2012-2017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版

1、学科教师辅导教案学员年级咼二辅导科目数学授课老师课时数2h第次课授课日期及时段2021 年月日: :历年咼考试题集锦坐标系和参数方程 2021年广东文在平面直角坐标系x y中，以原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为cos sin2，曲线C2的参数方程为x t2t为参数，那么C1与C2交y 2.2t2, 4点的直角坐标为xxOy中，曲线Ci:yt cos ,tsin ,t为参数且t 02sin ,C3：2 3cos .在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 :I丨求C2与C3交点的直角坐标；II丨假设Ci与C2相交于点A, Ci与C3相交于点B,求A

2、B最大值试题分析：I把C2与C3的方程化为直角坐标方程分别为x2y2 2y 0,x2 y2 2 3x 0 ,联立解方程固可鶴交帝坐标,U先3淀葩q楞坐标击程为£ = tr砂R,口尹Q,进一歩我出点A的板坐标担Km*切卢3柏禾尘标用 Mee同由此巧尽f 八|-删 r-4 血严一亍；碳J曲堤匚的宜強峽方程肉F + j?-為“曲樊匚的曲莓坐标芳程为d +i I1尹=、-?.id圧统g磋新方腔対&比3亘尺川=：日中口呂氏.凹t点丿的股坐丽勺口曲虫® :点占所叫绚二“3-2屈X "血;I-弓営"丰肘禺取嚴戈迺亲丸酊4.点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,x

3、 3 t2xOy吕，直线I的参数方程为(t为参数，以原点为极y占2C的极坐标方程为2 3 sin(I)写出C的直角坐标方程;P的坐标.(II) P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点试题解析：(l)由 2 3sin ，得22.3 sin ，从而有xy223y 所以 x2y .3 23(II)设 P 3，又 C(0, 3)，那么 PC,t212，故当t4、 2021新课标1在直角坐标系xOy中,直线G : x圆C2 :1，以坐标原点0时, PC 取得最小值，此时 P点的坐标为(3,0).为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系I丨求G,C2的极坐标方程II丨假设直线C3的极坐标方程为7C

4、R，设C2,C3的交点为C2MN的面积解：I丨因为x cossin，所以C1的极坐标方程为cosC2的极坐标方程为2cos4 sinII丨将 一代入 2412.2, 22 .故cos4 sin0，解得.2，即 |MN2 由于C2的半径为1,1所以 C2MN的面积为一212xOy中，曲线C1的参数方程为t为参数，a>0在以C2: p=4cos 9假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线I丨说明C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程;II丨直线C3的极坐标方程为9 =a其中a满足tan a=2.解： x acost t 均为参数

5、x 2 2 G为以0,1为圆心，a为半径的圆方程为 x y 2y 1 a 0y 1 2 a2y 1 a si ntsin22 sin2a 0 即为G的极坐标方程C2 :4cos两边同乘得 24 cos2 2cos x x y 4x4 C3:化为普通方程为2x由题意:G和C2的公共方程所在直线即为 C3一得：4x22y 1 a0 ,即为 C3 16、 2021年全国II在直角坐标系2xOy中，圆C的方程为(x 6)y225.I以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;n直线l的参数方程是tcos解：整理圆的方程得x2tsint为参数，1与C交于A,B两点，|AB| .10

6、，求I的斜率.2x212 11由 cossin2yx 可知的极坐标方程为212 cos 110 .记直线的斜率为k ,那么直线的方程为kx y 0 ,由垂径定理及点到直线距离公式知:1625102236k90即1 k 4整理得k25 nt3，那么153.3cossin为参数)，以坐标原点为7、 2021年全国山在直角坐标系xxOy中，曲线C1的参数方程为y极点，以x轴的正半轴为极轴,，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 sin( -)2 2 .I写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;II丨设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ的最小值及此时 P的直角坐标(I)方程対訐y2 J G的直角坐标

7、方1如十，+0111由融豐，m设占卩的直甬坐标力 起 丰曲st),因为q是苣线,所以.1 po £帳小信.即为卩匹u旳离/ 的震卜唱、肖且仅当$ = 24丫十手竝Z)时曲H取得屋小值：最。直占in11阳寸尸的肓坷坐标対41).yxOy中，直线I的参数方程为1 1t2_2t方程为ycos ,2sin 为参数设直线l与椭圆C相交于A, B两点,求线段AB的长.解：椭圆C的普通方程为x2xy1，将直线I的参数方程41 h2，代入x2-3t22y1，得4(1 1t)23 2(R 2 鼻1，即7t2416t 0，解得ti 0，t2号所以AB |ti t2|1679. 2021江苏理在平面直角坐

8、标系 xoy中，直线l的参数方程为t 1 t为参数，曲线C的参数2t方程为x 2 tany 2ta n为参数，试求直线I与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。2 t为参数，椭圆c的参数1它们公共点的坐标为(2,2)，(?, 1)O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.2 2cos ,(0为参数).3 2sin【简解】由题意知，M , N的平面直角坐标为(1， -3)；3因为直线i上两点的平面直角坐标分别为(2,0), (0,)；又3故直线op的平面直角坐标方程为y x .32/3N的平面直角坐标分别为(2,0), (0,)，所以直线I的平面直角坐标方程3p为线段mn的中点，从而点 P

9、【答案】直线I : 2x y 2 0 ；曲线C： y2 2x ；10. 2021福建理在平面直角坐标系中，以坐标原点直线I上两点M , N的极坐标分别为(2,0),n，圆C的参数方程为32 设P为线段MN的中点，求直线 OP的平面直角坐标方程； 判断直线I与圆C的位置关系.为 3x 3y 2. 30 ；|2 3 3 3 2 3| d又圆C的圆心坐标为(2 ,. 3 ),半径r = 2 ,圆心到直线I的距离3r ；故直线I与圆C相交211. 2021福建理直线I的参数方程为x a 2t , t为参数，圆C的参数方程为x 4COS ,为y 4ty 4sinI求直线l和圆C的普通方程；II丨假设直线

10、丨与圆C有公共点，求实数 a的取值范围【简解】I丨直线l的普通方程为2xy 2a 0.圆C的普通方程为x2y216.II丨因为直线I与圆有公共点，故圆C的圆心到直线I的距离4,解得 2 5 a 2 512. 2021新标1理曲线C :21，直线9t t为参数.2tI于点A，求| PA |的最大值与最小值.I 写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程;n过曲线C上任一点P作与I夹角为30°的直线，交【简解】.I 曲线C的参数方程为:x 2cosy 3si n为参数，直线I的普通方程为：2x y 60n在曲线 C上任意取一点 P 2cos,3sin 到I的距离为d£|4cos 3

11、sin 6 ,那么 |PA |A 2 第 5sinsin 305，其中 为锐角.且tan当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin1时，| PA |取得最小值，最小值为2cost13.2021新标2理动点 P、Q都在曲线 C:t为参数上，对应参数分别为t= a与t =2sin t1求M的轨迹的参数方程；2将M到坐标原点的距离占八、d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原【简解】依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2 a, 2sin 2 a,因此 M(cos a+ cos 2a, sin a+ sin 2 a).M 的轨迹的参数方程为 x= cos a+ c

12、os 2 a, y= sin a+ sin 2 a, ( a为参数，0< a<2 n)M点到坐标原点的距离d=Ux a0< a<2 n, M 为 PQ 的中点. + y2 =72 + 2COS o(0< a<2n )当a= n d = 0,故M的轨迹过坐标原点.14、点A的极坐标为叮2, ,直线I的极坐标方程为cos a，且点A在直线I上.441求a的值及直线I的直角坐标方程；x 1 cos2圆c的参数方程为， 为参数，试判断直线I与圆的位置关系.y sin【答案】Ia ,2，直线I : x y 20 ；n相交2 2 2 215.2021辽宁在直角坐标xOy

13、中，圆Ci : x y 4，圆C?: (x 2) y 4。(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci,C2的极坐标方程，并求出圆Ci,C2的交点坐标(用极坐标表示);(n)求出Ci与C2的公共弦的参数方程。【答案】(1)Ci： p =2, C2： p =4cos 0，交点极坐标(-1) n2,n n 丨，n Z(2)(-/"3 W yW 3 )3y y16. (2021新标1)曲线Ci的参数方程为5cost,5sin tt为参数，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sinI把Ci的参数方程化为极坐标方程；n求Ci与C2交点

14、的极坐标0,02 。 nn【答案】(1) p 2 8 pcos 0 10 psin0 + 16 = 0; (2) p2, * , 2,空Ci，直线C2的17. 2021辽宁在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆极坐标方程分别为p= 4sin 0 pcos 0 = 2羽.4(1)求Ci与C2交点的极坐标;(t R 为x= t3+ a,设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.直线PQ的参数方程为y=齢1参数)，求a, b的值.【简解】(1)圆Ci的直角坐标方程为x2+ (y- 2)2= 4,直线C2的直角坐标方程为x+ y 4 = 0.X2= 2,所以y2= 2

15、.Ci与C2交点的一个极坐标为4, 2 ,解 + y 2 =4, 得 xi= 0, x+ y 4 = 0,yi= 4,由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为 x y+ 2= 0,b= 1,解得 a= 1, b = 2.ab+1=2,由参数方程可得y= ；x ab+1,所以2 218. 2021辽宁将圆x y 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.1写出C的参数方程；2设直线l :2x y 20与C的交点为R, F2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程【简解

16、】I设(捲，比)为圆上的点,x在变换下位C上点X, y，依题意，得yX12y1丄22.由 X1y11得x2(F22 y1，即曲线C的方程为x 一4x= cost1 ，故C得参数方程为t为参数y=2s in t22 y .x1n由4解得:2x y 20x1亠 x 0，或y0 y2不妨设R(1,0), P2(0,2),那么线段RP2的中点坐标为1 (x 1)，化极坐标方程，得 2 cos2 21 1(,1),所求直线的斜率为k，于是所求直线方程为2 234sin 2cos4 sin 3，即19. (2021新标理)曲线C1的参数方程是2cos(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴3si n为极

17、轴建立坐标系，曲线c2的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列，点 A的极坐标为(2,)31求点A, B,C, D的直角坐标；2设P为G上任意一点，求|pA|pb|pc| | pd|的取值范围。【简解】1点 A, B,C,D 的直角坐标为(1,、.3),(,3,1),( 1, ,3),r.3, 1)x0 2cos 、/ 厶业2设Px°,y°；那么为参数y0 3si nt|pa|2|pb|2|pc|2|pd|24x24y2405620si n256,7620.(2021新标2理)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴

18、建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0,.2I求C的参数方程；n设点D在C 上, C在D处的切线与直线l : y .3x 2垂直，根据I中你得到的参数方程，确定D的坐标.x 1 cost【简解】IC的普通方程为(x 1)2 y2 1(0 y 1).参数方程为't为参数，0 t x为半径的上半圆。y sint.n设 D(1 cost,sin t).由I丨知 C 是以 G 1,0为圆心，1因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线 GD与t的斜率相同,tant . 3,t. 故D的直角坐标为31 cos_,sin_,即3,逅。332 2xOy中，曲线C的参数方程为x= 3cos 0,

19、y= sin 0(B为参数)，直线I的参数方程为x= a + 4t,t为参数.y= 1 t(1)假设1解a= 1,求C与I的交点坐标； 假设C上的点到I的距离的最大值为17, 求a.x2(1)曲线C的普通方程为9 + y2= 1当a= 1时，直线I的普通方程为 x+ 4y 3= 0.2:+ y2= 1,由9x+ 4y 3 = 0,21x= 3,x=看解得或y= 024y= 25从而C与的交点坐标为(3,0)， 21,；：.直线I的普通方程为x+ 4y a-4= 0,故C上的点(3cos 0, sin B)到I的距离为|3cos 0+ 4sin 0 a 4|a+ 9a + 9厂匚厂 n.d =.

20、当a>- 4时，d的最大值为17 .由题设得17 = 17,所以a= 8 ；17a + 1 a + 1当a< 4时，d的最大值为 由题设得 :=17,所以a= 16综上，a= 8或a = 16.寸17寸1722. (2021 全国n文，22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 pcos 0= 4.(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|= 16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;n设点A的极坐标为2, 3，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.42.解(1)设点P的极坐标为(p, 0( p>0),

21、点M的极坐标为(p, 0( p>0).由题设知QP|= p, |OM|= p =cos 0由|OM|OP|= 16得C2的极坐标方程 p= 4cos 0 p0).因此C2的直角坐标方程为(x 2)2+ y2= 4(xm 0)设点B的极坐标为(p, a)( p>0).由题设知|OA|= 2, p = 4cos a,于是OAB 的面积 S= ；|OA| sin/ AOB = 4cos a sin a ； = 2 sin 2 a；弋3.a=时，S取得最大值2 + 3所以OAB面积的最大值为2+ 3.x = 2+ t,23. (2021 全国川文，22)在直角坐标系xOy中，直线li的参数方程为(t为参数)，直线12的参y = ktx= 2+ m,数方程为 m(m为参