相似三角形经典大题.

1、相似三角形1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 A、B 不重合），过点 M 作 MN BC ，交 AC 于点 N ，在 AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h （ 1）请你用含 x 的代数式表示 h （ 2）将 AMN 沿 MN 折叠，使 AMN 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A 落在平面的点为 A1 ， A1MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为y ，当 x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（ 1）MN BC AMN ABC h x68h

2、3x4（ 2） AMN A1MN A1MN 的边 MN 上的高为 h ， 当点1落在四边形BCNM 内或 BC 边上时，Ay S A1 MN = 1 MN·h1 x·3 x3 x2 （ 0x 4 ）2248 当 A1 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4x 8) ，设 A1EF 的边 EF 上的高为 h1 ，则 h1 2h36x 62EF MN A1EF A1MN AMN ABC A EF ABC11S A1 EF2h1SABC63 x216322S ABC68 24S A1 EF2 4x1 x22 4622ySA MN SAEF3 x23 x212 x249 x212

3、x 2411828所以y9 x212 x24 (4x8)8综上所述：当 0x 4 时， y3 x2，取 x4 ， y最大68当 4x 8时， y9 x2 12 x24 ，168取 x83， y最大86当 x16 时， y 最大， y最大83AMNBEFCA12如图，抛物线经过A(4，0)，B(10)，C (0，2) 三点（1）求出抛物线的解析式；（2） P 是抛物线上一动点，过M 为顶点的三角形与OACP 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A，P，相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标； 若不存在， 请说明理由；【答案】 解：（ 1）该抛物线过点C (0， 2) ，可设该抛物

4、线的解析式为yax2bx2 将 A(4，0) ， B(1，0) 代入，16a4b2，a1，02得解得a b20.b5 .2此抛物线的解析式为 y1 x2 5 x 2 22（2）存在如图，设 P 点的横坐标为m，则 P 点的纵坐标为1 m25 m 2 ，当 1 m 4时，22AM 4 m ， PM1 m2 5 m 2 2 2又COAPMA 90°，AMAO2当OC时，PM1 APM ACO ，即 4 m 21 m25 m 2 22解得 m12，m24（舍去）， P(2，1) 当 AMOC1时， APM CAO ，即 2(4 m)1 m25 m 2 PMOA222解得 m14 ， m25

5、 （均不合题意，舍去）当 1 m 4 时， P(2，1) 类似地可求出当m4 时， P(5， 2) 当 m 1时， P( 3， 14) 综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5， 2) 或(3， 14)3如图， 已知直线 l1 : y2 x8与直线l2: y2x 16相交于点，1、2 分别交 x 轴于33C llA、 B 两点矩形 DEFG 的顶点 D、 E 分别在直线 l1、l2 上，顶点 F、 G 都在 x 轴上，且点G与点 B重合（ 1）求 ABC 的面积；（ 2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；（3）若矩形 DEFG 从原点出发， 沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长

6、度的速度平移， 设移动时间为 t (0 t 12) 秒，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围yl 2l1 yE DCA OF（ G）B x【答案】（ 1）解：由2 x 8 0，得 x4 A 点坐标为4，0 3 3由 2x 16 0，得 x 8 B 点坐标为 8，0AB8412y28，x，x55，6由33解得点的坐标为y6 Cy2x16S ABC1·16AB yC123622（ 2）解：点 D 在 l1 上且 xDxB8， yD2 88833 D 点坐标为8，8又点 E 在 l 2 上且 yEyD8， 2xE16

7、8 xE4 E 点坐标为4，8 OE8 4 4，EF8（ 3）解法一： 当 0 t3 时，如图1，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分为五边形CHFGR（ t 0时，为四边形CHFG）过C作 CMAB于M， 则R t R G B Rt C M Byl2yl2yl 2l1l1l1EEDEDDCCCRRRAOF M G B xA F O G MB xFAGOM B x（图 1）（图 2）（图 3） BGRG，tRG，2tBMCM即6 RG3Rt AFH Rt AMC， SS ABCSBRGS AFH361 t 2t18 t2 8t 223即 S4 t216 t44333G（ 8 t,0） GR=2

8、82t当 3t8时，如图 2，为梯形面积，(8,3t)81282t88033s( 4t)82433t333当 8t12 时，如图 3,为三角形面积，s1(82tt)t 2482)(128t334如图，矩形ABCD中，AD3 厘米，ABa 厘米（a3）动点M ， N同时从B点出发，分别沿BA ，BC 运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交 AN， CD于 P，Q 当点N到达终点C 时，点M也随之停止运动设运动时间为t 秒（1）若a4厘米， t1秒，则 PM_厘米；（ 2）若 a 5厘米，求时间 t ，使 PNB PAD ，并求出它们的相似比；（ 3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PM

9、BN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形 PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由DQCDQCPNPNAMB AMB【答案】解：3（1） PM，4（ 2） t 2 ，使 PNB PAD ，相似比为 3: 2（3）PM AB， CB AB， AMPABC ， AMP ABC ，PMAM即 PMat ， PMt (a t ) ，BNABtaaQM3t( a1)a(QPAD )DQ(MPBN )BM当梯形 PMBN 与梯形 PQDA的面积相等，即223t( at)3 ( a1)

10、t (at)t taa2化简得 t6a，26 at 3 ，6a 3 ，则 a 6， 3a 6 ，6a（4）3a 6 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等梯形 PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则 CNPMt (at)3t ，把 t6a 代入，解之得a23 ，所以 a 23 a6a所以，存在a ，当 a 23 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积、 梯形 PQCN 的面积相等5如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、 BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点 Q 运动的速度是Q 到达点 C

11、时， P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（ s），解答下列问题：2cm/s，当点（ 1）当 t 2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（ 2）设 BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（ 3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APR PRQ？【答案】解 ： (1) BPQ 是 等 边 三 角 形 , 当 t=2时 ,AP=2 × 1=2,BQ=2× 2=4, 所 以0BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP又.因为 B=60 , 所以 BPQ是等边三角形 .(2) 过 Q作 QE AB,垂足为 E, 由

12、 QB=2y,得 QE=2t· sin60 0=3t, 由 AP=t, 得 PB=6-t,所以 S BPQ=1 ×BP× QE=1 (6-t) ×3 t= 3 t 2+33 t ；222000(3) 因为 QRBA,所以 QRC= A=60 ， RQC= B=60 ，又因为 C=60 ,所以 QRC是等边三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-2t因.为 BE=BQ· cos60 0= 1 × 2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以 EP QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ是平行四边形 ,00所以

13、PR=EQ= 3 t, 又因为 PEQ=90, 所以 APR=PRQ=90. 因为 APR PRQ,所以 QPR= A=600, 所以 tan60 0= QR , 即 6 2t3, 所以 t= 6 ,PR3t5所以当 t=6 时 ,APR PRQ56在直角梯形 OABC 中，CB OA， COA 90o，CB 3，OA 6，BA 3 5分别以 OA、 OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点， OD 5，OE 2EB ，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线 DE 的解析式；（3）点 M

14、是（ 2）中直线 DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N使以 O、 D、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由yMBCDENOAFx（第26题图1）.7在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1= 2=45 °（ 1）如图 15-1 ，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD的数量关系和位置关系；（ 2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 15-2，其中 AO = OB AO1N图 7-1MD2B求证： AC = BD，AC BD ；（ 3）将图15-2 中的 OB

15、 拉长为AO 的 k 倍得到图 15-3，求 BD 的值OD2MACA1CN图 7-2OA1CBD2BMN图 7-3【答案】解：（ 1）AO = BD， AO BD ；（ 2）证明：如图4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E， ACO = BEOM又 AO = OB， AOC = BOE ，D2 AOC BOE AC = BEO EAB1CNF图 4又 1 = 45 °， ACO = BEO = 135° DEB = 45 ° 2 = 45 °， BE = BD， EBD = 90 ° AC = BD 延长 AC 交 DB 的延长线于F，如图4 BE AC， AFD = 90 ° AC BD（ 3）如图 5，过点 B 作 BE CA 交 DO 于 E， BEO = ACO又 BOE = AOC ， BOE AOCD MBO 2 BEACAOE又 OB = kAO，A1 COBk 由（ 2）的方法易得 BE = BD BD图 5ACN轴、 y 轴的垂线，垂足分别为M、 N，若点 P 从 O点出发，10如图，已知过A（ 2，