部分是驱动器惯量项，第三部分是克里奥利力和向心利项，最后一部分是重力项。第二章 六自由度机器人的运动学分析2.1 六自由度机器人的坐标系统xyz 我们以图上所示的六自由度简单链式机器人为例对其进行运动学分析。在这个简单机器人中，所有的关节都是旋转的。第一个关节在连杆0（固定基座）和连杆1之间，关节2在

8、连杆1和连杆2之间，等等。根据D-H表示法，建立其坐标系统，并填写其相应的参数表。xyz 表1.1 图1.5机器人的D-H参数表#da1 0 0 902 0 03 0 04 0 -905 0 0 906 0 0 0表示旋转关节的关节变量，d表示滑动关节的关节变量，a表示关节偏移，表示两个相邻的z轴之间的角度。2.2 六自由度机器人的运动学方程在D-H模型中，机器人的关节n到关节n+1之间的变换可以表示为：(2.4)通过简单的从参数表中选取参数带入A矩阵，便可写出每两个相邻关节之间的变换，最后得： (2.5)则在机器人的基座和手之间的总变换为（运动方程）：= (2.6)其中，表示cos,表示si

9、n , .2.3 六自由度机器人的运动反解为了使机器人手臂处于期望的位姿，我们需要通过逆运动学解（运动反解）来确定每个关节的值。其方法是用单个矩阵左乘矩阵，使得方程右边不再包括这个角度，于是可以找到产生角度的正弦值和余弦值的元素，并进而求得相应的角度。为了书写方便，将（2.6）式右边的矩阵表示为（Right-Hand Side）。这里再次将机器人的期望位姿表示为： （2.7）为了求解角度，从开始，依次用左乘上述两个矩阵，得到：= (2.8)根据方程的3,4元素，有： 和 （2.9）根据1,4元素和2,4元素，可得： （2.10）整理上面两个方程并对两边平方，然后将平方值相加，得：而=于是（2.

10、11）因为关节2,3,和4都是平行的，左乘和A的逆不会产生有用的结果。下一步左乘的逆，结果为：= （2.12）乘开后可得： （2.13）根据式（2.13）矩阵的3,3元素， 和 （2.14）由此可计算出的值。 （2.15）同理可依次计算出 （2.16）至此找到了6个方程，它们合在一起给出了机器人置于任何期望位姿时所需的关节值。2.4 六自由度机器人雅可比矩阵六自由度机器人的雅可比矩阵如下所示：或对于前面所分析的六自由度简单链式机器人，其正运动学方程的最后一列为： （2.17）对求导，得到雅可比矩阵的第一行为：(2.18)对于下面两行也可以同样处理。但是，因为没有单一的方程来描述绕轴的转动，也没

11、有单个方程可以用于绕三条轴的微分转动。因此，我们将用下面的方法进行计算。可以将相对于最后一个坐标系的速度方程写为：= （2.19）方程的微分运动关系可以写成：=如果所考虑的关节i为旋转关节，那么：（2.20）如果所考虑的关节i为滑动关节，那么：（2.21）对于式（2.20）和（2.21），对第i列用，它的具体计算如下：第1列用 第2列用 第3列用 （2.22）第4列用 第5列用 第6列用 第三章 六自由度机器人的动力学分析机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人运动学方程的具体推导过程如下：（1）选取坐标系，选定

12、完全而且独立的广义关节变量，i=1,2,n. (2)选定相应关节上的广义力：当是位移变量时，为力；当是角度变量时，为力矩。（3）求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。（4）代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。3.1 动能根据所学的力学课程得知，三维运动刚体的动能是 (3.1)这里代表刚体关于G点的角动量。刚体做平面运动时（如图1.6（b）所示）的动能可简化为： （3.2）机器人连杆上某点的速度可以通过对该点的位置方程进行求导得到，采用前面的符号，点的位置方程相对于机器人基座坐标的一个坐标系来表示。机器人末端手坐标和基座坐标系之间的变换为： 对于六轴机器人，该方程可以写为： （

13、3.3） 对于旋转关节，矩阵关于其关节变量的导数是： = （3.4）该矩阵可以分解为一个常数矩阵和矩阵的乘积：= （3.5）或表示为： （3.6） 类似地，对于滑动关节，矩阵关于其关节变量的导数是：= （3.7）和前面一样，该式也可以分解为一个常数矩阵和矩阵的乘积： （3.8）或表示为： （3.9）在式（3.6）和式（3.9）中，都是常数矩阵，具体可归纳为：（转动）=（滑动）= （3.10）用代表关节变量（用于转动关节，用于滑动关节），将同样的求导法推广到带有多个关节变量（和）的式（3.3）的矩阵，仅对一个变量求导得： (3.11)注意由于仅对一个变量求导，所以表达式中只有一个，高阶的导数可用

14、类似的方程求得： （3.12） 若用表示相对于机器人第i连杆坐标系的点，它在基座标系中的位置可以通过对该向量左乘一个变换矩阵得到，该变换矩阵表示了改点所在的坐标系。 （3.13）该点速度是所有关节速度的函数。因此，将式（3.13）对所有关节变量求导，即可得到该点的速度： （3.14）在连杆上的一个质量单元的动能为： （3.15）由于有三个分量，所以写成矩阵形式为： 和= （3.16） 结合式（3.14）式（3.15）和式（3.16），得到该质量单元的动能方程如下： （3.17） 这里p和r代表了不同的关节编号，这就使得可以将其他关节的运动对连杆i上点的最终速度的影响进行累计。对此方程进行积分，

15、整理后得到总动能：（3.18） 代表的伪惯量矩阵可以重写为： （3.19） 由于该矩阵与关节角度和速度无关，因此它只需计算一次。将式（3.19）代入式（3.18），可得出机器人操作手的最终动能形式： （3.20） 驱动器的动能也可以加入到该方程中，假设各驱动器的惯量分别是则相应驱动器的动能为这样，机器人的总动能为：+ （3.21）3.2势能 系统的势能是每个连杆的势能总和，可以写为： （3.22）这里，是重力矩阵，是连杆质心在所在连杆坐标系中的位置。显然，势能必须是标量，这样，（1x4的矩阵）乘以位置向量（4x1的矩阵）恰好得到一个标量。需要注意的是，重力矩阵中的元素依赖于参考坐标系的方向。3

16、.3拉格朗日函数系统的拉格朗日函数是：L=K-P= （3.33）3.4 机器人运动方程可以通过对拉格朗日函数求导来得到运动的动力学方程，如下所示：（3.34）式中: （3.35） （3.36） （3.37）该式中，第一部分是角加速度惯量项，第二部分是驱动器惯量项，第三部分是克里奥利力和向心利项，最后一部分是重力项。对前面所述的六自由度简单链式机器人，上述方程可展开如下：（3.38）i=1,2,.6. 把与机器人相关的参数值代入这些方程就可得出机器人的运动方程。在太空的失重情况下，可以忽略重力项，然而惯量项却是主要的。另一方面，如果机器人运动很缓慢，方程中许多与向心力加速度和科里奥利加速度相关的

17、项就可以忽略。一般来说，利用上述方程可以合理地设计和控制机器人。结论通过本课题的研究，加深了对机器人运动学和动力学的认识，掌握了机器人运动学和动力学研究的基本方法基本理论和基本知识，为展开对机器人的进一步研究打下了基础。参考文献1霍伟编著.机器人动力学与控制.:高等教育，2005.2 Saeed B.Niku 著 机器人学导论 电子工业，2004.3（美）John J.Craig 著 机器人学导论 机械工业，2006.4 熊有伦. 机器人学.：机械工业，19935 殷际英，何广平，关节型机器人，：化学工业，20036吴瑞祥.机器人技术与应用.航天大学，19937宋伟刚，机器人学-运动学动力学与控制，科学，2008.8锡芳编著，机器人动力学，交通大学，1992.12.9霍伟，机器人动力学与控制，高等教育，2005.110愈水