力学量用算符表达

1、第第 3 章章 力学量用算符表达力学量用算符表达(a) 线性算符：线性算符：22112211)(AcAcccA单位算符单位算符I：I算符相等：算符相等：BABA(b) 算符之和算符之和: BABA)(CBACBAABBA)()(;( c ) 算符之积：算符之积： )()(BABA(d)对易子对易子ABBABA,Note: 一般来说，算符之积不满足交换律一般来说，算符之积不满足交换律恒等式)(0, , , ,JacobiBACACBCBABCACBACBACBACABCBACABACBAABBA对易子的性质对易子的性质2.基本対易关系基本対易关系),( i,zyxpxxxl i,1123ppli

2、,llli,llli2222zyxllll),( , 0,2zyxllLevi-Civita 符号符号0,xx0,pp几个重要公式几个重要公式(1) Baker-Hausdoff公式公式CABCBABAeeeeeee2121算符算符A,B 不对易，不对易，A,B=C，但，但C,A=C,B=0若若A,B对易，则对易，则ABBABAeeeee（2）设）设A,B是两个不对易的算符，是两个不对易的算符，是参数，则是参数，则, ,! 2,2BAABABBeeAA(3) 设设F(x,p)是是x,p的整函数，则的整函数，则FpFxFxFpi, ,i,(1)逆算符：逆算符：设设A1A111)(ABBA能唯一地

3、解出能唯一地解出，则可定义算符，则可定义算符A的逆算符的逆算符A-1为为说明：说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符并非所有算符都有逆算符，如投影算符(2) 若算符若算符A有逆，则有有逆，则有0, ,111AAIAAAA(3) 若算符若算符A,B的逆均存在，则有的逆均存在，则有3. 算符的变换算符的变换(2) 转置算符：转置算符： 算符算符A的转置定义为的转置定义为AAdd),(),(AAxx或或例如：例如：(3)复共轭算符和厄米共轭算符复共轭算符和厄米共轭算符算符算符A 的复共轭算符的复共轭算符A* *定义为定义为)(AA通常算符通常算符A的复共轭算符的复共轭算符A* 按如下方法

4、求解：按如下方法求解： 把算符把算符A中的中的所有量都换成其复共轭。所有量都换成其复共轭。算符算符A 的的厄米共轭算符厄米共轭算符A+ +定义为定义为 ),(),(AA性质：性质：ABBA)(4) 厄米算符厄米算符（自共轭算符（自共轭算符)AAAA ),(),(或定理定理1：在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。逆定理：逆定理：在体系的任何状态下，平均值为实数的算符是厄米算符在体系的任何状态下，平均值为实数的算符是厄米算符厄米算符的性质厄米算符的性质定理定理2 厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数定理定理3 厄米算符的属于不同本

5、征值的本征函数彼此正交厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交定理定理4 在一定条件下厄米算符的本征函数具有完备性在一定条件下厄米算符的本征函数具有完备性(5) 算符的函数算符的函数0)(!)0()(nnnxnFxF0)(!)0()(nnnAnFAF0dddd!ddnnnnxaxnaexF若函数若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛的各阶导数存在，幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符A的函数的函数F(A)为为如如)()(ddaxxexa则则平移算符平移算符),(),(),(),(),(),(),(),(0),(2211221122112211cccccccc标积的性质标积的性质思考题

6、思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？ （不一定）（不一定）思考题思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？ （不一定）（不一定）思考题思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有 确定的值确定的值？（不是）？（不是）4 不确定性关系不确定性关系,21)()(22BABA,21BABA或或思考题思考题4 若若A,B=常数，常数，A和和B能否有共同本征态？（有能否有共同本征态？（有 or没有）没有）思

7、考题思考题5 角动量分量角动量分量,i,zyxlll思考题思考题6 px和和y可否有共同本征态？（可以）可否有共同本征态？（可以）lx, ly能否有共同的本征态能否有共同的本征态?（可以）（可以）5 (l2,lz)的共同本征函数，球谐函数的共同本征函数，球谐函数在球坐标下，有在球坐标下，有mmlmlmemlmllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(mml lmllmlmlmzlmlmYYllllmlYmYlYllYl02022dsin),(),(d, 1, 1, 2 , 1 , 0),(),(),() 1(),(l称为称为轨道角量子数，轨道角量子数， m称为称为轨道磁量子数。轨道磁

8、量子数。对给定的对给定的l，角动量的平方是（，角动量的平方是（2l+1）重简并的，）重简并的，lz是非简并的是非简并的lmml) 1() 1() 1(宇称宇称 函数函数000 , , 0)(xxxxxx)0( , 1d)(d)(0000 xxxxxxxx)(d)()( ) 1 (00 xfxxxxf定义定义性质性质)(1)( )2(xaax)()( )3(xx)(d )()( )4(baxbxax0)( )5(xx)(i00d21)(xxkkexx 函数的函数的FourierFourier展开展开几个证明几个证明ABBA)(1)证明：证明：),(),(),()( ,(ABABBABAABBA)

9、(2)ABBAT)(证明：证明：),(),)()( ,)(),)(),()( ,(ABBABAABBABATABBAT)(3)111)(ABBA证明：证明：IBBBAABBAABIAAABBAABBA)()(1111111111111)(ABBA例题例题 1 设算符设算符A满足满足A2=1，证明，证明AeAsinicosi其中其中为实常数为实常数证明：证明：sinicos )!12() 1(i)!2() 1( !)i (!)i (01202, 3 , 1, 2, 00iAkAkAnAnekkkkkknnnnnnnA例题例题2 证明空间反演算符证明空间反演算符P)()(xxP是厄米算符是厄米算符

10、证明：任取波函数证明：任取波函数)( ),(xxdxxxPxxxxxxxxxxxPx)()( d)()( d)()( d)()(d)()(例题例题3 证明平移算符证明平移算符/i)(xapxeaU是幺正算符是幺正算符/00/ii!1 i!1)()(xxiapnnxnnxapxepanpaneaU则则1)()()()(aUaUaUaUxxxx),() ,(PP则则例题例题4 平面转子的能量本征值与本征态平面转子的能量本征值与本征态解：解： 平面转子的哈密顿为平面转子的哈密顿为222222IIlHz能量本征方程能量本征方程EI2222归一化的解为归一化的解为, 2, 1, 0,21)(imemm能

11、量本征值为能量本征值为ImEm222显然，除了显然，除了m = 0外，对应一个本征值外，对应一个本征值Em，有两个本征态，有两个本征态，能级二重简并。能级二重简并。例题例题5 求空间转子的本征态与本征值求空间转子的本征态与本征值IlH22例题例题6. 已知两力学量算符已知两力学量算符F和和G的对易子的对易子0,GF这意味着这意味着(1)F和和G必定是常数；必定是常数； (2)F和和G的本征值必定相同的本征值必定相同(3)F和和G的本征值必定不同；的本征值必定不同；(4)F和和G有共同本征函数有共同本征函数例题例题7. 设厄米算符设厄米算符A在任意态在任意态下的平均值为零，则下的平均值为零，则A

12、为零算符，即为零算符，即)( 0任意A证明：证明：0),(AAA，0),(2)(,(),(),(),(),()(,22AAAAAAAAAAAAAAA在态在态A下的平均值也为零，即下的平均值也为零，即即即0d2A所以所以0A例题例题8. 若若A, B是厄米算符，是厄米算符，F=A+iB，则在什么条件下，则在什么条件下F2也是厄米的也是厄米的解：解： 222ii)i)(i(BBAABABABAF222ii)(BABBAAF要使要使)(22FF则必有则必有0 BAAB或写成或写成0,BA即即A,B是反对易的是反对易的例题例题9 某波色子得一对互共轭算符某波色子得一对互共轭算符a，a+,满足对易关系满

13、足对易关系a,a+=1. 已知存在某幺正变换使得已知存在某幺正变换使得aacaac2211若若c,c+仍为一对互为共轭的波色型算符（满足波色型对易关系）仍为一对互为共轭的波色型算符（满足波色型对易关系）问四个复系数间应满足什么关系问四个复系数间应满足什么关系解：解：1 , ,212121212211aaaaaaaacc波色型对易关系波色型对易关系1,aa费米型对易关系费米型对易关系1,aa例题10. 证明： (1)yzxpzpyl是厄米算符(2)cosctgsinixl是厄米算符下列算符中哪个算符是厄米的PRxx),(,ddi ,dd22符使坐标轴反演的宇称算角的转动算符使坐标轴转动LeRni

14、exp)(例题例题1111 一维空间反射算符一维空间反射算符B定义为定义为)()(xxB)(pBp(1)证明证明)(d)(21d)(d)(pxxexxxpxxxBpBpxpipp )(其中其中为态矢为态矢在动量表象中的表示在动量表象中的表示 (2)(2)某一维系统某一维系统 )(22xVmpH通过计算找出通过计算找出B,H=0时时V(x)满足的关系满足的关系证明证明： (1)()()()( )()()()()()(,)(,21)(,2xxVxxVxBxVxxVBxxVBxpBmxHB(2)对任意波函数对任意波函数有有由由B,H=0得：得：0)()()()(xxVxxV)()()()(xxVxx

15、V即即)()(xVxV由由的任意性得的任意性得),()(lmnlnlmYrR32121021),(zsr例题例题12 设设为氢原子束缚态能量本征函数为氢原子束缚态能量本征函数( (已归一已归一) )，考虑自旋后，某态表示为，考虑自旋后，某态表示为。在该态下计算。在该态下计算(1)在薄球壳在薄球壳(r,r+dr)内找到粒子的概率。内找到粒子的概率。(2)在薄球壳在薄球壳(r,r+dr)内找到粒子且自旋沿内找到粒子且自旋沿+x的概率的概率(3)j =L+s为总角动量，计算为总角动量，计算jz在该态下的平均值。在该态下的平均值。rrRRrrrrPd)(21d)(d21dd22322212321221

16、022解：解： (1)1121 ,11212/12/1(2) Sx的两个本征态为的两个本征态为2/13212102/13212102/12/13212/12/1210321210)(21)(21 )(21)(2121),(zsrrrRRrrPd)(41dd4122322212321210232121021),(zsr(3)波函数波函数可写为可写为2/321212/21021),(zsr22/32122/21022/3212/210212/321212/21021)(3212/212102/21),(),(zzzzzSLsrjsr则则例题例题13 设设是一个小量，算符是一个小量，算符A的逆算符的

17、逆算符A-1存在，证明存在，证明11121111)(ABABAABAABA证明：证明：011112111112111)( )1 ( sideright nnnABAABABABAABABAABAA则则1)( )()()()(0101101011ABABABABABAnnnnnnnnn1)(sideleft 1BABA例题例题14 给定算符给定算符A和和B，令，令C0=B,C1=A,B,C2=A,C115. 一维情况下，宇称算符一维情况下，宇称算符P的定义为的定义为)()(xxP试证明：试证明： (a) P是厄米算符；是厄米算符； (b)P的本征值为的本征值为+1和和-1 P的属于的属于+1和和

18、-1的本征函数的本征函数+、-正交正交 (d) P是幺正算符是幺正算符证明证明： (a)(),( d)()( d)()()(d)()( d)()()d()()(),(xxPxxxPxxxxxxxxxxxPxxPx(B) 令令)()()(xxxP)()()()()(22xxPxxPxP)()(xxP则则所以所以112，( c )()()()(xxPxxP，上述第二式两边取复共轭，并右乘上述第二式两边取复共轭，并右乘+(x)，在全空间积分，在全空间积分)(),()(),(xxxxP利用利用P的厄米性可得的厄米性可得)(),()(),()(),()(),(xxxxxPxxxP所以所以0)(),(2x

19、x即即0)(),(xx(d)因为因为1,2PPP则则12PPPPPPP16. 两个质量为两个质量为m的粒子固定在一根长为的粒子固定在一根长为a的轻质刚性杆两端，整个的轻质刚性杆两端，整个刚性杆可绕中心自由转动（中心固定）。刚性杆可绕中心自由转动（中心固定）。(1)证明刚性转子的能级为证明刚性转子的能级为, 2 , 1 , 0,) 1(22nmannEn(2) 求该系统归一化的本征函数，并计算第求该系统归一化的本征函数，并计算第n个能级的简并度个能级的简并度解：解： (1)系统的哈密顿为系统的哈密顿为22maLH , 2 , 1 , 0,) 1(22lllL的本征值是因此刚性转子的能级是因此刚性

20、转子的能级是, 2 , 1 , 0,) 1(22nmannEn(2)归一化的本征函数是归一化的本征函数是),(nmY简并度为简并度为12 n17. 一个系统处于用轨道角动量一个系统处于用轨道角动量1100bYY 描述的状态，其中描述的状态，其中Y00,Y11是角动量的平方与其是角动量的平方与其z分量的共同分量的共同本征函数，本征函数，b是常数。求在此态下测量角动量是常数。求在此态下测量角动量x分量的可能值分量的可能值和相应概率。和相应概率。解：解：体系处于体系处于Y00态的概率是态的概率是 211b在在Y00态，总角动量平方为零，因此态，总角动量平方为零，因此Lx也为零（本征态）也为零（本征态

21、）体系处于体系处于Y11态的概率是态的概率是 221bb在在Y11态态Lx的可能取值是的可能取值是,0,-,0,-, , 设取这三个值的概率分别设取这三个值的概率分别是是a1, , a0, , a-1 -1。则由归一性知。则由归一性知) 1 ( 1101aaa由于由于Y11是是Lz的本征态，则的本征态，则 Lx的平均值为零，所以的平均值为零，所以)2( 011aa考虑到考虑到x,y方向的对称性，在方向的对称性，在Y11态下有态下有2)(212222zxLLL则则)3( 221212aa由由(1)(3)得得1/2 , 4/1011aaa1100bYY 因此在态因此在态下，下，Lx的可能取值为的可

22、能取值为,0, -,0, -取零的概率是取零的概率是)1 (222111122222bbbbb取取 的概率是的概率是)1 (44112222bbbb18. 在在(L2,Lz)的共同本征态的共同本征态Y20中，中，Lx的可能取值及相应概率的可能取值及相应概率解：求出解：求出Lx在在Y22,Y21,Y20,Y2-1,Y2-2中的矩阵表示中的矩阵表示求出求出Lx的本征函数的本征函数(矩阵表示矩阵表示)将将Y20用用Lx的本征函数展开的本征函数展开2lllx1,)(1(mllmYmlmlYl令令225124203212221,YYYYY则在上述完备基下，利用上述公式，可求则在上述完备基下，利用上述公式

23、，可求lx的矩阵表示为的矩阵表示为02000206000606000602000202xl其本征方程为其本征方程为5432154321202000206000606000602000202cccccccccc对应的久期方程为对应的久期方程为0542035则则lx的本征值是的本征值是2 , , 0可解得：可解得：4 , 2 , 0相应的本征函数是相应的本征函数是1101121 , 222106/20146 ,0331101121 , 2441262141 , 4111262141 , 455将将Y20用用lx的本征态展开的本征态展开554433221120aaaaaY其展开系数是其展开系数是46

24、00100) 12621 (411a000100) 11011 (212a2100100)106/201 (463a000100) 11011 (214a4600100)12621 (415a因此因此Lx的可能取值及相应概率是的可能取值及相应概率是2xl相应概率是相应概率是3/82xl相应概率是相应概率是3/80 xl相应概率是相应概率是1/419. 粒子被约束在半径为粒子被约束在半径为r的圆周上运动的圆周上运动 (a)设立路障进一步限制粒子在设立路障进一步限制粒子在0 中，中，F的平均值与量子数的平均值与量子数m无关。无关。证明：证明： 23. 力学量之间的对易关系是否具有传递性，即如力学量

25、之间的对易关系是否具有传递性，即如A和和B对易，对易，B 和和C对易，是否必有对易，是否必有A和和C对易？简单举例说明你的判断对易？简单举例说明你的判断答：答：不一定不一定例如：例如：0, , 0, , 0,22yxyxLLLLLL0, , 0, , 0, ipxpppxxxyy24. 氢原子的基态波函数是氢原子的基态波函数是arear/31)(试对坐标试对坐标x和动量和动量px求求22xxx22xxppp由此验证不确定性关系由此验证不确定性关系解：解： 0 px,cossinrx 在动量表象中求动量的涨落。在动量表象中求动量的涨落。drdrerrerpiprrp idsin)()2(1 d)

26、()2(1)(2/cos2/3/2/325.算符算符A=px，其中，其中x是位置算符，是位置算符，p是其共轭动量，问是其共轭动量，问A是否可以是否可以是某个可观测量的算符？为什么？是某个可观测量的算符？为什么？答：答： 不是。不是。 量子力学中可观测量得算符是厄米算符，显然算符量子力学中可观测量得算符是厄米算符，显然算符A不是不是 厄米的，因此不能表述某个可观测量。厄米的，因此不能表述某个可观测量。26. 何为正则量子化？何为正则量子化？答：所谓正则量子化就是把正则坐标和正则动量都看作算符，并答：所谓正则量子化就是把正则坐标和正则动量都看作算符，并 满足正则对易关系满足正则对易关系0, , 0

27、, ,jijiijjippqqipq27. 厄米算符有哪些特性？为什么描述力学量的算符必须是厄米的厄米算符有哪些特性？为什么描述力学量的算符必须是厄米的答：答： 厄米算符的特性：线性算符、本征态是完备的、本征值是实数、厄米算符的特性：线性算符、本征态是完备的、本征值是实数、 在任何态下的平均值是实数、属于不同本征值的本征函数彼此在任何态下的平均值是实数、属于不同本征值的本征函数彼此 正交。正交。 量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。验来判

28、定。“量子体系中的力学量用相应的线性厄米量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述算符来描述”具有多方面的含义：具有多方面的含义：其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的； 其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。这样做

29、的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。 其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用 其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。基于以上四点，（如对易关系）来反映出来。基于以上四点， 量子力学中的力学量用厄米算符来描述量子力学中的力学量用厄米算符来描述 dFF（ 已经归一化）来表示；已经归一化）来表示；28.如果如果是线性算符是线性算符A的一个本征值，那

30、么的一个本征值，那么2是是A2的本征值。在的本征值。在一般情况下，设一般情况下，设f()是是的多项式，证明的多项式，证明f()是是f(A)的一个本征值。的一个本征值。证明：证明： 若若A则则nnAnnnAcAf)(所以所以)()()(fccAcAfnnnnnnnnn29. 设设是归一化的波函数，是归一化的波函数，F是算符，证明在是算符，证明在态下态下0FF并求等号成立的条件并求等号成立的条件证明：证明：0d),(),(2FFFFFFF要使得等号成立，必须有要使得等号成立，必须有0F即即F是零算符。是零算符。30. 一维问题的能级简并度最大是多少？一维问题的能级简并度最大是多少？答：答：最大简并度是最大简并度是2，解答见试题解答，解答见试题解答nAnAnnAnAn0ABBAnABnnBAnnnAnBnnBnA02nBnAn0nBn设设，两边取厄米共轭得：，两边取厄米共轭得：由由得得即即所以所以即即证明：证明：31.