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文档简介
1、中考数学压轴题型研究(一)动点几何问题下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例1:(北京市石景山区2010年数学期中练习)在ABC中,B=60,BA=24CM,BC=16CM,(1)求ABC的面积;ACB(2)现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,PBQ的面积是ABC的面积的一半?(3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少?点评:
2、此题关键是明确点P、Q在ABC边上的位置,有三种情况。(1)当0t6时,P、Q分别在AB、BC边上;(2)当6t8时,P、Q分别在AB延长线上和BC边上;(3)当t 8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A B C E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,APE的面积为函数y, (1)写出y与x的关系式 (2)求当y时,x的值等于多少? 点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P
3、的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.例3:(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ,在直角梯形ABCD中,B=90,DCAB,动点P从B点出发,沿梯形的边由BC D A 运动,设点P运动的路程为x ,ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ,那么ABC 的面积为( )xAOQPByA32B18C16 D10 例4:(09齐齐哈尔)直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止点沿线段运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线运动(1)直接写出两点的坐标;(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;(3)当时,求出点的坐标,并直接
4、写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标点评:本题关键是区分点P的位置:点P在OB上,点P在BA上。例5:(2009宁夏)已知:等边三角形的边长为4厘米,长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时,点与点重合,点到达点时运动终止),过点分别作边的垂线,与的其它边交于两点,线段运动的时间为秒(1)线段在运动的过程中,为何值时,四边形恰为矩形?并求出该矩形的面积;CPQBAMN(2)线段在运动的过程中,四边形的面积为,运动的时间为求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围解:(1)过点作,垂足为则,当运动到被垂直平分时,四边形是矩形,即时,CPQ
5、BAMN四边形是矩形,秒时,四边形是矩形,CPQBAMN(2)当时, 当时, 当时, 点评:此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。图(3)CcDcAcBcQcPcEc例6:(2009四川乐山)如图(15),在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒(1)求边的长;(2)当为何值时,与相互平分;(3)连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值?最大值是多少?6. 解:(1)作于点,如图(3)所示,则四边形为矩形又2分在中
6、,由勾股定理得:(2)假设与相互平分由则是平行四边形(此时在上)即解得即秒时,与相互平分(3)当在上,即时,作于,则即=当秒时,有最大值为当在上,即时,=易知随的增大而减小故当秒时,有最大值为综上,当时,有最大值为二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。AQCDBP 例7:(包头)如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多
7、少时,能够使与全等?(2)若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?解:(1)秒,厘米,厘米,点为的中点,厘米又厘米,厘米,又, ,又,则,点,点运动的时间秒,厘米/秒(2)设经过秒后点与点第一次相遇,由题意,得,解得秒点共运动了厘米,点、点在边上相遇,经过秒点与点第一次在边上相遇例8:(09济南)如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒(1)求的长 (2)当时,求的值(3)试探究:为何值时,为等腰三
8、角形解:(1)如图,过、分别作于,于,则四边形是矩形在中,在,中,由勾股定理得,(图)ADCBKH(图)ADCBGMN(2)如图,过作交于点,则四边形是平行四边形由题意知,当、运动到秒时,又即解得,ADCBMN(图)(图)ADCBMNHE(3)分三种情况讨论:当时,如图,即当时,如图,过作于解法一:由等腰三角形三线合一性质得在中,又在中,解得即当时,如图,过作于点.(图)ADCBHNMF解法一:(方法同中解法一)解得解法二:即综上所述,当、或时,为等腰三角形ABOCDPQ例9:(呼和浩特)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,AB12cm,AD8cm,BC22cm,AB为O的直径,
9、动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时,PQ与O相切?解:(1)直角梯形当时,四边形为平行四边形OAPDBQC由题意可知:,OAPDBQCHE当时,四边形为平行四边形 (2)解:设与相切于点过点作垂足为直角梯形由题意可知:为的直径,为的切线 在中,即:,7分因为在边运动的时间为秒,而(舍去)ABDCPQMN当秒时,与相切例10.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm
10、,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止已知在相同时间内,若BQ=xcm(),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;(2)当x 为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由解:(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形当点P与点N重合时,(舍去)因为BQ+CM=,此时点Q与点M不重合所以符合题意当点Q与点M重合时,此时,不符合题意故点Q与点M不能重合所以所求x的值为 (2)由(1)知,点Q 只能在点M的左侧,当点P在点N的左侧时,由,解得当x=2时四边形PQMN是平行四边形当点P在点N的右侧时,由, 解得当x=4时四边形NQMP是平行四边形所以当时,以P
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