chapt协方差和相关系数ppt课件

1、第三节第三节 协方差和相关系数协方差和相关系数一一. .协方差协方差二二. .相关系数相关系数三三. .规范化随机变量规范化随机变量)(YXD)()(2)()(YEYXEXEYDXD 上节课方差性质上节课方差性质3证明中证明中),cov(2)()(YXYDXD2.计算公式计算公式)()()(),cov(YEXEXYEYX )()(),cov(YEYXEXEYX )()()()(YEXEXYEYXEXYE )()()()()()()(YEXEXEYEYEXEXYE )()()(YEXEXYE 由数学期望性质可知：由数学期望性质可知：假设假设X X和和Y Y相互独立，那么相互独立，那么 cov(X

2、,Y)=0cov(X,Y)=0所以所以)()()(),cov(YEXEXYEYX 3.性质性质 P117 cov(X,Y)= cov(Y,X).cov( aX ,bY)= a b cov(X,Y ),其中其中a,b是常数是常数.cov(X1+X2,Y)= cov(X1 ,Y) +cov(X2,Y)cov(X,X)= D(X)由方差性质由方差性质3 3的推导过程和协方差性质可知：的推导过程和协方差性质可知：)Y,Xcov()Y(D)X(D)YX(D2 ),cov(2)()()(22YXabYDbXDabYaXD 假设假设X X和和Y Y相互独立，那么相互独立，那么 cov(X,Y)=0cov(X

3、,Y)=01.1.规范化随机变量规范化随机变量 设设X X是随机变量，称是随机变量，称为规范化随机变量为规范化随机变量. .)(*XDXEXX）（ 显然：显然： 1. E(X*)=0，D(X*)=12. 记记，）（)(*XDXEXX ，）（)(*YDYEYY 那么那么*cov(,)cov(,)()( )X YXYD XD Y (定义为相关系数定义为相关系数)设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量，当是二维随机变量，当D(X)0, D(Y)0D(X)0, D(Y)0时，时，称量称量为随机变量为随机变量X X和和Y Y的相关系数或规范协方差，记的相关系数或规范协方差，记作作XYXY，即，即)()(

4、),cov(YDXDYX)()(),cov(YDXDYXXY .定义定义 P1173.3.性质性质| XY|1| XY|1|XY|=1|XY|=1的充要条件为存在常数的充要条件为存在常数a a，b b，使得，使得PY=aX+b=1成立，即成立，即X与与Y以概率以概率1线性相关线性相关.可以用来表征可以用来表征X与与Y之间线性关系严密程度之间线性关系严密程度XY注：注：的量的量.，若若0 XY称称X X和和Y Y不相关不相关性质性质3 3 假设假设X X和和Y Y相互独立，那么相互独立，那么X X和和Y Y不相关不相关. .由由X X和和Y Y相互独立得：相互独立得：cov(X,Y)=0从而得从

5、而得，0 XY即即X和和Y不相关不相关.X和和Y不相关不相关,不一定不一定X和和Y相互独立相互独立.Z00.3 0.4 0.322kp且设且设X=sinZ, Y=cosZ, 实验证实验证X和和Y是不相关的，是不相关的，但但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的.X-1 0 10.3 0.4 0.3kp解：解：Y0 10.6 0.4kpXY 0 1kp那么那么 E(X)=0, E(Y)=0.4, E(XY)=0所以所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=00)()(),(YDXDYXCovXYX和和Y是不相关的是不相关的XY0 1-1010.3 00 0.40.3 0显然显然 010

6、, 1YPXPYXP所以所以X和和Y不是相互独立的不是相互独立的. 其它其它010 ,|1),(xxyyxf试判别试判别X和和Y能否不相关，能否相互独立能否不相关，能否相互独立. dxdyyxxfXE),()( 10 xxxdydx32 dxdyyxyfYE),()( 10 xxydydx0 dxdyyxxyfXYE),()( 10 xxxydydx0 )Y(E)X(E)XY(E)Y,Xcov( 0 )(xfX dyyxf),( 其其它它0101xdyxx 其它其它0102xx所以所以)()(),cov(YDXDYXXY 0 所以，所以，X X和和Y Y不相关不相关)(yfY dxyxf),(

7、 其它其它010101111ydxydxyy 其它其它（010)1(01)1yyyy由于由于)()(),(yfxfyxfYX 所以所以X X和和Y Y不相互独立不相互独立即即X X和和Y Y不相关，但不相关，但X X和和Y Y不相互独立不相互独立，）01 XY0),cov(2 YX）)()()(3YEXEXYE ）)()()(4YDXDYXD ）)()()(5YDXDYXD ），9)( XD，36)( YD，121 XY)(YXD 例例2.2.设设求求 ),cov(2)()()(YXYDXDYXD XYYDXDYDXD）()(2)()( 1213692369 42 求求 cov (X ,Y )

8、, cov (X ,Y ), XY XY XY0 1010 pq 00 p 1p + q = 1, 0)( XYE1 )()()(),cov(YEXEXYEYX ,pq )()(),cov(YDXDYXXY 0 1 p qX P 0 1 q pY P ,)(,)(pqXDqXE ,)(,)(pqYDpYE 120012xdxxy dy,X Y（），其其它它21201()0yyxf xy XY 的概率密度为的概率密度为求求45 1404x dx 120012xdxyy dy1403x dx 35 dxdyyxxfXE),()( dxdyyxyfYE),()(1503x dx ()()()(cov

9、 XYE XYE X E Y ）120012xdxxyy dy 12 150 dxdyyxxyfXYE),()(43551 1= =2 212304xx dx 又又 122200()12xE Xdxxy dy 23 22()()()D XE XEX 224( )35275 25 122200()12xE Ydxyy dy150125x dx 22( )()( )D YE YE Y125 223( )55 ()()( )XYcov XYD XD Y 150217525 64 假设假设 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ), 那么那么XY 例例5P121例例2假设假设 ( X

10、,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),那么那么X ,Y X ,Y 相互独相互独立立前知：前知：0假设假设 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),那么那么X ,Y X ,Y 相互独立相互独立X ,Y不相关不相关由此可知：由此可知：例例6.6.设设 ( X ,Y ) N ( 1 , 1, 4 , 4 , 0.5 ), Z = ( X ,Y ) N ( 1 , 1, 4 , 4 , 0.5 ), Z = X + Y ,X + Y ,求求 XZ XZ, 4)()(, 1)()( YDXDYEXE1/2,XY ),cov(),cov(YXXZX )()(YXDZD 3/2

11、 ),cov()(YXXD ),cov(),cov(YXXX XYYDXDYDXD)()(2)()( cov(,)() ( )XZX ZD X D Z 64 12 6 12 ()() ( )XYD XD X D Y 第四章第四章 小小 结结1. 论述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们论述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差2 .要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差布、指数分布和正态分布的数学期望与方差3. 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。作简单的概率估计。4. 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。性质与计算。5 .要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等 价性。价性。练习练习2(2)181( ),3 2xf xex ()E X 2()D X 91.1.设设X X的概率密度函数的概率密度函数那么那么(, ) (0,0,4,