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1、7-6 高阶线性微分方程解的结构02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程实践中，我们经常遇到下列一些微分方程：实践中，我们经常遇到下列一些微分方程：二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程)()

2、()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构: :问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211ycycy )1(0)()( yxQyxPy定义：定义：设设nyyy,21为定义在区间为定义在区间 I 内的内的 n 个个函数如果存在函数如果存在 n 个不全为零的常数，使得当个不全为零的常数，使得当 x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立02211 nnykykyk，那么称这那么称这 n 个函数在区间个函数在区间 I内内线性相关线性相关否则称否则称线性无关线性无关例如例如),(sin

3、,cos122 xxx，),(,2 xeeexxx，线性无关线性无关线性相关线性相关特别地特别地: 若在若在 I 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy12cos ,sinyxyx是是方方程程的的两两个个特特解解，,tan12常数常数且且 xyy12cossin.ycxcx是是通通解解2.2.二阶线性非齐次微分方程解的结构二阶线性非齐次微分方程解的结构: :解的叠加原理解的叠加原理1212125( ) ( )( )( )( ),( ),( ),( )yiyyP x yQ x yfxifxP x Q xfxfx 定定理理 ：若若是是方方程程的的解解，其其中中是是实值函数，实值函数，i是纯虚数，是纯虚数，12,yy那那么么，分别是方程：分别是方程

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