231直线与平面垂直的判定

1、直线与平面垂直的判定复习引入：复习引入：1.1.直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系是什么是什么? ?（1 1）直线在平面内（无数个公共点）；）直线在平面内（无数个公共点）；（2 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3 3）直线和平面平行（没有公共点）直线和平面平行（没有公共点）2.2.线面平行的判定定理线面平行的判定定理的内容是什么的内容是什么? ?平面外一平面外一条条直线与此平面直线与此平面内的一条直线平行内的一条直线平行，则该直线与此平面则该直线与此平面平行平行. .3.3.线面平行的性质定理线面平行的性质定理的内容是什么的内容是什么?

2、一一条条直线与一直线与一个平面平行个平面平行，则过，则过这条直线这条直线的任一的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与此平面的交线与该直线平行. .引入新课引入新课在直线和平面相交的位置关系中在直线和平面相交的位置关系中, ,有一种相交是很有一种相交是很特殊的特殊的, ,我们把它叫做垂直相交我们把它叫做垂直相交, ,这节课我们重点这节课我们重点来探究这种形式的相交来探究这种形式的相交观察实例观察实例, ,发现新知发现新知旗杆与地面的关系，旗杆与地面的关系，给人以直线与平面给人以直线与平面垂直的形象。垂直的形象。大桥的桥柱与水面的位置大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面关系，给人以直线

3、与平面垂直的形象。垂直的形象。观察实例观察实例, ,发现新知发现新知实例研探实例研探, ,定义新知定义新知探究探究: :什么叫做直线和平面垂直呢什么叫做直线和平面垂直呢? ?当直线与平面当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢样呢? ?生活中线面垂直的实例生活中线面垂直的实例: :ABB1C1CB在阳光下观察直立于地面在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如

4、图），所在的直线垂直（如图），事实上，旗杆事实上，旗杆ABAB所在直线所在直线与地面内任意一条不过点与地面内任意一条不过点B B的直线也是垂直的。的直线也是垂直的。如果一条直线如果一条直线l 和一个平面和一个平面内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直，我们就说直线都垂直，我们就说直线l 和平面和平面互相垂直互相垂直. . 记作：记作：l lPl 叫做叫做的的, , 叫做叫做l 的的, , l 与与的唯一公共点的唯一公共点P P叫做叫做画直线与平面平行时，通画直线与平面平行时，通常把直线画成与表示平面常把直线画成与表示平面的平行四边形的的平行四边形的一边垂直一边垂直。线面垂直直观图的画法：线面垂

5、直直观图的画法：anma“任何任何”表示所有表示所有直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. . a a等价于对任意的直线等价于对任意的直线m m ，都有，都有am.am.三点说明三点说明:利用定义，我们得到了判定线面利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质了线面垂直的最基本的性质. .探究探究提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？线和平面垂直呢

6、？请同学们准备一块三角形请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过图所示的试验：过ABCABC的的顶点顶点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将翻折后的纸片竖起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（放置在桌面上（BDBD、DCDC与与桌面接触），问桌面接触），问: :折痕折痕AD与与桌面垂直吗？桌面垂直吗？如何翻折才如何翻折才能保证折痕能保证折痕ADAD与桌面所在与桌面所在平面垂直？平面垂直？ DBACBDCAPmnl n m mnPllmln 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直例例1 1、如图，已知如图，已知abab，aa。求证：求证：bb

7、。例题示范例题示范, ,巩固新知巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，由直线与平面垂直的定义可知，直线直线a a与这两条相交直线是垂直的，与这两条相交直线是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可证，可证b b与这两条相交与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。面垂直。ab阅读阅读P66P66页的页的证明过程证明过程. .例题示范例题示范, ,巩固新知巩固新知例例2 2、一旗杆高、一旗杆高8m8m，在它的顶点处系两条长，在它的顶点处系两条长10m10m的的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的绳子

8、，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两点与旗杆脚距点与旗杆脚距6m6m, ,那么旗杆就与地面垂直，为什那么旗杆就与地面垂直，为什么？么？解：如图，旗杆解：如图，旗杆POPO8 8，两绳子长，两绳子长PAPAPBPB1010，OAOAOBOB6 6，A A，O O，B B三点不三点不共线共线因此因此A A，O O，B B三点确定平面三点确定平面，因为因为POPO2 2AOAO2 2PAPA2 2，POPO2 2BOBO2 2PBPB2 2，所以所以POOAPOOA，POOBPOOB又又OAOBOAOBO O所以所

9、以OPOP，因此旗杆与地面垂直。，因此旗杆与地面垂直。巩固练习巩固练习1.1.平行四边形平行四边形ABCDABCD所在平面所在平面 外有一点外有一点P P，且，且PAPA= =PBPB= =PCPC= =PDPD，求证：点，求证：点P P与平行四边形对角线交与平行四边形对角线交点点O O的连线的连线POPO垂直于垂直于ABAB、AD.AD.CABDOP巩固练习巩固练习._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是则若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABCVABC如图如图,

10、 ,若一条直线若一条直线PAPA和一个和一个平面平面相交相交, ,但不垂直但不垂直, ,那那么这条直线就叫做这个平么这条直线就叫做这个平面的斜线面的斜线, ,斜线和平面的交斜线和平面的交点点A A叫做斜足。叫做斜足。PA斜足斜足斜线斜线如图如图, ,过斜线上斜足以外的过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线一点向平面引垂线PO,PO,过垂过垂足足O O和斜足和斜足A A的直线的直线AOAO叫做叫做斜线在这个平面上的斜线在这个平面上的射影射影. .平面的一条斜线和它在平平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的面上的射影所成的锐角锐角, ,叫叫做做这条直线和这个平面所这条直线和这个平面所成的角成的角。斜线

11、斜线斜足斜足射影射影垂足垂足垂线垂线一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面, ,我们说它所成的我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行角是直角；一条直线和平面平行, ,或在或在平面内平面内, ,我们说它所成的角是我们说它所成的角是0 00 0的角。的角。规定规定:想一想想一想:直线与平面所成的角直线与平面所成的角的取值范围的取值范围是什么是什么?A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如图，正方体、如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1

12、 1B B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例题示范例题示范, ,巩固新知巩固新知分析分析: :找出直线找出直线A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD内的射内的射影影, ,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。阅读教科书阅读教科书P67上的解答过程上的解答过程巩固练习巩固练习1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平

13、行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （ ）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （ ）（3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （ ）2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影

14、中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB

15、E线段线段B1E巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB线段线段C1D巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o巩固练

16、习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90o巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o巩固练习巩固练习3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成