2.2.3等差数列的前n项和(定型)

1、223等差数列的前n项和一、教学目标1掌握等差数列前n项和公式；2掌握推导等差数列前 n项和公式的推导及过程中的数学思想方法；3能运用等差数列前n项和公式解决简单的实际问题 二、教学重点、难点教学重点：等差数列前 n项和公式的推导和应用教学难点：在等差数列前 n项和公式的推导过程中体会倒序相加的方法三、教学方法与手段1通过对具体问题的抽象，将实际问题化归为数学问题，让学生体会化归思想2采用由特殊到一般的教学策略 利用类比、化归、数形结合、方程的思想，层层深入， 通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路3借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动四、教学过程【师】很快乐今天可以和大家共同走

2、进?等差数列的前n项和?的学习首先请大家回顾以下几个问题：一复习回忆：等差数列/中1. 定义是什么？2通项公式是什么？3.假设 m n -p q，贝U am aap aq 二问题情境：【师】其实，早在一千多年之前，我国古代数学家张丘建在他的著作中就曾涉及到与等差数列求和有关的问题，今天我们就一起来感受一下古人的智慧，书中有这样一道题：【P】今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以此与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？-?张丘建算经?【师】哪位同学来帮我翻译一下，好，就语文课代表吧!【生】译文大致为：今天有人来给钱，第一个人给一钱，第二个人给两钱，第三个人给 三钱，以此类推，一

3、百个人总共给多少钱？【师】总钱数该如何计算呢?【生】总钱数为 1+2+3+4+98+99+100= ？【师】显然这是一个以 1为首项，1为公差的等差数列的前 100项之和三知识建构:【师】为了研究方便，我们引入符号Sn表示数列:an /的前n项和即Sn = q a?a.显然，每给定一个 n，都有唯一的一个 Sn与之对应这节课我们主要来研究一下等差数 列的前n项和所以，情景中的问题化归为：问题 1 求 00=1+2+3+4+ +98+99+100= ?的值.【板】 編0=1+2+3+4+ +98+99+100【师】究竟如何快速的求出这个和呢？【生】1 100=2 99 = 3 98 二 =50

4、51【师】很好，你的想法和高斯的想法如出一辙高斯是德国著名数学家，并有“数学王子之称.他在很小的时候就可以用刚刚这位同学的方法来解决这个问题他发现：首项与末项的和：1+ 100 = 101,第2项与倒数第2项的和：2+ 99 = 101,第3项与倒数第3项的和：3+ 98 = 101,第50项与倒数第50项的和：50+ 51 = 101,于是所求的和是：101X50= 5050.S00=1 2 3 | 川丨 100 =5050.【师】两两配成101，共50对.即总钱数为5050.高斯让数列中首尾对应项配对，目的是将不同数的求和运算化归为相同数的乘积运算，使问题大大简化我们称这种方法为首尾配对法

5、但是既然是配对，更适合于解决偶数项求和问题，对于奇数项求和呢？问题 2:计算$01 =1 11 100 101 .【板书】S =12山100 101【设计意图】以我国历史上的?张丘建算经?中的一个问题作为引入，使学生了解我国 的数学史，培养学生的数学文化，通过高斯算法计算从 1到100这连续100个自然数的和引出等差数列前n项和公式推导；【师】哪位同学来答复一下？S101 =1 2 山 100 101方法 1: S101 =(1 299 100)101 =000 101 =5151【师】哎，你很聪明啊，善于运用已有的知识来解决问题.不错，请坐！【师】这种方法相当于将需要求和的尾项101先去掉，

6、再对前100项利用首尾配对法进行求和，实现化异为同，然后再加上尾项，从而求解001 .我们可以称这种减掉“尾项的方法为减项法还有其他方法吗？【师】 方法2： S101=1 (2|1 丨 100 101)=1(2 101) (3 100(11(51 - 52)=1 103 50 =5151【师】类比于减去尾项，我们还可以通过减去首项来实现减项还有其他方法吗？【师】无论减首项还是去尾项，目的都是化奇数项为偶数项我们除了可以通过减项来实现这个目的，还可以进行添项来实现化奇为偶.如：【生】可以在后面添一项102【师】 方法 3: Soi 二(1 2 101 102) -102=(1 102)(2101

7、)(5152) _102 =5151【师】当然，也可以在前面添上一项0实现化奇为偶方法4： S101 =0 12 山 100 101=(0 101) (1 100)(|(50 51)=101 51 =5151.请大家思考：几种方法的共同点是什么？【生】先将奇数项化归为偶数项，再化不同为相同【师】还有其它方法吗？.并指出无论是将奇 如果没有，那么【师】好,如果将项数推广到一般(如果有人使用了倒序相加，那么需要板书过程到黑板上(副黑板) 数项化归为偶数项还是这种方法， 本质上都是通过配对来化异为同; 先这样！)现在我们已经可以求解 1,2这两个特殊的等差数列求和问题了，的情况呢?【设计意图】高斯算

8、法的再应用.通过类比对一个连续偶数项和的求和，引导学生对连 续奇数项和的求解问题的思考.通过学生提出的多种配对方案让学生更进一步理解首尾配对 的思想，为问题 3需要对n的奇偶的讨论埋下伏笔，也为后面倒序相加法的使用做出铺垫问题 3:计算 Sn =1 2 3 *川|) (n -1) n .【师】请同学们分组讨论，研究一下这个问题？(最多 5分钟)【板】Sn =123(n -1) n【设计意图】先让学生思考，找到矛盾的碰撞点，引导学生采用分类讨论的方法按照n的奇偶进行讨论，找出结果 .在此过程中发现n的奇偶对结果并没有影响，从而寻求更简捷 的推导方法.【师】好，时间到，哪一小组先来分享一下呢？【生

9、】对n按奇偶进行讨论，然后发现无论n是奇数还是偶数，结果都是 KD.2【师】还有其它做法吗？(1)如果有人用倒序相加法：(如果是第一次出现这个方法，应该板书过程，课件点太阳； 否那么，不板书.)【师】两种方法都很好，大家觉得哪个方法更加简洁呢？【生】黑板上这个.【师】嗯，这个方法确实不错 .你是怎么想到的呢？【生】老师讲过.【师】其实很多抽象的数学问题都可以借助于图形来辅助说明(2)如果没有人提出倒序相加，那么教师提示.)【师】既然结果与n的奇偶无关，我们能否找到更为简单的方法，不讨论奇偶，直接求解Sn呢？其实，很多抽象的数学问题都可以借助于图形来辅助说明.)【师】我们将小圆点排成三角形 .每

10、个小圆点对应1，第一行对应1，第2行对应2,以 此类推，第n行对应n.那么组成三角形的圆点个数即为sn.如何快速求出圆点的个数呢？【生】。.没有讨论n2【师】将图形复制并倒置，拼成一个平行四边形，每行共有n+1个小圆点，共n行,所以这个平行四边形就含有n(n 1)个小圆点，所以一个图形中就含有的奇偶并成功算出了 Sn.(引导学生自主找到每一个关键的量.)解：【师】整个过程共分两步：1.倒置配对；2. 拼补求同.(1)如果前面已经提出了倒序相加法：【师】这个过程的符号语言就是刚刚这位同学展示的方法！即这个方法也要分两它既避开了对项数奇是解决等差数列前 n项【师】“1.倒置配对对应“倒序 ；“2拼

11、补求同对应“相加步完成：先倒序；再相加于是，我们给它起个名字叫“倒序相加法 偶的讨论，又可以实现化异为同，使用起来比首尾配对法更加方便 和问题中非常重要的一种方法(2)如果没有人提出倒序相加:【师】那么如何用符号语言来描述这种方法呢？展示投影.)Sn =12 3 |1|1| - (n 一1) nSn =n(n -1)3 2 12Sn -(1 n厂 1.2 (n -1)川|l|(n 1)共 n 项Sn =乜9倒序相加2【师】整个过程也分 2步完成：先倒序，再相加！我们称这种方法为倒序相加法，它既避开了对项数奇偶的讨论，又可以实现化异为同，使用起来比首尾配对法更加方便是解决等差数列前n项和问题中非

12、常重要的一种方法【设计意图】强化倒序相加法的理解和运用，由特殊到一般，为等差数列求和打下根底【师】对于更一般的等差数列求和，这种方法是否仍然适用呢？请大家在练习本上尝试推导一下！(让学生来说方法的具体过程 .)【生】问题4：求& =印a2 a3 川lan=4 a2 an(1)S n=an 山川 a2 a1(2)25 % -an) - (a2 amMH (an，aja1 an = a2 and 二 二务 a1由(1)+ (2)可得 2Sn = n(a1 an)-公式1n(a1 an)【师】仍然使用倒序相加法但是相加之后每个括号中的表达式有什么关系呢？【生】相等【师】为什么呢？【生】根据上节课学习

13、的性质：假设mn = pq，那么am ap a,.【师】很好，那我们用哪一项来表示呢？【生】用a1 an来表示.它更具有代表性，首项和尾项 【师】很好！所以得到Sn二n(ai an).2【师】这就是等差数列的前 n项和公式.【板】Sn(倒序相加法)在这个公式中涉及到哪些量呢？2【生】有a1,an,n .【师】好，可是在等差数列中，往往a1和d，能否用这两个量来表示公式呢？【生】可以，只需将an =a1 (n-1)d代入公式1即可得：n(n 1) Sn =naid2【师】这个公式中涉及到哪些量呢？【生】n,ai，d .于是我们就得到了等差数列前n项和公式的两种形式，为了区别开来，我们将它们编号为

14、1和2.【师】能否避开公式1，直接推导出公式2呢？我们回到Sn最初始的表示：Sn二aia2 an.请大家从这里出发在练习本上试试看(最多2分钟.)【生】可以考虑将数列各项都用a1和d来表示.【P】Sn (a1 d)佝 2d)川 h (n - 1)d I二n印 12 *l|(n - 1)d,n(n 1)二 na1d2【师】对于12(n -1)这个表达式，我们该怎么处理呢？刚刚我们已经推导过1 2 IHKn -1) n1，运用函数的思想可以将上式看做一个特殊的函数f (n)，而这里相当于f (n -1).只需将结论中的n换成n-1，可得12 3HIII) n (二弹？ 1公式 2 得证.2【设计意

15、图】学生在前面的探究根底利用倒序相加法推导出一般等差数列的前n项和公式1,利用简单的代入实现公式 2的引出，并引导学生寻求新的方法证明公式2,从而完成本节课的中心任务在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和 根本性质.【师】接下来我们从形的角度分别对两个公式加以理解： 首先从公式1的结构特点来看，大家是否觉得似曾相识呢？【生】梯形面积公式【师】很好，上底ai，下底an,高为n .我们不妨就用梯形来表示 Sn,要注意的是：与前面不同，这里我们用第一行小圆点整体代表a1，第二行整体代表a2 第n行整体代表务，那么Sn仍然为梯形中所包含的小圆点之和 拼成平行四边形后，每一行都有

16、a! - an个小圆点，那么一个梯形所包含的小圆点个数为n(ai an)2公式1的文字语言：项数首项+末项2即：用公式1来求和就要抓项数、首项、末项这3个量.井朋咸一牛灯诅町乱一牛三山影卜【师】公式2:如何在这个梯形中出现nai呢？第一行拿出一个 ai ；第二行是a2，拿出一个q，剩下一个d ；第三行是a3拿出一个ai，剩下两个d ;以此类推，第n行拿出一 个ai，剩下n-1个d 这样.梯形就被分割成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形中产生了 n个ai，而三角形中产生了 i 2 3 川H n -i个d，即巴个d，这样，我们就2从形的角度认识了公式 2.公式2的文字语言：项数首项+项数项数-

17、i公差.2即:用公式2来求和，要抓项数、首项和公差这3个量.【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆并与前面公式的两种形式做出了照应：“补的方法对应公式 i ； “割的方法对应公式 2.从形上对两个再区 分，为下面公式的简单应用做铺垫 【师】下面请大家尝试利用公式来解决两个简单的问题！四典例分析：例i在等差数列aj中，1 ai =3,a5o =iOi,求S50；12 at =3,d,求So2【设计意图】使学生能够选择适当的公式，熟悉并强化公式的理解和应用【师】好，这位同学你来说说第i题怎么做；后面的同学你来说说问题2怎么解决？【师】好，不错！变式：对以下等差数列求和：i,3,

18、5 ii ；2 2,4,6 2n.【师】下面请大家拿出练习本做一下这道题，请一位同学到黑板上板演这里设置的超链接，看时间来定是否安排这道题课堂小练超链接：等差数列an冲，an =2n i.1求 Sn ；2求 a2 a 亠 a8.【设计意图】强化等差数列中根本量的运算 .让学生在自己动手解决问题的过程中灵活应用等差数列求和公式的两个根本形式五归纳总结 ：活泼课堂气氛，鼓励学生大胆发言，培养总结和表达能力1一种方法：倒序相加法；2 两个公式：Sna1 an ；nai 卫日4 ；2 23多种思想：由特殊到一般的思想、化归的思想、类比的思想、分类讨论的思想、 数形结合的思想.【师】好，下面我们来一起回忆一下本节课都学习了那些知识？【生】两个等差数列的前 n项和公式.【师】好，在使用时要注意两公式的区别 .对于公式1，我们是使用什么方法推导的呢？【生】倒序相加法.【师】很好，这种方法是解决等差数列求和问题中非常重要的一种方法！【师】在整个学习过程中，我们都涉及到了哪些数学思想呢？【生】类比的思想，由特殊到一般的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，函数的 思想.本节课上，我们班的很多同学都展现了数学方面的才能.希望大家能够以本节课学习的知识与方法为契机，更进一步的去研究并揭秘数列的本质，也更加热爱学习数学我相信