高三数学余弦定理课件

1、余弦定理复习回顾正弦定理：正弦定理：sinsinsinabcABC2R可以解决两类有关三角形的问题可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边已知两角和任一边.（2）已知两边和一边的对角已知两边和一边的对角.变形：变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2CBAcbasin:sin:sin:2sinsinsinabcRABC情景设置： 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置工程技术人员先在地面上选一适当的位置A A，量出量出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，再利用经纬仪测出的距离，再利用经纬仪测出A

2、A对山脚对山脚BCBC（即线段（即线段BCBC）的张角，最后通过计算的张角，最后通过计算求出山脚的长度求出山脚的长度BCBC. .已知：AB、 AC、角 (两条边、一个夹角)研究：在三角形中，c，BC=a，CA=b, AC =AB + BC AC =AB + BC| |ACAC| | = =| |AB + BCAB + BC| | |ACAC| | = =| |AB + BCAB + BC| |2 22 2 |AC| |2 2= AB +2AB BC+BC2222=|AB|+2|AB| |BC|cos（180 -B）+|BC|0余弦定理：三角形任何一边的平方等于余弦定理：三角形任何一边的平方等

3、于其它两边平方的和减去这两边与它们夹其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍角的余弦的积的两倍.2222cosbcabcA2222cosacbacB2222cosabcabC应用：应用：已知两边和一个夹角，求第三边已知两边和一个夹角，求第三边 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC.已测的：千米，A 3/2 千米角,600求山脚的长度延伸变形：延伸变形：，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222注意

4、注意: :余弦定理适用任何三角形余弦定理适用任何三角形. .应用：应用：已知三条边求角度已知三条边求角度例例1 1：在三角形：在三角形ABCABC中，已知中，已知a=7a=7，b=10,c=6,b=10,c=6,求求A A、B B和和C C（精确到（精确到1 1）。）。变式（变式（1 1）：已知条件不变，结论换成求）：已知条件不变，结论换成求 的面积的面积。ABC变式（变式（2 2）：已知条件不变，结论换成判）：已知条件不变，结论换成判定定 的形状。的形状。ABC提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形222cbaABC是锐角三角形222cbaABC是直角角三角形222

5、cba2222cosbcabcA，bcacbA2cos222小结： 余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222bcacbA2cos222acbacB2cos222abcbaC2cos222应用：应用：、已知两条边和一个夹角，求第三条边、已知两条边和一个夹角，求第三条边.、已知三条边，求三个角、已知三条边，求三个角.判断三角形的形状判断三角形的形状.余弦定理2.余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. .Cabbaccos

6、2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos2222 2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1 1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. .例1.根据所给条件,判断 ABC的形状:(1) coscosaAbB(2) coscosaBbA22(4) ( coscos )()cosa bB cCbcA(3) sinA2sincosBC222214ABCSaABC

7、abccabCCb22例2:21在中，已知在中，已知（）求的大小.求的大小.0601,3,.sinsinsinABCAbabcSABCABC在中，求例 :的值3233,2 (0)aaaaa a2例4 已知23,求三:角形的最大角23x已知锐角三角形的两边长为 和 ，求第三边长 的取例5:值范围. 例例5. 5.ABCABC中，若已知三边为连续正中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，解此三角形整数，最大角为钝角，解此三角形. . C为钝角为钝角 0) 1(242cos222kkaccbaC解得解得41 k Nk或或3,3,但但2k2k时不能构成三角形应舍去时不能构成三角形应舍去余弦定理3例例

8、1、在长江某渡口处，江水以、在长江某渡口处，江水以km/h的速度的速度向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定向东流。一渡船在江南岸的码头出发，预定要在要在0.1h后到达江北岸码头，设为正北后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距并与码头相距1.2km该渡船应按什么方向该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米小时？（角度精确到航行？速度是多少千米小时？（角度精确到0.1 ，速度精确到，速度精确到0.1km/h）船按方向开出船按方向开出解：如图，取方向为水流方向，以为解：如图，取方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，一边、为对角线作平

9、行四边形，其中其中1.2(km),AC=50.1=0.5(km),在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得38. 1)1590cos(5 . 02 . 125 . 02 . 1222BC所以所以（km)因此，船的航行速度为因此，船的航行速度为1.170.1=11.7(km/h)在在中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得4128. 017. 175sin5 . 0sinsinBCBACACABC所以所以所以所以 答：渡船按北偏西答：渡船按北偏西 的方向，并以的方向，并以km/h的速度航行的速度航行例例2、如图，是三角形中边上、如图，是三角形中边上的中线，求证：的中线，求证：.)(221222BCACABAM证：设证：设ABM ，则，则AMC 在在ABM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得.cos2222BMAMBMAMAB在在ACM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得2222cos(180).AMMCACMCAM因为因为cos(180 ）cos ,BM=MC=1/2BC,所以所以,2122222BCAMACAB因此，因此，.)(221222BCACABAM2,()(- )43, 2.77abc abABACBCACabDBcA在 ABC中，已知，边练习：在 ABC中的中线，求1求思考：证明：coscosabCcB02322xx1)cos(2 BAa，b