随机变时滞模糊神经网络的均方渐近稳定性

1、第34卷/第4期/2010年7月河北师范大学学报/自然科学版/JOURNALOFHEBEINORMALUNIVERSITY/NaturalScienceEdition/Vol.34No.4Jul.2010随机变时滞、均方稳定利用随机过程、算子、模型可参考随机变时滞模糊神经网络的均方渐近稳定性赵 冬1, 陈立平2, 吴然超2(1.淮北职业技术学院基础部,安徽淮北 235000;2.安徽大学数学科学学院,安徽合肥 230039)摘要:基于线性矩阵不等式、Lyapunov Krasovskill泛函和随机分析方法,研究了一类具有随机变时滞模糊神经网络的均方渐近稳定性,得到了均方渐近稳定性的充分条件.

2、用数值例子说明了结果的有效性.关键词:均方渐近稳定;随机;变时滞;模糊细胞神经网络中图分类号:O175.14 文献标识码:A 文章编号:1000 5854(2010)04 0389 05细胞神经网络(CNNs)自从1988年由Chua与Yang提出以来,在理论和应用上得到了广泛地研究.它在图像处理、模式识别、信号处理、联想记忆等方面有重要应用1.1996年,Yang等2把模糊逻辑理论和传统的细胞神经网络结合起来,提出了另一类基本细胞神经网络 模糊细胞神经网络(FCNN).近年来对具有时滞的模糊神经网络稳定性研究受到学者们的广泛关注,并取得了一些好的成果,这其中包括常时滞、变时滞、分布时滞及扩散

3、时滞3 6.然而,这些结果都是针对确定性系统的.正如Haykin7指出,在真实的神经网络系统中,神经信号传输是一个受随机因素影响充满噪音的过程.在这种噪音的影响下,系统的轨道将会变成一个随机过程.所以在人工神经网络的实现过程中,就必须考虑这种随机过程.近年来,学者们对随机神经网络稳定性做了大量研究,见文献8及其所附文献.据了解,国内外有关随机模糊神经网络稳定性研究的文献不多.文献9利用Lyapunov函数和半鞅收敛定理研究了常时滞随机模糊神经网络的均方渐近稳定性.然而,到目前为止,关于随机变时滞模糊神经网络均方渐近稳定性方面的研究很少.正因为如此,本文中,笔者利用线性矩阵不等式(LMI)、Ly

4、apunov Krasovskill泛函和随机分析的方法,研究了一类具有随机变时滞模糊细胞神经网络的均方渐近稳定性,得到了判断这类神经网络均方渐近稳定性的充分条件,并且通过一个数值例子说明了所得结果的有效性.1 模型及预备知识考虑下述具有变时滞随机模糊细胞神经网络:dxi(t)=-cixi(t)+nj=1nj=1 aijfj(xj(t)+nnj=1! ijfj(xj(t- j(t)+!Tijuj(t)+j=1nn ijfj(xj(t(t- j(t)+Hijuj(t)+Iidt+j=1j=1 !ij(t,xj(t),xj(t- j(t)dj(t),(1) xi(t)=#i(t),- #t#0,i

5、1,2,%,n.其中:ci>0为自反馈项, 模糊向后最大模板、模糊向前最小模ij, ij,Tij和Hij分别代表模糊向后最小模板、板、模糊向前最大模板;!和代表模糊&and和&or算子;xi(t),ui(t)和Ii分别代表第i个神经元状态变量、输入和偏倚.变时滞 j(t)满足0# j(t)# .fj()表示神经元激励函数,!()=(!ij()n)n为扩散系数矩阵.(t)=1(t),2(t),%,n(t)为定义在具有自然滤波Ftt>0且完备的概率空间(,Ft,P)上的n维Brownian运动.系统(1)的初值函数#LF0(- ,0,R),这里LF0(- ,0,R)表示

6、所有F0可测且满足2n2nTF|0- #(s)|ds<+的随机过程#(s),- #s#0.E(表示相应于概率测度P数学期收稿日期:2009 08 18;修回日期:2009 12 15基金项目:安徽省自然科学基金(070416225);安徽省高校省级自然科学基金(KJ2007A003): ),(390(望.系统(1)有唯一解记为x(t)=(x1(t),x2(t),%,xn(t)T,t>0.定义C=C(- ,0,Rn)为所有从- ,0上到Rn连续函数组成的全体,对 x(t)=(x1(t),x2(t),%,xn(t)TRn,定义范数,x(t),=(i=1 n|xi(t)|2)1/2.设C

7、2,1(- ,+)Rn,R+)表示在- ,+)Rn上关于x2次可微,关于t1次可微的所有非负函数V(t,x)的全体,对任意V(t,x)C2,1(- ,+)Rn,R+)定义如下算子:LV(t,x)=Vt(t,x)+Vx(t,x)-cixi(t)+ ijfj(xj(t- j(t)+j=1其中Vt(t,x)=Vxx=nj=1 aijfj(xj(t)+nj=1! ijfj(xj(t- j(t)+(2)n,Vx(t,x)=2,!=!(t,x(t),x(t- (t).i yjn)ntrace!TVxx!,2,%, x1 x2 xn在本文中,假设下列条件成立:H1)激励函数fj()满足Lipschitz条件

8、,即 x1,x2Rn有|fj(x1)-fj(x2)|#Lj|x1-x2|,Lj>0,jN.(t,x(t),x(t- (t)R+)R)RRTnnn)n(3)H2)!(t,x(t),x(t- (t):R+)Rn)RnRn)n满足局部Lipschitz条件和线性增长条件,且对,存在正对角阵 P=diag(p1,p2,%,pn),D=diang(d1,d2,%,dn),使得 trace!(t,x(t),x(t- (t)(P+d0L)!(t,x(t),x(t- (t)#xT(t)Ex(t)+xT(t- (t)Fx(t- (t).其中 L=diag(Li),d0=%H3)=*i=1(4) di.PA

9、00<0,(5)n2DA+D(| |+| |)+R*&其中%=-2PC+P(| |+| |)+E-2LDC,&=(D+P)(| |+| |)+L-1FL-1-(1- )R,C=diag(ci),A=(aij)n)n,| |=(| ij|)n)n,| |=(| ij|)n)n.在假设H1)成立下,则系统(1)对应的确定性系统dxi=-cixi(t)+nj=1j=1 aijfj(xj(t)+nnj=1! ijfj(xj(t- j(t)+!Tijuj(t)+j=1nn ijfj(xj(t(t- j(t)+Hijuj(t)+Iidt,j=1(6) xi(t)=#i(t),- #t

10、#0,i1,2,%,n,*T有唯一的平衡点x*=(x*1,x2,%,xn).证明与文献10类似,在此省略.*H4)!ij(t,x,x)=0.引理12 设x(t)=(x1(t),x2(t),%,xn(t)T和y(t)=(y1(t),y2(t),%,yn(t)T是系统(1)的2个状态变量,则有|j! ijfj(xj)-! ijfj(yj)|#=1j=1|j ijfj(xj)-j ijfj(yj)|#=1=12 主要结论下面给出一个使系统(1)均方渐近稳定的充分条件.14nnnnj=1 nn| ij,fj(xj)-fj(yj)|,| ij,fj(xj)-fj(yj)|.j=1(391(证 作变换yi

11、=xi-x*,则系统(1)变为dyi(t)=-ciyi(t)+nj=1 naijgj(yj(t)+j=! ijgj(yj(t- j(t)+1j=1nj=1 ijgj(yj(t- j(t)dt+ !ij(t,yj(t),yj(t-nj(t)dj(t).(7)*其中y(t)=(y1(t),y2(t),%,yn(t)T,gj(yj(t)=fj(yj(t)+x*j)-fj(xj)且gj(0)=0.因此,研究系统(1)平衡点的稳定性只要研究系统(7)零点的稳定性.定义如下Lyapunov泛函V=V1+V2+V3,其中V1=i=1 npiy2i(t),V2=2 dii=1nN0yi(t)gi(s)ds,V

12、3=ng(y(s)Rg(y(s)ds.tT- 结合H1),H2),H3)和引理1有如下列不等式:LV1(y(t)=2 piyi(t)-ciyi(t)+i=1nj=1j=1n aijgj(yj(t)+! ijgj(yj(t- j(t)+ ijgj(yj(t- j(t)+j=1ntrace!T(t,y(t),y(t- (t)P!(t,y(t),y(t- (t)#2 pi-i=1nciy2i(t)+j=1 aijyj(t)gj(yj(t)+nj=1 (|n ij|+| ij|)|yi(t)|gj(yj(t- j(t)|+nntrace!T(t,y(t),y(t- (t)P!(t,y(t),y(t-

13、(t)#i=1n pi- (|2ciy2i(t)+j=1 2aijyi(t)gj(yj(t)+ (|j=12 ij|+| ij|)|yi(t)+j=1 ij|+| ij|)|gj(yj(t- j(t)+2trace!T(t,y(t),y(t- (t)P!(t,y(t),y(t- (t)=yT(t)(-2PC+P(| |+| |)y(t)+yT(t)2PAg(y(t)+gT(y(t- (t)P(| |+| |)g(y(t- (t)+trace!(t,y(t),y(t- (t)P!(t,y(t),y(t- (t),LV2(y(t)=2 digi(yi(t)-ciyi(t)+i=1nnnj=1T(8

14、) aijgj(yj(t)+n! ijgj(yj(t- j(t)+ ijgj(yj(t- j(t)+j=1j=1trace!T(t,y(t),y(t- (t)P!(t,y(t),y(t- (t)#2 digi(yi(t)-ciyi(t)+i=1nnj=1 aijgj(yj(t)+ni=1j=1 2di(|Tnn ij|+| ij|)|gi(yi(t)|gj(yj(t- j(t)|)+ntrace!(t,y(t),y(t- (t)d0L!(t,y(t),y(t- (t)#2 digi(yi(t)+i=1ni=1j=1j=1 aijgj(yj(t)+g2i(yi(t)+i=1j=1 di(|n i

15、j|+| ij|)| di(|nn2 ij|+| ij|)|gi(yi(t- j(t)+trace!T(t,y(t),y(t- (t)d0L!(t,y(t),y(t- (t)=gT(y(t)(-2DC)y(t)+gT(y(t)(2DA+D(| |+| |)g(y(t)+Tt)|(392(trace!T(t,y(t),y(t- (t)d0L!(t,y(t),y(t- (t).LV3(y(t)=gT(y(t)RG(y(t)-(1- .(t)gT(y(t- (t)Rg(y(t- (t).由(8)-(10),再根据H2)有LV(y(t)#yT(t)(-2PC+P(| |+| |)+E-2LDC)y(t

16、)+yT(t)2PAg(y(t)+gT(y(t)(2DA+D(| |+| |)+R)g(y(t)+gT(y(t- (t)(D+P)(| |+| |)+LFL-1-(1- )Rg(y(t- (t).LV(y(t)#(#0.(11)(12)(9)(10)即其中=yT(t),gT(y(t),gT(y(t- (t).这意味着系统(1)的平衡点是均方渐近稳定的.如果令定理1中L=I,则有下面的推论.推论1 若H1),H2.):!(t,x(t),x(t- (t):R+)Rn)RnRn)n满足局部Lipschitz条件和线性增长条件,且对 (t,x(t),x(t- (t)R+)Rn)RnRn)n,存在对角阵

17、P=diag(p1,p2,%,pn),D=diag(d1,d2,%,dn),E,F>0,使得trace!T(t,x(t),x(t- i(t)(P+d0I)!(t,x(t),x(t- (t)#yT(t)Ex(t)+yT(t- (t)Fy(t- (t).其中 L=I,d0=i=1(13) di.(14)n%PA0 H3.)=*2DA+D(| |+| |)+R0<0.*&其中%=-2PC+P(| |+| |)+E-2DC,&=(D+P)(| |+| |)+F-(1- )R.C=diag(ci),A=(aij)n)n,| |=(| ij|)n)n,| |=(| ij|)n)

18、n,则系统(1)的平衡点是均方渐近稳定的.3 数值例子考虑下述二维的变时滞随机模糊细胞神经网络:dxi=-cixi(t)+2j=12j=1 aijfj(xj(t)+22j=1! ijfj(xj(t- j(t)+!Tijuj(t)+j=122 ijfj(xj(t- j(t)+Hijuj(t)+Iidt+j=1j=1 !ij(t,xj(t),xj(t-,A=0.4 0.30.7 0. j(t)dj(t),i=1,2. -44 4 4(15)这里 C=, =,-4 44 4g1(x)=g2(x)=0.5(|x+1|-|x-1|),!11(x1(t),x1(t- 1(t)=0.1x1(t).0 !12

19、(x2(t),x2(t- 2(t)=0.1x2(t- 2(t),!21(x1(t),x1(t- 1(t)=0.3x1(t),!22(x1(t),x2(t- 2(t)=0.3x2(t- 2(t), 1(t)= 2(t)=0.3cost,5 0, =显然,Li=1, =0.3,设E=F=I.H3),可以得到4.402606.90180145.61257.9263,D=,R=.04.402606.90187.9263145.6125通过简单的计算可知P,D,E,F满足H2).由定理1知,(15)的平衡点是均方渐近稳定的.4 结 论 P=本文中,笔者利用线性矩阵不等式(LMI),Lyapunov Kr

20、asovskill泛函和It 微分公式,研究了均方意义下的一类具有变时滞随机模糊细胞神经网络的稳定性,给出了均方渐近稳定性的判断准则,理论和数值例子,(393(参考文献:1 CHUALO,YANGL.CellularNeuralNetwork:TheoryandApplicationsJ.IEEETransCircuitsSyst,1998,35(10):12571290.2 YANGT,YANGLB.TheGlobalStabilityofFuzzyCelluralNeuralNetworkJ.IEEETransCircSystI,1996,43:880 883.3 LIUYQ,TANGWS

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