D1_3数列的极限ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第三节第三节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 一一 、数列极限的定义、数列极限的定义12,nx xx按一定顺序陈列的无穷多个数数列，其中第n项nx叫做数列的普通项.记为nx.例如例如: : 1,2,3, , n1 111, ,2 3n110,1,0,1,2n 称为1.1.定义定义1:1: 数列的定义目录 上页 下页 返回 结束 以下研讨当n无限增大的过程中,数列nx的变化趋势.2.2.引例引例: : 战国哲学家庄周: “一尺之锤,日取其半,万世不竭, 每天剩下的长

2、度为231111,2222n不难看出, 当n无限增大时, 该数列12n无限接近于0.目录 上页 下页 返回 结束 2.2.定义定义2:(2:(数列极限的描画性定义数列极限的描画性定义) )nx无限地接近于一个确定的常那么称nx的极限为. a阐明阐明: :nx无限接近于a“ 指nxa无限变小,可用nxa“ 描画;且大过恣意大的目录 上页 下页 返回 结束 要使100,nxn1=便可;要使100,nxn1=便可;要使100,nxn=便可. 随着n无限变大,nx无限接近于a“ 就是说,要使nxa恣意小, 只需n充分大即可.比如对数列 ,1 111, ,2 3n其极限为0,目录 上页 下页 返回 结束

3、 3.3.定义定义3:3:N( 数列极限的 定义)设nx是一数列，a为常数. 假设0, 使得当nN时, 总有,nxa那么称nx的极限为. a记作limnnxa或nxa n 此时也称数列是收敛的,注注:2nxa的恣意性:的作用在于衡量nx与a的接近22 ,2 等同样也是恣意小的正数,因此,nxa,nxa时, 总有nxa欲使0,nx只需21n取1,N那么当nN时， 有0,nx当时，0,即n52.450,2 目录 上页 下页 返回 结束 N 与 有关, 但不独一. 不一定取最小的 N .阐明阐明: 证法二证法二:nxa313212nn52(21)n5n0,欲使,nxa只需5,n即n取5 ,N那么当N

4、n 时, 就有,nxa5.故313lim212nnn目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设设,1q证明证证:0nx0nq欲使,0nx只需,nq即lnln,nq亦即因此 , 取ln,lnNq那么当 n N 时, 就有0nq故lim0nnqln.lnnqnqlim0.nnq0, ) 1 ,0(目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时,

5、有2banx1. 收敛数列的极限独一收敛数列的极限独一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必独一.那么当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设设,limaxnn取,1,N那么当Nn 时, 即nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1那么有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.阐明阐明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如,( 1)n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列nx有界，指0, . .,Mstn都有nxM 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.假设,limaxnn且, 0a,时当Nn 有0nx)0()0(证证: 对 a 0 , 取,2a,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:假设数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(O,N那么,N那么目录 上页 下页 返回 结束 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收