常数项级数的概念和性质

1、设有数列un:u1, u2, , un, , 则称表达示nnnuuuu211为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级数的一般项或通项.若级数1nnu的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的函数un = un(x), 则称级数)(1xunn为函数项级数.例例1. 下列各式均为常数项级数； 214121211nnn; 211nnn; ) 1(1111) 1(111nnn. cos2cos1coscos1nnn例例2. 下列各式均为函数项级数,) 1(1) 1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa. 1|x,sin

2、2sinsinsin1nxxxnxn.Rx无穷级数1nnu的前n项之和：,211nnkknuuuuS称为级数的部分和.若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，S称为级数的和：.1Sunn若nnSlim不存在(包括为)，则称级数1nnu发散.例例3. 讨论等比级数的敛散性.11nnar解解：等比级数的部分和为：.1)1 (1111rrarraraarSnnnkkn当公比 | r |1时，.1)1 (limlimrraSnnnn当公比 r =1时，naSnnnlimlim当公比 r = 1时，Sn=a, n为奇数0, n为偶数, 故不存在.nnSlim 综上所述，当公比| r |1时, 等比级

3、数收敛；当公比| r |1时，等比级数发散.例例4. 讨论级数的敛散性.1) 12)(12(1nnn解：解：12112121) 12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n而21121121limlimnSnnn故，即该级数收敛.21) 12)(12(11nnn收敛级数称为收敛级数的余项，记为1nnu的和S与其部分和Sn的差SSn1nmmnnuSSr显然. 0limnnr：若级数1nnu收敛，则必有. 0limnnu 设SSSunnnnlim ,1则)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS例例5. 判别的敛散性.1

4、11) 1(nnnn解解：由于, 11) 1(lim|lim1nnunnnn故该级数发散., 0limnnu例例6. 证明调和级数是发散的.11nn证证 调和级数的部分和有：， 11S，211122 SS，221212114131211224 SS328SS 2312121211817161514131211由数学归纳法，得，212kSk k=0, 1, 2, 而21limlim2kSkkk故 nnSlim不存在，即调和级数发散. 若c0为常数，则1nnu与1nncu有相同的敛散性，且.11nnnnuccu证证1nnu的部分和为，nkknuS11nncu的部分和为,11nnkknkkncSuc

5、cuS故nnnnnnSccSSlimlimlim从而同时收敛或同时发散.11nnnnuccu若收敛，与11nnnnvu其和分别为S1和S2，则级数,)(1也收敛nnnvu且.)(21111SSvuvunnnnnnn证证1)(nnnvu的部分和为：)()()()(22111nnnkkknvuvuvuvuSnnnnSSvvvuuu212121)()(故212121limlim)(limlimSSSSSSSnnnnnnnnn即 级数1)(nnnvu收敛，且.)(21111SSvuvunnnnnnn例例7. 因为等比级数收敛，与113121nnnn所以级数.31211也收敛nnn例例8. 问题(1)

6、一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定. 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对收敛级数来说，它的和将改变.)证证 设级数1nnu的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数1mkku的部分和为S k:kmmmkuuuS21)( )(212121mkmmmmuuuuuuuuumkmSS由于Sm当m固定时为一常数，所以mkmkkkSSSlimlim故 级数1nnu与级数.1有相同的敛散性mkku 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.例例9. 考

7、虑一下几个问题：(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.：若级数它的部分和数列收敛 1nnu：正项级数), , 2 , 1( 01nuunnn满足Sn有界.则称之为正项级数.例例10. 级数是否收敛？1121nn解解：该级数为正项级数，又有nn21121(n=1, 2, ),故 当n1时，有1211211211212112111nnnkknkknS即其部分和数列Sn有界，从而，级数.1211收敛nn设有正项级数,11nnnnvu 和且0 un

8、 vn (n=1, 2, ) 若1nnv收敛，则1nnu收敛.若1nnu发散，则1nnv发散.证证 记,1nkknuS,1nkknvG 0 un vn (n=1, 2, ) 0 Sn Gn1111. nnnnnnnnvGvSu发敛也无界，故级数分和的部无界，从而发散，则其部分和若1111. nnnnnnnnuSuGv收敛也有界，故级数分和的部有界，从而收敛，则其部分和若例例11. 判断级数13sin2nnnx的敛散性. (0 x0)的敛散性.解解：当p1时，P一级数为调和级数，11nn它是发散的.当0p1, 按1, 2, 22, 23, , 2n, 项对P一级数加括号，不影响其敛散性：pppp

9、ppppnpn1519181 7151413121111而12121213121ppppp211214141414141ppppppppp715141ppp15191813112181818181ppppp 于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均小于以1211pr为公比的等比级数的相应项，故此时P一级数收敛. 综上所述，当p1, P一级数收敛；当p1时，P一级数发散.;, 2 , 1(011nvvunnnnn为两个正项数，且和设或从某一项N开始). 若，则nnnvulim(1) 00为常数)解解：因为111lim22nann(即=1为常数)又11nn是调和级数，它是发散的，故原级数1221

10、nan发散.例例14. 判别级数1)cos1(nnx的敛散性，其中, x0为常数.解解：由于，212lim1cos1lim22222xnnxnnxnn)0( 02 2xx即而121nn是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数.)cos1(1收敛nnx设1nnu为正项级数，极限存在，则nnnuu1lim(1) 1 (包括= )时，级数发散；(3) = 1 时，不能由此断定级数的敛散性.例例15. 判别级数1!1nnnx的敛散性，其中，x0为常数.解解：记，则!nxunn01lim! ) 1(limlim11nxnxnxuunnnnnnn即 =01，故该级数收敛.例例16. 判别级数122nnnx

11、的敛散性，其中，x0为常数.解解：记，则22nxunn2222222)1(21) 1(lim) 1(limlimxnxnnxnxuunnnnnnn即 =x2, 由达朗贝尔判别法.当0|x|1时，1时，1, 级数发散.当 | x |=1 时，=1, 但原级数紧时为.112122nnnnnx这是 n = 2 的 P 一级数，是收敛的. 综上所述，当 0 1 时，原级数发散.设1nnu为正项级数，极限存在，则nnnulim(1) 1 (包括= )时，级数发散；(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.例例17. 判别级数的敛散性，其中, x 0 为常数.1nnnx解解：记，则nnnxu0limlim

12、limnxnxunnnnnnn即 = 0 0, a0为常数.解解：记，则nnaxuaxaxaxunnnnnnnlimlimlim即，由柯西根值判别法ax当xa时，当0 xa时，.1，级数发散ax.1，级数收敛ax当 x = a 时，=1, 但，11limlimlimnaxnnnnaxu故原级数发散. 综上所述，当 0 xa 时，原级数收敛. 当 x a时，原级数发散. 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为nnuuuuu14321) 1(或nnuuuuu) 1(4321其中，un0 (n=1, 2, )(莱布尼兹判别法) 若交错级数11) 1(nnnu满足条件(1) (2) unun

13、+1 (n=1, 2, ) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.0limnnu(级数收敛的必要条件) 例例19. 讨论级数1( 1)nnn的敛散性.解解：这是一个交错级数，nun1又，01limlimnunnn，1111nnunnu由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.例例20.判断级数判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？还是绝对收敛？ 1( 1)lnnnnn 解：此级数为交错级数，因为解：此级数为交错级数，因为 , 而而 发散发散,11lnnnn 11nn 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛. 因为因为 为交错级数为交错级数, 由莱布尼玆定理由莱布尼玆定理

14、1( 1)lnnnnn 由比较审敛法知由比较审敛法知 发散发散11( 1)1lnlnnnnnnnn 1( )10 (1)fxxx 111(1)ln(1)ln(1)nnuunnnnn 所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。 所以所以 在在 上单增，即上单增，即 单减单减 ，( )f x(1,)1lnxx 故当故当 时，时， 单减，单减，1n 1lnnn lnln1limlimlim0nxxnxnxx 11limlimlnln1nnnnnnn 0 ( )ln(0)f xxxx令令(1) 级数的绝对敛和条件收敛：若级数收敛， |1nnu是绝则称原级数 |1nn

15、u对收敛的；若级数. 1是条件收敛的则称原级数nnu但级数收敛， 1nnu发散， |1nnu若收敛， |1nnu. 1收敛必则nnu(即绝对收敛的级数必定收敛)证证： un |un|2|0nnnuuu收敛，已知 | 1nnu收敛，故 )| ( 1nnnuu从而. |)| (11收敛nnnnnnuuuu(达朗贝尔判别法) 设有级数.1nnu若存在，则|lim1nnnuu(1) 1 (包括= )时，级数发散；(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.例例21. 判别级数125sinnnn的敛散性.解：解：2215sin|nnnun由P一级数的敛散性，收敛，121nn收敛，故 |1nnu即原级数绝对收敛.例例22. 判别11nnnxx的敛散性，其中，x1为常数.解解：记nnnxxu1| )1 (| )1 (|lim|lim111nnnnnnnnxxxxuu1| , 11| , |1lim11xxxxxxnnn当|x|1时，=|x|1时，=1, 此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|1时，011lim|lim