点差法求解中点弦问题.

1、点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。【定理 1】在椭圆 x2y21（a b 0）中，若直线 l 与椭圆相交于M、 N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦a2b 2MN的中点，弦MN所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 kMNy0b2x0a2 .x12y121,(1)a 2b

2、 2证明：设M、 N 两点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则有(1)(2) ，x2 2y221.( 2)a 2b2得 x1 2x2 2y1 2y2 20.a 2b2y2y1 y2y1b2y2y1y1y22y yyb 2x2x1 x2x1a 2 . 又 kMNx2x1, x1x22x x . k MNxa2 .【定理 2】在双曲线 x 2y 21（ a 0， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于M、N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是a 2b2弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNy0b2.x0a 2x12y121,(1)(

3、 x, y) 、a 2b 2证明：设 M、 N 两点的坐标分别为( x, y) ，则有1122x22y221.(2)a 2b 22222y2y1y2y1b 2(1)(2)x1x2y1y2，得a 2b20.x2x1x2x1a2 .又 kMNy2y1y1y22 y0y0.kMNy0b 2x2x1,x22 x0x0a2 .x1x0【定理 3】 在抛物线y2mx m0) 中，若直线 l 与抛物线相交于M、N 两点，点P(x0 , y0 )是弦 MN2 (的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MN y0m .证明：设 M、 N 两点的坐标分别为y122mx1 ,(1)( x1 ,

4、 y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有22mx2 .(2)y2(1)(2) ，得 y12y2 22m( x1 x2 ).y2y1 ( y2y1 ) 2m.x2x1又kMNy2y1 , y2y12 y0 .kMN y0m .x2x1注意：能用这个公式的条件：（ 1）直线与抛物线有两个不同的交点；（ 2）直线的斜率存在 .一、椭圆22x y 1 内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B 两点，使线段 AB 被 P 点平分，求此直线的1、过椭圆 164方程【解】法一：如图，设所求直线的方程为y 1k(x 2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2

5、16 0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1， y1)， B(x2， y2)，8 2k2 k则 x1 、x2 是 (*) 方程的两个根，x1 x24k2 1 .x1 x22 k1P 为弦 AB 的中点，24 2k，所求直线的方程24k21 .解得 k 2为 x 2y 4 0.法二：设直线与椭圆交点为A( x1， y1)， B(x2， y2)，P 为弦 AB 的中点， x1 x2 4， y1 y2 2.又 A、B 在椭圆上，x21 4y21 16， x22 4y22 16.两式相减，得(x21 x22) 4(y21y22) 0，y1 y2 x1 x21即( x1 x2)(x1 x2 ) 4(y

6、1 y2)(y1 y2 ) 0.x1x24 y1y22，11即 kAB 2. 所求直线方程为y 1 2( x 2) ，即 x 2y 4 0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3 的弦中点的轨迹方程【解答】解：设P（ x， y）， A （ x1， y1）， B（ x2， y2 ） P 为弦 AB 的中点， x1+x 2=2x， y1+y 2=2y 则+=1， +=1， 得，=3，整理得： x+y=0 由，解得 x=所求轨迹方程为：x+y=0 （ x）点 P 的轨迹方程为： x+y=0 （ x）；3、（ 2013 秋 ?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3xy

7、2=0 截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1【解答】解：设椭圆=1（ a b 0），则 a2 b2=50又设直线3x y 2=0 与椭圆交点为A （x1，y1）， B （x2， y2），弦 AB 中点（ x0， y0） x0=，代入直线方程得y0= 2=，由，得， AB 的斜率 k= ?=? =322=1， a =3b联解 ，可得 a2=75， b2=25 ，椭圆的方程为：=1 故答案为：=14、例 1（ 09 年四川） 已知椭圆x2y 21（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率 e2a 2b 2，2右准线方程为 x2 .( )求椭圆的标准方程；( )过点 F1 的

8、直线 l 与该椭圆相交于M、N两点，且 | F2M226F2N |，求直线 l 的方程 .3ec2,x2a2y21 .解：（）根据题意，得a2a2, b 1, c1 . 所求的椭圆方程为x2.2c（）椭圆的焦点为F1 ( 1,0) 、 F2 (1,0) . 设直线 l 被椭圆所截的弦MN的中点为 P( x, y) . 由 平 行 四 边 形 法 则 知 ： F2 M F2 N2F2 P226. 由 |F2M F2N |3得 ：|F2P|26 .( x 1) 2y 226.39若直线 l 的斜率不存在，则lx 轴，这时点P与F1(1,0) 重合， | F2 MF2 N | | 2F2 F1 |

9、4，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在 . 由 kMNyb2得：yy1 .y21 ( x2x). xa2x1x22代入，得 ( x 1) 2 1 ( x 2x)26 . 整理，得： 9x245x170 .29172.解之得： x，或 x33由可知， x17 不合题意 .x2 ，从而 y1 .ky1.333x 1所求的直线 l 方程为 yx1，或 yx 1.6、（ 2009 秋 ?工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点 M ，则点 M 的坐标为【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x1，y1），（ x2， y2），则，两式相减，得=0，（y1 y2）（ y1+

10、y 2） = 3（ x1 x2）（ x1+x 2），= 3×，因为直线斜率为3，=3，两交点中点在直线x=，x1 +x2=1， 3= 3×1÷（ y1 +y2），=所以中点M 坐标为（，）故答案为：（，）7、如图，在 RtDEF 中， DEF90 ,|EF | 2,|EF ED| 5，椭圆 C：x2y 21，以 E、F2a 2b 2为焦点且过点D ，点 O 为坐标原点。（）求椭圆C 的标准方程；（）若点 K 满足，问是否存在不平行于EF 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点M、N且|MK | |NK |，若存在，求出直线 l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由

11、。OK1 ED . x2y21， K (0,1)y解：（）略：3432D（）分析：|MK | |NK|，EOFx设 MN 的中点为 H ，则 KHMN ，此条件涉及到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差法”设 M (x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), H (x0 , y0 ) ，直线 l 的斜率为 k （ k0) ，则 3x124y12123x224 y2212 由得：3(x1x2 )( x1 x2 )4( y1y2 )( y1y2 )03x04y0 k0 又|MK | |NK |，则KHMN ，y012k1x02k , y03， 点 H (x0 , y0 )，从而解得

12、在椭圆内，则x02x02y021k211k1且 k043422、AB是椭圆x2y21 ab0 不垂直于x 轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为8已知a2b2椭圆的中心 .求证：直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值 .证明设 A x1 , y1, B x2 , y2 且 x1x2 ，则 x1 2y121，（1） x2 2y221，（2）a2b2a2b212 得： x12x2 2y12y2 2，a2b2y1y2b2 x1x2，kABy1y2b2 x1x2.x xa2 y yx xa2y y22111212又 kOPy1y2，kABb21，kABkOPb2（定值） .x1x2a2kOPa2二、

13、双曲线x221、过点 P(4,1)的直线 l 与双曲线 4 y 1 相交于 A、 B 两点，且 P 为 AB 的中点，求 l 的方程22解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 y12 1， x2 y22 1，两式相减得：4414(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)( y1 y2) 0， P 为 AB 中点， x1 x2 8， y1 y2 2.y2y1x2 x1 1，即所求直线l 的斜率为1， l 方程为 y 1x 4，即 x y 3 0.22y2、设 A、B 是双曲线x 1 上的两点，点N(1,2)是线段 AB 的中点， (1) 求直线 AB 的方程；(2) 如果

14、线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、 B、 C、D四点是否共圆？为什么？分析 要证明A、 B、 C、D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、 B、 C、D四点共圆，则垂直平分 AB，据圆的性质知，圆心在直线CD 上， CD 中点 M 为圆心，只要证明 |AM| |MB | |CM| |MD |即可解析 (1) 依题意，可设直线AB 方程为 y k(x 1) 2，2y2x 1，得(2 k2) x2 2k(2 k)x (2 k2 ) 2 0由2y k(x 1) 2，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)， x1 、x2 是方程 的两个不同的实根，所以2 k2 0.由韦达定理得

15、，2k(2 k).由 N(1,2)是 AB 的中点得，x1 x2x1 x222 1.2 k即 k(2 k) 2 k2.解得 k 1， 直线 AB 的方程为 y x 1.yx 1，(2) 由22 2x 30，解得 x1 3， x2 1.x2 y 1，得 x2A(3,4)， B( 1,0) CD 是线段 AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为y x3.2由 x2 y 1，得 x2 6x110.y x 3，2设 C(x3， y3)，D (x4， y4)， CD 的中点为M(x0，y0)由韦达定理，得x3 x4 6，x3 x4 11.1从而 x0 2( x3x4) 3， y0 x0 3 6.|C

16、D|2 y )2) 2( xx )224x3 x4 4 10，( x x ) ( y3 2( x3 x4)34344|CM| |MD | 210. |MA | |MB |(x0 x1)2 (y0 y1)2 210.A、 B、 C、D 四点到 M 的距离相等，所以A、B、 C、 D 四点共圆23、已知双曲线的方程为x2 y 1.2试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由分析 易判断出点B(1,1)在双曲线的外部， 不妨假定符合题意的弦存在， 那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90° .2解析 解法一：

17、设被B(1,1) 所平分的弦所在的直线方程为y k(x 1) 1，代入双曲线方程x2 y 1，2得 (k2 2)x2 2k(k 1)x k2 2k 30. 2k(k 1)2 4(k2 2)(k2 2k 3)>0.32k(k 1)解得 k<2，且 x1 x2k22 . B(1,1)是弦的中点，k(k1)3B(1,1)所平分的弦2 1， k2> .故不存在被点k22解法二：设存在被点B 平分的弦 MN，设 M(x1， y1)、N(x2，y2)2x21 y1 1，则 x1 x2 2， y1 y2 2，且22x22 y2 1.21y1 y2 得 (x1 x2)( x1 x2) 2(y

18、1 y2)( y1 y2) 0. kMNx1 x2 2，故直线 MN：y 1 2(x 1)y 1 2(x 1)，由22x2 y 1，消去 y 得， 2x 4x 3 0， 8<0.2这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在点评 由本题可以看到：如果点B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在如果点B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在因此，点B 在内部无需检验，点B 在外部必须检验关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部4、设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 22 3x4 的顶点为双曲线的右焦点，

19、抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C 的方程；（）设直线 l : y2x1与双曲线 C 交于 A, B 两点，求 AB ；（）对于直线l: ykx1 ，是否存在这样的实数k ，使直线 l 与双曲线 C 的交点A, B 关于直线l ' : y ax4( a 为常数 ) 对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由解：（）由y223x 4 得 y 22 3( x2) ，p3 ，抛物线的顶点是(2,0) ，准线是33c2 ,x321.在双曲线 C 中，23.a21 , b21.2323a1 .3c23双曲线 C 的方程为3x2y 21.y2 x1,得： x 24x20 .（）由2y

20、21.3x设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1x24, x1 x22.|AB|(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (122)(4) 24 22 10.（）假设存在这样的实数 k ，使直线 l 与双曲线 C 的交点 A, B 关于直线 l '对称，则 l '是线段 AB的垂直平分 线 .因 而 a1，从 而 l': y1x4 .设线段AB的中 点为 P( x0 , y0 ) . 由 k ABy0b2得 ：kkx0a2y03 ，ky03x0 .kx0由 y01x04 得： ky0x04k . , 由、得： x0k, y03.k由y

21、0kx01得： 3 k 21， k2 . 又由 3x 2y 21,得： (k23)x222 0.ykx 1.kx直线 l 与双曲线CA B两点，4k28( k23)0，即k26，且k23 .符合题意的k相交于 、的值存在， k2.5、在双曲线 y 2x21 的一支上有不同的三点Ax1 , y1 ， B26 ，6， C x2 , y2与焦点 F0 , 51213的距离成等差数列.证明线段的垂直平分线经过某一点,并求出该点坐标 .AC解 : 依题意有 y1 y2 2 6 1213，y12则k ACy1y212 x1x2x1x213 y1y212 x1212 13,13y2 212x2 21213,

22、x1x2 ，13故AC的中垂线方程为yy1 y213x1x2，x1x2x22即y 613x13 ,由方程知其必 经过定点 0, 25 .x1x222三、抛物线1在抛物线2中，以 (1， 1) 为中点的弦所在直线的方程是()y 8xA x 4y 3 0B x 4y 3 0C 4x y 3 0D 4x y 3 0答案 C，解析 设弦两端点为A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 y1 y2 2.A、 B 在抛物线上， y12 8x1 ， y22 8x2，两式相减得，(y1 y2)( y1 y2) 8(x1 x2)，y1y2 x1 x2 4， 直线 AB 方程为 y 1 4(x1) ，即 4x

23、y3 0.2若点 (3,1) 是抛物线y2 2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 _.p答案2解析设弦两端点1(x1，1)， 2(x2，2) ，PyPy y1 y22， p2.3过点(4,1)作抛物线y2 8x的弦，恰被Q所平分，求弦所在的直线方程QABAB答案4x y 15 0解析 解法一：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，则有 y128x1 ，y22 8x2，x1 x2 8， y1y22. ，得 (y1 y2)(y1 y2)8(x1x2) 将 代入 得 y1 y2 4(x1 x2) ，即 4y1 y2 x， k4.x12所求弦

24、 AB 所在直线方程为y 1 4(x 4)，即 4x y 15 0.4、（ 2004?福建）如图， P 是抛物线C： y=x2 上一点，直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q（）若直线l 与过点 P 的切线垂直，求线段PQ 中点 M 的轨迹方程；（）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S，与 y 轴交于点T，试求的取值范围【分析】（ 1）设 M （ x0， y0），欲求点M 的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P， Q 与中点M 的关系结合中点坐标公式求解，（ 2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐

25、标轴上的线段解决【解答】解：（）设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），M （x0 ，y0），依题意 x10， y1 0， y2 0由 y= x2， 得 y'=x 过点 P 的切线的斜率 k=x 1，直线 l 的斜率 kl= =，直线 l 的方程为 y x12=（ x x1）， 联立 消去 y，得 x2+x x12 2=0 M 是 PQ 的中点 x0= ， y0= x12（ x0 x1）2+1（ x00）， PQ 中点 M 的轨迹方程为2+1（ x0）消去 x1，得 y0=x 0 +y=x +方法二：设 P（x1， y1）、 Q（ x2， y2）、 M （ x0 ，y0），依

26、题意知x10， y1 0， y2 0由 y=x2， 得 y=x 过点 P 的切线的斜率 k 切 =x 1，直线 l 的斜率 kl= ，直线 l 的方程为 y x12=（ xx1） 方法一：联立 消去 y，得 x2+x x12 2=0 M 为 PQ 的中点， x0=， y0=x12 （ x0 x1 ）消去 x1，得 y0=x 02 +1（ x00）， PQ 中点 M 的轨迹方程为2+1（ x0）y=x +（）设直线l ： y=kx+b ，依题意k0，b0，则 T （ 0，b）分别过 P、Q 作 PP' x 轴，QQ' x 轴，垂足分别为P'、Q'，则=由 y=x2， y=kx+b 消去 x，得 y2 2（ k2+b） y+b2 =0 则 y1+y 2=2（ k2+b ）， y1y2=b2=|b|（） 2|b|=2|b|=2 y1、 y2 可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）5、例（ 05 全国文 22）设 A( x1 ,y1 ), B( x2 , y2 ) 两点在抛物线y2x 2 上， l 是 AB 的垂直平分线 .（）当且仅当x1x2 取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论 .（）当 x11, x23时，求直线 l 的方程 .解：（）x21 y ，p1 ,F (0,1) . 设线段AB 的中点为P( x0 , y0