常系数齐次线性微分方程

1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第二节第二节 一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：(,)yfx y (,)(,)0P x y dxQ x y dy （变量（变量x与与y对称）对称）若将若将x看作未知函数，则有看作未知函数，则有若将若将y看作未知函数，则有看作未知函数，则有dyP x yQ x ydxQ x y( , )( , )0)( , ) dxQ x yP x ydyP x y(,)(,)0)(,) 对称形式：对称形式：讨论一阶微分方程的解法讨论一阶微分方程的解法 ()()1g y dyh x dx ()()yMxNy 22dyxydx ln0 xyyy ()()0 x

2、yxxyyeedxeedy 11yxyxeedydxee 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程均可化为均可化为(1)(1)的形式的形式. .例如：例如：22dyxdxylndydxyyx形如：形如：或或(,)yfx y ?问题：问题：22dyxdxy21xCy 21yxC xyyxeedxeedy(1)(1)0对方程对方程两边积分两边积分：()()g y dyh x dx 设设 及及 依次为依次为 及及 的原函数，的原函数，()G y()Hx()g y()h x()()G yHxC 可分离变量方程的解法可分离变量方程的解法分离变量法：分离变量法： 由于关系式由于关系式(2)(2)含

3、有任意常数，故称为含有任意常数，故称为（隐式）（隐式）通解通解. .称为微分方程称为微分方程(1)(1)的（隐式）解的（隐式）解. .于是有于是有将方程将方程分离变量分离变量：()()g y dyh x dx 例例1 1 求解微分方程求解微分方程20.dyxydx的的通通解解解解分离变量分离变量：,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy21ln yxC 221.xCxyeCe 为为所所求求通通解解 1CCe 记记，仍仍为为任任意意常常数数0y 0y 也是解，也是解，可与通解可与通解合并为合并为2xyCe 例例2 2 求解微分方程求解微分方程ln0 xyyy lndydxyyx 解解

4、 分离变量：分离变量：两端积分：两端积分：lndydxyyx ln lnlnln,yxCln,yC x ln.xyxye或或为为所所求求特特解解ln.yCx 是是通通解解满足初始满足初始条件条件eyx 1的特解的特解. .1xye 由由，得得, 1ln eC解解,dMdt衰衰变变速速度度由题设条件，有由题设条件，有00tdMMdtMM (0) 衰衰变变系系数数(1) (1) 建立微分方程和定解条件：建立微分方程和定解条件：M00MMt )(tM例例3 3 衰变问题衰变问题: :衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量成正比成正比, ,已知已知, ,求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量随

5、时间随时间t变化的规律变化的规律. . 初值问题初值问题 00tdMMdtMM dtMdM , dtMdM00,tMM 代代入入,lnlnCtM ,tMCe 即即00MCe 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律分离变量分离变量两边积分两边积分0MtOM（2 2）解微分方程：）解微分方程：利用死亡生物体内放射性同位素碳利用死亡生物体内放射性同位素碳1414 14C记记作作的衰变规律，推测生物体的死亡的衰变规律，推测生物体的死亡时间，用于考古、刑侦等方面时间，用于考古、刑侦等方面. .0tMM e 放射性物质都具有类似的衰变规律：放射性物质都具有类似的衰变规律：假设某人每天的饮食可产生假设某人每

6、天的饮食可产生热量热量, ,用于基本新陈代谢每天所消耗的热用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为量为kg.J/d CJA，用于锻炼所消耗的热量为，用于锻炼所消耗的热量为J/kg.DJB为简单计为简单计, , 假定增加假定增加( (或减少或减少) )体重所需热量体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为全由脂肪提供，脂肪的含热量为求此人体重随时间的变化规律求此人体重随时间的变化规律. .例例4 4（减肥问题）（减肥问题）J表示焦耳，表示焦耳，d表示天表示天单位：单位：解（解（1 1）建立微分方程与定解条件：）建立微分方程与定解条件：设设t 时刻时刻( (d) )的体重为的体重为 .tw根据热量平衡原理

7、，在根据热量平衡原理，在dt 时间内，时间内，人的热量的改变量人的热量的改变量吸收的热量消耗的热量吸收的热量消耗的热量因此得因此得 ttCwBAwDdd ,ABCabDD 记记则得方程则得方程 .tbwadtdw 设开始减肥时刻为设开始减肥时刻为, 0 t0w体体重重为为，于是初值条件为于是初值条件为 .00wtwt （2 2）解微分方程：）解微分方程： 00tdwabw tdtw tw 初值问题初值问题分离变量分离变量两边积分两边积分 dwdtabw t 得通解为得通解为代入初值条件可得特解为代入初值条件可得特解为 0btaaw twebb 11ln abw ttCb btaw tCeb 1

8、bt bCabw te 1ln abw tbtbC 11bCbtaw teebb C（3 3）由上面的结果易得如下结论：）由上面的结果易得如下结论： 0btaaw twebb batwt lim随时间的增加，趋于常数随时间的增加，趋于常数aABbD 节制饮食节制饮食调节新陈代谢调节新陈代谢可以达到理想体重可以达到理想体重 0btaaw twebb 0,aAB若若即即0.btww e 则则 lim0tw t 饮食量仅够维持新陈代谢饮食量仅够维持新陈代谢身体快速消瘦身体快速消瘦危险！危险！0,0,bC若若即即0,.dwawatwdt则则方方程程变变为为解解得得 .tbwadtdw 只吃饭只吃饭不锻

9、炼不锻炼.tw 当当时时，身体越来越胖身体越来越胖危险！危险！,DCbDBAa 记记要达到理想体重，或者限时减肥或增肥，要达到理想体重，或者限时减肥或增肥，都可设计出都可设计出a和和b的合适组合的合适组合. . 0btaaw twebb 有高为有高为1 1米的半球形容器米的半球形容器, , 水从它的水从它的底部小孔流出底部小孔流出, , 小孔横截面积为小孔横截面积为1 1平方厘米平方厘米( (如图如图). ). 开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水, , 求水从小求水从小孔流出过程中容器里水面的高度孔流出过程中容器里水面的高度h( (水面与水面与孔口中心间的距离孔口中心间的距离) )随时间

10、随时间 t 的变化规律的变化规律. .例例 5解解 由力学知识知由力学知识知, ,水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数流量系数 孔口截面孔口截面面积面积 重力重力 加速度加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 另一方面，设在微小的时间另一方面，设在微小的时间间隔间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,hdh 2,dVr dh 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)(1)和和(2)(2)，得微分方程，得微分方程: :dhhh)200(2 ,262. 0dtgh

11、 1 S,cm2dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 分离变量，得分离变量，得可分离变量可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为积分，得积分，得小小 结结一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程解法解法然后两端积分然后两端积分. .将不同的变量写在等式的两端，将不同的变量写在等式的两端，分离变量：分离变量： g y dyh x dx 二、微分方程的简单应用二、微分方程的简单应用用微分方程解决实际问题的一般步骤：用微分方程解决实际问题的一般步骤：1.1.建立微分方程和定解条件；建立微分方程和定解条件；2.2.根据方程的类型，用相应的方法求出通解，根据方程的类型，用相应的方法求出通解，并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解; ;3.3.对所得结果进行具体分析，解释它的实际对所得结果进行具体分析，解释它的实际意义意义. .如果与实际相差甚远，那么就应修改如果与实际相