平面图形的镶嵌

1、图片欣赏图片欣赏(一一)图片欣赏图片欣赏(二二) 图片欣赏图片欣赏(三三)平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）: 用形状和大小完全相同的一种或几种用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的图形的密铺密铺，又称平面图形的，又称平面图形的镶嵌镶嵌.学一学学一学 密铺的两个条件：密铺的两个条件： 1、全等的、全等的一种或几种平面图形；一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。、无空隙、不重叠铺成一片。 探究探究哪些图形可以密铺，哪些图形可以密

2、铺， 哪些图形不可以密铺？哪些图形不可以密铺？探究活动（一）探究活动（一）用形状、大小完全相同的用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？三角形能否密铺？ 正三角形的平面镶嵌正三角形的平面镶嵌606060606060接点处的六个接点处的六个角和为角和为360结论：结论： 形状、大小完全相同的任意形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。三角形能镶嵌成平面图形。 通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意全等的三角形都任意全等的三角形都_密铺密铺, ,2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个角的和恰好是这个三角形的内角和个角的和恰好是这个三角形的内角和的的_倍，也就

3、是它们的和为倍，也就是它们的和为_，可以可以六六六六两两360o 探究活动（二）探究活动（二）用同一种四边形可以密吗？用同一种四边形可以密吗？ 正方形的平面镶嵌正方形的平面镶嵌90结论：结论：形状、大小相同的任意四边形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形能镶嵌成平面图形通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意全等的四边形任意全等的四边形_密铺密铺. .2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个角的和恰好是这个四边形的四个内个角的和恰好是这个四边形的四个内角之角之_,_,也就是它们的和为也就是它们的和为_. _. 可以可以四四四四和和360360能密铺的图形在一

4、个拼接能密铺的图形在一个拼接点处的特点：点处的特点： 1.1.各角之和等于各角之和等于360360, , 2. 2.相等的边互相重合。相等的边互相重合。结论结论 1探究活动（三）探究活动（三） 2.2.正六边形能密铺吗？说说理由。正六边形能密铺吗？说说理由。 1.1.正五边形能密铺吗？说说理由。正五边形能密铺吗？说说理由。 3.3.还能找到能密铺的其他图形吗？还能找到能密铺的其他图形吗？做一做做一做正五边形可以密铺吗？正五边形可以密铺吗？123正六边形可以密铺吗？正六边形可以密铺吗？正六边形的平面镶嵌正六边形的平面镶嵌120 120 120 能否能否 平面平面 镶嵌镶嵌 图形图形一个顶点周一个

5、顶点周围正多边形围正多边形的个数的个数 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形643不能不能还能找到能密铺的其他正多边形吗？还能找到能密铺的其他正多边形吗？ 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是种正多边形的一个内角的倍数是否是360，在正多边形里，正三角形的每个内角都是在正多边形里，正三角形的每个内角都是60，正四边形的每个内角都是正四边形的每个内角都是90，正六边形的每，正六边形的每个内角都是个内角都是120，这三种多边形的一个内角，这三种多边形的一个内角的倍数都是的倍数都是360，

6、而其他的正多边形的每个，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是内角的倍数都不是360，所以说：在正多边，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺密铺，而其他的正多边形不可密铺 解得解得仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为要求在公共顶点上所有内角和为360360度。令正多边形度。令正多边形的边数为的边数为n,n,个数为个数为m,m,则有则有(2)180360nmn63mn44mn36mn结论结论1： 可以用同一种正多边形密铺的图形只有可

7、以用同一种正多边形密铺的图形只有正三角形，正四边形，正六边形正三角形，正四边形，正六边形.结论结论2: 用一种用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形形状、大小完全相同的三角形，四边形 也能进行平面镶嵌也能进行平面镶嵌正多边形可以密铺的条件：正多边形可以密铺的条件：每个内角都能被每个内角都能被360360o o 整除。整除。 1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ） a、三角形、三角形 b、正方形、正方形 c、任意四边形、任意四边形 d、正八边形、正八边形2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一

8、个顶点周围的正方形的个数是（正方形的个数是（ ） a、 3 b 、4 c、5 d 、63、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（个正多边形，则该正多边形的边数为（ ） a、3 b、4 c、5 d、6dba探究活动探究活动( (四四) ) - -创意空间创意空间用同一种平面图形如果用同一种平面图形如果不能密铺不能密铺, ,用两种或者两用两种或者两种以上平面图形能不能种以上平面图形能不能密铺呢密铺呢? ?设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，个

9、正三角形，n个正个正方形的角，方形的角，360903602mmnn 注意：同一个组合会有注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果不同的镶嵌效果则记作（则记作（3，3，3，4，4）设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，个正三角形，n个正个正六边形的角六边形的角.4260120360,12mmmnnn （3，3， 3， 3，6）（3，3，6，6）1201206060图案图案（）图案图案（）60601206060每个顶点处正六边形每个顶点处正六边形1 1个，正三角形个，正三角形4 4个个. .资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给

10、出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。历史资料：历史资料：问题探究问题探究4： 如果允许用三种正多边形如果允许用三种正多边形组合起来镶嵌（讨论顶点与顶组合起来镶嵌（讨论顶点与顶点重合的情况），由哪几种正点重合的情况），由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个多边形组合起来能镶嵌成一个平面？平面？资料资料2：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。发现二发现二: 用一种用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形形状、大小完全相同的三角形，四边形也能进行也能进行 平面镶嵌平面镶嵌发现一发现一: 同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三