2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期)专题13二次函数(含解析)

1、二次函数一.选择题1（ 2019甘肃省兰州市）（5分）已知，点A （1, yi）, B （2, 72在抛物线y= （x+1） 2+2 上，则下列结论正确的是（A. 2 yi y2B. 2 y2 yiC. yi y22D. y2 yi2【答案】A.【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质【考察能力】空间想象能力，运算求解能力【难度】较难【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x=i,顶点坐标（i,2 ）,根据函数增减性可以得到，当 x- i时，y随x的增大而减小.因为一ii yi y2故选A.2 （20i9?湖南岳阳？ 3分）对于一个函数，自变量 x取a时，函数值y也等于a,我

2、们称a为 这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点 xx2,且xivivx2,则c的取值范围是（）A. cv - 3B. cv - 2C. c-rD. cvi4【分析】由函数的不动点概念得出xi.x2是方程x2+2x+c= x的两个实数根，由xiivx2知.，解之可得.Hl+co贝卜 餐 .l+l+c0X.解得c - 2,故选：B.【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于 c的不等式.3.（2019,山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 1）,它由五个高度不 同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，

3、拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象 -抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A,B两点，拱高为78米（即最高点 。到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米）， 以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）26 226 213 213 2A. y =x B. y = x C. y =x D. y = x67567513501350图1【解析】设抛物线的解析式为22y=ax，将 B(45,78)代入得：78 = a，45，二 a =26675 26.抛物线解析式为：y=-6-x2,故选B

4、6754.（2019,四川成都，3分）如图，二次函数 y =ax2+bx + c的图象经过点 A （1, 0）, B （5,0）,下列说法正确的是（）A. C 02B. b -4ac0 C.a b + c0.【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。次函数y =ax2 +bx +c与x轴的交点，由图象可知图象与B选项中，表示,函数图象与x轴有两个交点，所以0,即。C选项中，令x曲-1,可 得y=ab+c,即x=1时函数的取值。观察图象可知x= 1时y0,所以ab+c0.最1 5后D选项中，根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1, 0） . （5, 0）两点的中垂线，x =,x=3即为

5、函数对称轴。故选 Do5.（2019,四川巴中，4分）二次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图象如图所示，下列结论 b24ac, abcv0, 2a+b-c0, a+b+cv 0.其中正确的是（）x=-lA.B.C.D,【分析】抛物线与x轴由两个交点，则 b2- 4ac0,即b24ac,所以正确；由二次函数图象可知，a0, b 0,所以abc0,故错误； 对称轴：直线 x= -= - 1, b= 2a,所以 2a+b - c= 4a - c, 2a+b - c= 4a - c 0,2a故错误；对称轴为直线x= - 1,抛物线与x轴一个交点-3V xi - 2,则抛物线与x轴另一个交点0vx

6、24ac,所以正确；由二次函数图象可知，a0, b0,abc0,故错误；;对称轴：直线 x= - 1,2ab = 2a,2a+b_ c=4a c,. a0, 4a0, - c 0,2a+b_ c=4a c 0,故错误；对称轴为直线x= - 1 ,抛物线与x轴一个交点-3X1 - 2,，抛物线与x轴另一个交点0V X20,2a+b20,4acv b，a+b+cv 0,当x0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A.B.C.D.【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【解答】解：由图象可知：a0, c0,ac0,故正确；由于抛物线与x轴有两个交点，b2- 4ac0,故 正确； 由图象可知：

7、x= 1时，y=a+b+c邛-时，y随着x的增大而增大，故 错误； 2a故选：C.【点评】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于 2.,_、，一一一 一.一 C ,7 （2019旷东深圳？3分）已知y=ax +bx+c（a # 0）的图象如图，则y = ax+b和y =一的 x图象为（）乐B.C,E【答案】C【解析】根据 y =ax2+bx+c（a #0）的图象可知抛物线开口向下，则a c 0 ,抛物线与 y轴交点在负半轴，故 cv 0,对称轴在y轴的右边，则b0.ABCD,其中/8 （2019Q苏连云港？3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场12m,则

8、该梯形储料场 ABCDB. 18VSm2的最大面积是（C. 24/5m2D.也!m22【分析】过点C作CELAB于E,则四边形 ADCE为矩形，CD = AE=x, /DCE = /CEB= 90 ,则/ BCE=/ BCD-/DCE = 30 , BC= 12-x,由直角三角形的，性质得出BE = BC = 6 - x,得出 AD =22CE =BE = 67 3 -x AB=AE+BE = x+6 -x =22-yx+6,由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解.【解答】解：如图，过点 C作CEL AB于E,则四边形 ADCE 为矩形，CD =

9、 AE = x, / DCE = / CEB = 90 ,则/ BCE=/ BCD - / DCE= 30 , BC = 12-x,在 RtCBE 中，. / CEB = 90 ,BE= JLBC = 6-JLx,22AD= CE=/BE=6立-立x, AB = AE+BE=x+6-J-x = J-x+6,222梯形 ABCD 面积 S = _1_ ( CD+AB ) ? CE =( x+_!_ x+6 ) ? (6- x )=-2222x2+3 百x+18把=-(x - 4) 2+24 如,88E.当 x=4 时，S最大=24.即CD长为4m时，使梯形储料场 ABCD的面积最大为24、/jm

10、2;【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含 30。角的直角三角形的性质、勾股定理、 二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键.29 （2019?广西河池？3分）如图，抛物线 y=ax+bx+c的对称轴为直线 x= 1,则下列结论中,错误的是（）C. 2a- b= 0D. a b+c= 0【分析】由抛物线的开口方向判断 a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【解答】解：A.由抛物线的开口向下知 a0,因此ac0,故本选项正确，不符合题意；B.由抛物线与x轴有两个交点，可得 b2-4ao0,故

11、本选项正确，不符合题意；C.由对称轴为x=- -=1,得2a=- b,即2a+b = 0,故本选项错误，符合题意；D.由对称轴为x= 1及抛物线过（3,0）,可得抛物线与x轴的另外一个交点是 （-1,0）,所以a- b+c=0,故本选项正确，不符合题意.故选：C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.会利用对称轴的范围求 2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.10 (2019?黑龙江口尔滨？3分)将抛物线y= 2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单 位长度，所得到的抛物线为()A. y=2 (x+2) 2+3B. y=2 (x-2) 2+3C. y=

12、2(x-2) 2-3D. y=2 (x+2) 2-3【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可.【解答】解：将抛物线 y= 2x2向上平移3个单位长度，再向右平移 2个单位长度，得到 的抛物线的解析式为 y=2 (x- 2) 2+3, 故选：B.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右 减，上加下减.11 (2019?lL|东省德州市 ？4分)在下列函数图象上任取不同两点Pi (xi, yi)、P2 (x2, y2),一定能使-1 v 0成立的是()叼一町A.y=3x-1(xv0)B.y= - x?+2x- 1 ( x 0)C. y= - ( x

13、0)D, y=x2-4x- 1 (xv 0)【考点】二次函数【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可.【解答】解：A. k= 3 0，y随x的增大而增大，即当 x1x2时，必有y1y2当 x0,故A选项不符合；B. .对称轴为直线x=1,当0vxv 1时y随x的增大而增大，当 x 1时y随x的增大而减小, ，当0vxv1时：当x1x2时，必有y1y2此时-2 0,叼一孙故B选项不符合；C.当x0时，y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有y1y2此时 N I 0,算2rl故C选项不符合；D.二对称轴为直线x=2,当xx2时，必有yiy2此时“ 41 0,町一町故D选项符合；故选：D.【点评】

14、本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图 象去一一分析，有点难度.12. （2019?山东省济宁市 ？3分）将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A ,y=（x-4）2-6 B.y=（ x-1） 2-3C.y =（x-2） 2-2 D. y = （x-4）2-2【考点】二次函数【分析】先把y=x2-6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3, -4）,再把点（3,-4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4, -2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.【解答】解：y=x2-

15、6x+5= （x-3） 2-4,即抛物线的顶点坐标为（3, -4）,把点（3, -4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4,-2）,所以平移后得到的抛物线解析式为y= （x-4） 2-2.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点 平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.13. (2019陆江彳W州？3分)二次函数y= (x-1) 2+3图象的顶点坐标是()A. (1 , 3)B. (1, -3)C. (-1, 3)D.

16、 (-1, -3)【答案】A【考点】二次函数 y=a (x-h) V+k的性质【解析】【解答】解：= y= (x-1) 2+3,，二次函数图像顶点坐标为：(1,3).故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标14. (2019惭江名S兴？4分)在平面直角坐标系中，抛物线 y= (x+5) (x-3)经变换后得到 抛物线y= (x+3) (x-5),则这个变换可以是()A .向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D,向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.【解答】解：y= (x+5) (x- 3) = ( x+1) 2-16,顶点坐标是

17、(-1, -16).y= ( x+3) (x - 5) = (x- 1) 2 - 16,顶点坐标是(1, - 16).而以将抛物线y= (x+5) (x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线 y= (x+3) (x-5), 故选：B.【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.15. (2019陆江嘉兴?3分)小飞研究二次函数 y=- (x-m 2- n+1 ( m为常数)性质时如下 结论：这个函数图象的顶点始终在直线y= - x+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；点 A (x1, yO 与点 B (x2,

18、y2)在函数图象上，若 x12m,则 y12.其中错误结论的序号是()ASB.C.D.【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可.【解答】解：二次函数y= - ( x-m 2- n+1 (m为常数),一顶点坐标为(m, - m+1)且当x=m时，y= - m+1.这个函数图象的顶点始终在直线y= - x+1上故结论正确；假设存在一个 m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令 y = 0,得-(x - m 2- m+1 = 0,其中 me 1解得：x = m- VnH-1, x = m+J-mH,一顶点坐标为(m - m+1)

19、,且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形.| - r+1| = | m- ( m-) |解得：m= 0或1存在m= 0或1,使得函数图象的顶点与 x轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论正确；x1+x22m町+ k?, .; i.2,一二次函数y= - ( x-m 2- n+1 ( m为常数)的对称轴为直线，点A离对称轴的距离小于点 B离对称轴的距离X1y2故结论错误；当-1vxv2时，y随x的增大而增大，且-12.故结论正确.故选：C.【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系， 目，需要利用数形结合思想解决本题.x= m是一道综合性比较强的题二.填空题1. (2019?胡南

20、株洲？3分)若二次函数 y=ax2+bx的图象开口向下，则 a v 0 (填“=”或或 “v”).【分析】由二次函数y=ax2+bx图象的开口向下，可得 a0.【解答】解：.二次函数 y=ax2+bx的图象开口向下，a0时，抛物线向上开口；当 an的解集是 xv - 3或x 1 .【考点】二次函数与不等式【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.【解答】解：,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A ( - 1, p) , B (3, q)两点,一 m+n= p, 3m+n= q,抛物线 y=ax2+c 与直线 y=- mx+n 交于 P (1, p) , Q (-3, q)两点

21、，观察函数图象可知：当xv - 3或x1时，直线y= - mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，不等式ax2+mx+c n的解集为xv-3或x1.故答案为：xv - 3或x 1.【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的 解集是解题的关键.3. (2019?甘肃武威？ 4分)将二次函数y=x2- 4x+5化成y= a (x - h) 2+k的形式为y= (x-2) 2+1.【分析】利用配方法整理即可得解.【解答】 解：y= x2 - 4x+5 = x2 4x+4+1 = (x- 2)2+i,所以，y= ( x - 2) 2+1 .故答案为：y= (x-2

22、) 2+1.【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：2(1) 一般式：y=ax+bx+c (aw0, A.B. c 为常数)；(2)顶点式：y= a (x-h) 2+k；(3)交点式(与 x轴):y = a (x-x1) (x x2).4 (2019?广西贵港？ 3分)我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c| (aw0,且b2-4a0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了 “鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为(-1, 0), (3, 0)和(0, 3);图象具有对称性，对称轴是直线x= 1;当-1WxW1或x 3时，函数

23、值y随x值的 增大而增大；当x= - 1或x= 3时，函数的最小值是 0;当x= 1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是【分析】由（-1,0）,（3,0）和（0,3）坐标都满足函数y=|x2-2x-3|,.是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x= 1,也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当-1WXW 1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据 y=0,求出相应的x的值为x= - 1或x=3,因此也是正确的；从图象上看，当 xv - 1或x 3,函数值 要大于当x= 1时的y=|x2-2x-3|=4

24、,因此时不正确的；逐个判断之后，可得出答案.【解答】 解：.（ 1, 0）, （3, 0）和（0, 3）坐标都满足函数 y=|x2-2x- 3, 是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x= 1 ,因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当-1wxw 1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与 x轴的两个交点，根据 y=0,求出相应的x的值为x=- 1 或x=3,因此也是正确的；从图象上看，当 xv - 1或x3,函数值要大于当 x= 1时的y= |x2- 2x- 3|= 4,因此 时不正确的；故答案是：4【点评】理解“鹊桥”函数

25、 y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌 握.5. (2019?胡北天门？3分)矩形的周长等于 40,则此矩形面积的最大值是100 .【分析】设矩形的宽为 x,则长为(20-x),S=x (20 - x) = - x2+20x= - (x- 10) 2+100, 当x=10时，S最大值为100.【解答】解：设矩形的宽为 x,则长为(20-x),S= x (20-x) = - x +20x=

26、 - (x-10) +100,当x=10时，S最大值为100.故答案为100.【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键.6. (2019?胡北武汉？3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点A (-3,0)、B(4,0)两点，则关于 x 的一元二次方程 a (x-1) 2+c= b - bx 的解是 xj= - 2, x2= 5 .【分析】由于抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y= a (x-1) 2+b (x-1) +c,从而得到抛物线 y= a (x-1) 2+b (x-1) +c与x轴的两交点坐标为(-2, 0), (5, 0),然后根据抛物线与 x轴的交点

27、问题得到一元二方程 a (x-1) 2+b (x- 1) +c= 0的 解.【解答】解：关于x的一元二次方程a (x-1) 2+c= b-bx变形为a (x-1) 2+b (x-1)+c= 0,把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y= a (x-1) 2+b (x-1) +c, 因为抛物线 y= ax2+bx+c 经过点 A (-3, 0)、B (4, 0),所以抛物线y= a (xT) 2+b (xT) +c与x轴的两交点坐标为(- 2, 0), (5, 0), 所以一元二方程 a (x 1) 2+b (x-1) +c= 0 的解为 x1= 2, x2= 5.故答案为x1

28、= - 2, x2=5.【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c (a, b, c是常数， aw0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.7. (2019?胡南衡阳？3分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示.已知 A点坐标为（1,1）,过点A作AAl/x轴交抛物线于点 Ai,过点Ai作A1A2/OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3/ x轴交抛物线于点 A3,过点A3作A3A4 / OA交抛物线于点 A4,依次进行下去，则点 A2019的坐标为， 一一 一一2、 (-1010, 10102)0【分析】根据二次

29、函数性质可得出点A1的坐标，求得直线 A1A2为y=x+2,联立方程求得A2的坐标，即可求得 A3的坐标,同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标.【解答】解：A点坐标为（1,1）, 直线 OA 为 y=x, A1 (- 1, 1),A1A2/ OA,二直线 A1A2 为 y=x+2,产k+22得y=xk二T 一或Jy=l工二2A2 (2, 4),A3 2, 4), A3A4/ OA,工二3乎9直线 A3A4 为 y=x+6,y=x+6之得.A4 (3, 9),A5 (3, 9),2、A2019 ( 1010, 1010 ),故答案为(-1

30、010, 10102).【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标， 根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键.8. (2019?1龙江口尔滨？3分)二次函数y=- (x-6) 2+8的最大值是8 .【分析】利用二次函数的性质解决问题.【解答】解：: a=- K0,，y有最大值，当x=6时，y有最大值8.故答案为8.【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.9. (2019安徽)(5分)在平面直角坐标系中，垂直于 x轴的直线l分别与函数y=x- a+1和 y=x2-2ax的图象相交于 P, Q两点.若平移直线1,可以使P, Q

31、都在x轴的下方，则 实数a的取值范围是a1或av T .【分析】由y=x- a+1与x轴的交点为(1-a, 0),可知当P, Q都在x轴的下方时，x 直线1与x轴的交点要在(1-a, 0)的左侧，即可求解；【解答】解：y=x - a+1与x轴的交点为(1-a, 0),平移直线1,可以使P, Q都在x轴的下方， 当 x= 1 a 时，y= ( 1 a) 2 2a (1 a) 0,. . a1 或 av - 1 ；故答案为a 1或av - 1;【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问题转化为当x=1-a时，二次函数y 0,当 x=2 时，y=4a+2b+c

32、0,M-N=4a+2b- a-b)=4a+2b+c- a-b+c)0, 即M N,故答案为：0, PD有最小值，当x2=3m-1时,PD最小值d =4.9=出2丁9 .【点评】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大.2. （2019?贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x （元）与该土特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：x （元）152030y （袋）252010若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1

33、）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元） 的函数关系式即可（2）利用每件利润x总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量 y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为 y=kx+ b 得售二15k+b解得件-1lL2O=2Ok+blb = 40故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：y=- x+40（2）依题

34、意，设利润为 w元，得w = （x- 10） （ - x+40） = - x +50x+400整理得 w=- （x - 25） 2+225- 1acpd： Sabpd=1： 2,则 BD = BC = X= 2,即可求解；33(3) /OGE=15 , / PEG = 2ZOGE=30 ,则/ OHE = 45 ,故 OH = OE=1,即可求解；(4)禾Ij用S四边形BOCP=Saobc+S”bc= 8,即可求解.【解答】 解：(1)函数的表达式为：y=a (x-1) (x+3) = a (x2+2x-3),即：-3a= 3,解得：a= - 1, 2-故抛物线的表达式为：y= - x - 2

35、x+3，顶点坐标为(-1,4);(2) OB=OC, ./ CBO=45 ,SCPD： SA BPD=1： 2,S=28,2-2BD=-BC=X33yD=BDsin/CB0=2,则点 D ( 1, 2);OHE=45 ,.-，OH=OE=1,则直线HE的表达式为：y= - x- 1，联立 并解得：x= -1 后（舍去正值），2故点p由匕）；22（4）不存在，理由:连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H ,设点 P (x, - x2-2x+3),点 H (x, x+3),则 S 四边形 BOCP= Saobc+S*BC= -X 3 x 3+ ( x2 2x+3 x 3) x 3= 8, 22

36、整理得：3x2+9x+7 = 0,解得： 0,故方程无解,则不存在满足条件的点P.【点评】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大.4 （2019?tL（东省滨州市 ？14分）如图，抛物线y= - -x2+x+4与y轴交于点A,与x82轴交于点B, C,将直线AB绕点A逆时针旋转90 ,所得直线与x轴交于点D.（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点 P的坐标和最大距离；【考点】二次函数【分析】（1）根据抛物线y= - -Lx2+Xx+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,

37、 C,可以 82求得点A.B.C的坐标，再根据将直线 AB绕点A逆时针旋转90 ,所得直线与x轴交于点D,可以求得点 D的坐标.从而可以求得直线 AD的函数解析式；（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；根据中关系式和题意，可以求得点P对应的坐标，从而可以求得 sin/PAD的值.【解答】解：（1）当x=0时，y=4,则点A的坐标为（0, 4）,当y=0时，0 = - A*春x+4,解得，xi=- 4, x2= 8,则点B的坐标为（-4, 0）,点C Q Z的坐标为（8, 0）,.OA= OB=4, ./ OBA=Z

38、OAB=45 ,将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线 AD,，OAD = 45，OA= OD,点D的坐标为（4,0）,设直线AD的函数解析式为y= kx+b,七二4 ,得,4k+b=01AT、b二 4即直线AD的函数解析式为y= x+4;（2）作PNx轴交直线AD于点N,如右图所示,设点P的坐标为(t, - 12+1+4),则点N的坐标为(t, - t+4),82pN= ( -t +-t+4) - ( t+4) = - -t +-t,828 2PNx 轴,PN / y 轴, ./ OAD = Z PNH = 45 ,作 PH LAD 于点 H,则/ PHN = 90 ,. PH = PN =

39、 L+条)=驾 J 咨T(f6)2+M， 2282164164当t=6时，PH取得最大值2匹，此时点P的坐标为（6,）,42即当点P到直线AD的距离最大时，点 P的坐标是（6,圭），最大距离是2逗.4当点P到直线AD的距离为22时，如右图所示,4则- 一. 16工解得，ti = 2, t2=10,则Pl的坐标为(2,3), P2的坐标为(10,-1)，2 V1722当 Pi 的坐标为(2, 则 PiA = (2-0)2+(-14)./D _J_ W34sin/PlAD=.y =三厂当P2的坐标为（10,-孑）,贝U P2A= J（10-0 ）（ sin/ P2AD= - 三 二2由上可得，si

40、n/ PAD的值是_ .3410图，图【点评】 本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答.5. (2019,山西，13分)综合与探究如图，抛物线y =ax2+bx+6经过点A (-2, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点，设点 D的横坐标为m(1 m + r = 0故抛物线的函数表达式为r =./ - 2x - 3 ： .，2) 抛物”与x轴的交点为8(-1.0). C(3,0)./. BC=4.抛物段的对称抽为直线x = l.设抛物线的对称轴与x轴交于点.则点的尘惊为(1.0). B

41、H:？由翻新用C8 = CB = 4.在 RiABHC中.由勾股定理.借CH = JuB二 BH = ,4、2, = 2，点C的坐标为(1 26).1auNC8H = U = 3 = & )BH 2，CBH = 60。由制折得ADBH = : BH = 30。.2GA RtBHD +. DH = BH DBH = 2 tan3O ，点。的史称为(3)取，2)中的点C. D. itUCC.V BCBC, ZC*5C = 60.NCB为蜂边三条骷.分矣讨论如下：当点尸在x轴上方时,点0在x必上方.连接B0. UP.:寸CQ、AC。为等边三角彩/. CQ-CP . BC-CC . ZPCQ- ACCB.*. &CQ = NUCP. A5c00AUCP./. BQ = UP.点04提物蝶的计林轴上.:,BQ = CQ:CP = CQ = C