(九)微分方程

1、(九)微分方程【说明】下面凡题号上标有*的题目不作为复习重点。一、求下列微分方程的通解：1 解：，两边积分得，则 为所求通解。2解：，两边积分得，则 为所求通解。 3解：，两边积分得，则 为所求的通解。 4 解：化标准形式：，。则所求通解为 5 解：，；则 6 解：，；则 7解：化标准形式：，。则所求通解为 8*解：(1)特征方程，。对应齐次方程的通解为 (2) 由于自由项中，不是特征方程的根，因此设为原方程的一个解并代入原方程求出，。则 9解：齐次方程的特征方程为，。齐次方程的通解为 因为是特征方程的单根，令原方程的并代入原方程得，。所以原方程的通解10*解：(1)特征方程，。对应齐次方程的

2、通解为 (2)由于自由项中，是特征方程的根，因此设为原方程的一个解并代入原方程求出，。则原方程的通解为 11解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由项中不是特征方程的根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得。所以原方程的通解为。 12* 解：(1)特征方程，。对应齐次方程的通解为 (2)由于自由项中，是特征方程的根，因此设为原方程的一个解并代入原方程求出，。则原方程的通解为。 13解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由项中不是特征方程的根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得。所以原方程的通解为。 14 解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由

3、项中不是特征方程的根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得 。所以原方程的通解为。 15*解：(1)特征方程，。对应齐次方程的通解为(2)自由项分成两部分：和。(3)对于方程，不是特征方程的根，因此设为原方程的一个解并代入原方程求出，则。(4) )对于方程，因不是特征方程的根，因此设为原方程的一个解并代入原方程求出，；则。故。因此原方程的通解为。 16解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由项中是特征方程的单根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得，。所以原方程的通解为。 二、求下列微分方程的特解：1；解：，。则通解为 由，代入得，故为所求特解。 2；解：化标准形式：，。则通解

4、为 由，代入得，故为所求特解。3； 解：化标准形式：，。则所求通解为 由，代入得，故为所求特解。 4； ，解：齐次方程的特征方程为，；齐次方程的通解为 因为不是特征方程的根，令原方程的特解为并代入原方程得，所以原方程的通解 (3) 将，代入通解及其一阶导数求得，故所求特解为5； ，解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由项中不是特征方程的根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得。所以原方程的通解为。(3) 将，代入通解及其一阶导数求得，故所求特解为6； ，解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由项中不是特征方程的根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得。所以原方

5、程的通解为。(3) 将，代入通解及其一阶导数求得，故所求特解为7； ，解：(1)特征方程为，。齐次方程的通解为 (2)因为自由项中不是特征方程的根，故设为原方程的一个解，并代入原方程得。所以原方程的通解为。(3) 将，代入通解及其一阶导数求得，故所求特解为8*； ，解： (1)特征方程，。对应齐次方程的通解为(2)由于自由项中，不是特征方程的根，因此设为原方程的一个解并代入原方程求出，。则原方程的通解为。 (2)将，代入通解及其一阶导数求得，。故所求特解为三、几何题1一曲线通过点，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求该曲线的方程。解：设该曲线的方程为，为其上任意一点，该点处的切线斜率为

6、，过该点的切线方程为。令，解得切线的纵截距，由题意，则得该曲线满足的微分方程：以及初值条件。，解得，代入，即得为所求的曲线方程。2一曲线通过原点，并且它在处的切线斜率等于，求该曲线的方程。解：由题意，；由，得，故所求曲线的方程为。补充题：1 解：(1)齐次方程的特征方程为，齐次方程的通解为 (2)因为是特征方程的单根，令原方程的特解并代入原方程得，则，所以原方程的通解为2；解：方程变形为标准形式，则通解为由得 所求特解为3； ，解：特征方程为，通解为 则 由，得，故所求特解为4求 满足的解。解：，通解 由得所求特解为5已知，求解：两边求导，此为关于未知函数的一阶线性微分方程。通解为从已知等式可得，所以从而。 6求的通解解：(1)特征方程，。所以齐次方程的通解为。(2)因自