江苏省南通市高考数学模拟试卷五含答案

1、2016年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题第I卷(必做题，共160分)一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.8 589 012246（第3题）5. 1For I From 1 To 5 Step 2S S+IPrint SEnd For（第4题）1 .设集合 A=2,5, B =x1 <x <3,则 ACB= .2 .设awR,复数a2i- (i是虚数单位)是纯虚数，则 a的值为 . 1 2i3 .如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为 .4 .执行如图所示的伪代码,则输出的结果的集合为 .5 .甲、乙两人下棋，结果是一人获

2、胜或下成和棋.已知甲不输的概率为0.8,乙不输的概率为0.7,则两人下成和棋的概率为.；2 一 _ 、一x _4x +6 x > 0一 . .6 .设函数f(x)=V,则不等式f(x) A f(1)的解集是 .x 6, x ：:0,1 17 .已知圆枉的底面半径为 r ,图为h ,体积为2,表面积为12,则-+-= . r h8 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A为双曲线x2-y2 =4的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，MBC是等边三角形，则 MBC的面积为.TT9 .若 tan。+-)=2,则 sin2a 的值为 .10 .已知定义在集合 A上的函数f (x) =log2(x

3、 1)+logz(2x+1),其值域为(q/】，则A= .11 .数列%中& =0 , a4 =一7,对VnW N”,当n22时，(1 an)2 =(1a0中)(1 一4)，则数列 的前n项的和为 .12 .设实数 a >1,b >1,则"a<b"是"lnaln b>ab ”成立的 条件.(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空). B * BA BC13 .在 MBC中，B=45, M,N分别为边AC,AB的中点，且BM AC =2CN AB ,则 义+生 的值为 BC BA.14 .在平面直

4、角坐标 xoy中，设圆M的半径为1,圆心在直线 2x-y-4=0上，若圆M上不存在点N,使一 1 .NO= NA,其中A (0, 3),则圆心M横坐标的取值范围.2二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)MBC中，角A, B, C所对应的边分别为 a, b, c,面积为S.(1)若AB AC =2加,求A的值；(2)若 tanA : tanB : tanC = 1 ： 2 ： 3,且 c =1,求 b.16 .（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面 ABCD是平行四边形，PA_L平面ABCD, M是

5、AD中点，N 是PC中点.（1）求证：MN/面 PAB;（2）若平面PMC，平面PAD，求证：CM _LAD .B17 .（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m,渠深为2m.（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等 腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（

6、不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽.22x y18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 二+多=1（a AbA0）的右顶点与上顶点分别 a b为A,B ,椭圆的离心率为 近,且过点（1昱）.2 2（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于P,Q两点，直线BQ,AP的斜率互为相反数.求证：直线l的斜率为定值;若点P在第一象限，设MBP与AABQ的面积分别为S1S ,求息的最大值.一，I L-、4，1.一 ，一 一乙一 一、，2，、2.，一19.(本小题满分 16分)已知函数 f (x) =mx _(m+2)ln x_

7、 , g(x) =x +mx + 1 , mwR.x(1)当 m<0 时，求f (x)的单调区间；若存在 x1,x2 1,2,使得 f(x1)-gM)供成立,求m的取值范围;/ 0、；几ln x 1(2)设 h(x) =- x e数).的导函数h(x),当m=1时，求证:g(x)-1h7x)<1+e-(其中e是自然对数的底20.(本小题满分16分)若数列an满足条件：存在正整数k ,使得+an& =2an对一切n七N ,n>k都成立，则称数列a(1)已知数列(2)若 an =2n值时数列ann为k级等差数列.an为2级等差数列，且前四+sin 0n(co 为常数)，且

8、4的前3 n项和S3n ；项分别为2,0,4,3 ,求 a8 +a9 的值;是3级等差数列，求6所有可能值的集合，并求©取最小正(3)若an既是2级等差数列，an也是3级等差数列，证明：an是等差数列.第R卷(附加题，共40分)'乍答 .若多21 .【选做题】本题包括 A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内彳 做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.(选修41:几何证明选讲)如图，/ PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T,与射线AQ相交于两点B、C .求证：BT平分/OBA.P 丁 A(第21题A)2x = -2

9、1 t22 y - -4 t2二 7 21"1 01B.(选修4 2 :矩阵与变换)设二阶矩阵A, B满足A =卜4 , BA = (0 1，求b.C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C : Psin26 =2acose(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为参数)，l与C分别交于M, N .(I)写出C的平面直角坐标系方程和 l的普通方程;(n)若|pmUmn|,|pn|成等比数列，求a的值.D.（选修4 5:不等式选讲）设x, y均为正数，且 x>y,求证：2x+-2 12>2y+

10、3.x - 2xy - y【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .（本小题满分10分）如图，已知三棱柱 ABCAiBiCi的侧棱与底面垂直，AA = AB=AC=1, ABXAC, M、N分别是CCi、BC的中点，点P在直线AiBi上，且满足 AP=LAB1 （九WR）.（1）求异面直线PN , AM所成的角；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°,试确定点P的位置.3H V C(第22题)23 .(本小题满分 10 分)设集合 M =1,0,1,集合 An =(xi,x2,x34l|,

11、 xn) |为 w M ,i =1,2,|,n, 集合An中满足条件"1 W|xi|+|x2|+|M + |xn|Wm”的元素个数记为Sm.2. 4(1)求S2和S2的值；(2)当 m <n时，求证：Sm c3n* +2m+ -2n* .2016年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题第I卷(必做题，共160分)、填空题1 . fe 2. -4.3. 91 . 4. 2,5,10.5. 1 . 6. (_3,1)U(3,收).7. 3. 8.12739. 3 .10.511. n2n +1. 12.充要.13. 2金.14.12(-°0,0) U (一,收)

12、.【解析】.设N(x,y),由5八1NO=NA 得:24(x2+y2) =x2+(y-3)2,化简彳导:x2+(y+1)2 = 4 ,表示为以B(0,1)为圆心，2为半径的圆，由题意得圆 B与圆 M(a,2a4)无交点，即a2+(2a4+1)2>(2+1)2或 a2+(2a 4+1)2 c (21)2,解得圆心12M横坐标的取值氾围为：(.二,0)U(一,F .5二、解答题,、，-r , 一一 115. (1)由题意知， AB AC =bccos A, S =-bcsin A ,2所以 bccosA = J3bcsin A ,即 cos A = J3sin A ,二 tan A =,3因

13、为A为三角形内角，所以 A=E；6=3m ,由题意知，m>0 .(2)设 tan A =m, tanB=2m, tanCtan A tan B 因为 tanC 二 一tan(A B)：1 -tan A tan B则3m=一事,解得 m =1 ,则 tan B =2 , tanC =3 ,从而 sin B =_255sinC 二避1012分所以AC =9AB sinC14分16. (1)取PB中点E ,连 EA , EN ,在 APBC 中，EN/BC 且 ENAD/ BC , AD =BC 得 EN 4 AM ,四边形ENMA是平行四边形,MN / 面 PAB得 MN AE , MN 迎

14、面 PAB , AE 匚面 PAB ,(2)过点A作PM的垂线，垂足为 H ,，,面 PMC，面 PAD ,面 PMC P1 面 PAD =PM , AH _LPM , AH。面 PAD< AH _|_面 PMC , 8分CM U 面 PMC , AH _L CM ,: PA _L平面 ABCD ,10分CM U 平面 ABCD , p PA_L CM ,PAAH =A, PA、AH u 面 PAD, CM _1面 PAD , 12分: AD 二面 PAD,.CM ±AD . 14分17.建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为x2=2py(pA0 ),由已知点P(2,2)在

15、抛物线上，得1 2p =1 ,所以抛物线的方程为 yx2 . 2分2(1)为了使填入的士最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图 1, 设点A't, 1t2 j(0 <t <2则此时梯形 APQB的面积y“112132cS(t >-(2t +4 V 2 t l= t -t +2t+4 , 222 -3 2一 3 2m2S'(t =t -2t +2 ,令 S'(t)=_t _2t+2=0 ,得 t=_ ,223当 t 10, 2 ,3当 t 12, 2 3,S'(t)>0,，S'(t)<0,S(t )单调递增,S(t )单调递减,

16、所以当t=|时，S(t)有最大值可使填土的土方量最少128 ,改挖后的水渠的底宽为4 m273(2)为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图2 1 2设切点 M t, -t (t>0 ),22,则函数在点M处的切线方程为y -t2 =t(x -t ),210分别令丫=04=2得八化0 iBj- +-, 2 , 22 t(图2)所以梯形 OABC 的面积 S(t )=1 村 +2 i,2=t +->25/2, 2 tt当且仅当t =J2时，等号成立，一 2 一 一 ，. 一此时OA =匚.所以设计改挖后的水渠的底宽为72 m时，可使挖土的土方量最少.214分c18.

17、(1)由题意，离心率e= 一 a-23 ,所以 2c =3a ,所以 a2 =4b2,故椭圆的方程为。3 。x +4y =4b ,将点(1,)代入，求得 b =1 ,22所以椭圆的标准方程为 人+ y2 =1;4(2)设直线BQ的方程为y=kx+1,则由题意直线 AP的方程为y = k(x2),不y = kx 122由 «X22，得(1+4k )x +8kx=0,y =14_28k 1 -4k2 所以点Q的坐标为(一8k>,k，)，1 4k2 14k2 8k2 _2 4k同理可求得点P的坐标为(8k一2,_»).1 4k 1 4k1 -4 k24k2 一 ”22一万1

18、0分所以直线l的斜率为 上如一1 +4k，8k 8k -2-8k -8k 2一1 4k2 -1 4k2Q两点到直线 AB的距离分别为di,d2,因为点P在第一象P则点 Q必在第三象限,从而di =Xq - 2yQ - 2d2 -58k2 2所以 S1 =5 " 4k2S d2 8k-28k 2-8k 21 4k2 - 1 4k2 忑 ，8k _c1 4k2 -2 8k2 -2 8k -2(1 4k2)2 -8k21 4k2 1 4k22 -8k -(2 -8k2) 2(1 4k2)2k -124k2 2k14分1且点P、Q分别在直线 AB :x+2y 2=0的上、下两侧, 2所以 X

19、p +2yp -2 >0 , Xq +2yQ 2 <0 ,28k -2 8k 2xp 2yp -21 4k21 4k2令 2k -1 =t(t >0),则；7 二S22k -14k22k(t 1)2 t 1 -t23t 2 "t . 2 3 - 2.2 3t= 3-272 ,当且仅当t即t =&，即k J2 *1时，S1有最大值为 3-272.2S216分2 一19. (1)函数 f (x) =mX(m+2)ln X的te义域为(0, 土叼.f (x) =mXm 22 (mX -2)(x T)为 m <0 ,则当 0 cx <1 时，f (x)

20、A0 ;当 x >1 时，f (x) <0 ;所以f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为1,8).2分若存在 x1 ,X2 £1,2,使得 f (x1) -g(Xz) >1 ,等价于 XW1,2时，f (X)max 之 g(x)min +1 成立.综上,20.由得，当m<0时，f(x)在1,上c)上单调递减,所以当 XW1,2时，f (x)max =f(1)=m2. 4分22m、2 m而 g(x) =x +mx+1=(x+) +1.24(i )当 0 <-m <1 ,即 q <m <0 时，g(x)min =g(1) = 2 +

21、m ,2于是m_2±3+m,矛盾！ 6分2(ii) 1 WmW2 ,即 M WmE-2 时，g(x)min=1m, 242于是m -2 >2 -,矛盾！ 8分4(iii)当m>2,即 m< 乂时，g(x)m =g(2)=5+2m, 2于是 m -2 >6 +2m ,所以 m <-8 .m的取值范围是m <8 . 10分In x 1(2)因为 h(x) e所以1-In x -1 h(x) =-x e所以g(x) -1h(x)21(x x)(- -ln x -1)x ( (x 1)(1 xln x - x)-x-xee一、一.2,要证g(x) 1h (

22、x) <1 +e，由 x>0 ,x、一 . . e设 中(x) =1 -xln x -x , m(x)=,x 1x即证(1+e) >1 -xln x-x .x - 1所以中(x) =-ln x 2 ,当 0 cx <e 时，中'(x) >0 ；当 x >e/时，中'(x) <0 .所以当x=e2时，邛(x) =1xln xx取得最大值为1+e2.x由 m(x) = xe >0 ,(x 1)2所以m(x)在(0,也c)单调增，所以 m(x)>m(0)=1,所以g(x) Th(x) <1+es . 16 分(1) a83(

23、a4az)=0 3 (30) =9=3 +4 M(a3-aj =2+4 M2 =10 ,，a8+a9 =19 2 分(2) a。是 3级等差数列，ane+an3=2an,-* .2(2n+sin8n) =2(n+3)+sin(0n+3。)+2(n 3)+sin(6n 38)(n= N )* 、2sin on =sin(con+3初+sin(on-36) =2sin concos36 (n = N ) *所以 sin On =0 ,或 cos3切=1 , sinn =0对 n= N 恒成立时，6=kKk = Z)2k兀八 一、cos3« =1 时，3® =2k,k CZ ),

24、.切=(k Z), 3Ssn =(a12k兀, 心(k Z)U I = k 4k / ) 32 7r一，2n tt0最小正值等于-,此时an =2n+sin_.33由于sin2(3n -2)兀+$访2(3门-1)兀.2(3n)兀八 /+sin - =0 ( n w3* .,二 a3nNa3n _± a3n 6(3n 一1) ( n 匚 N )十 a2 + a3) +(a4 +a5 +a6)十川十(a3n/ +a3n +a3n)二立2二L623n _1" =9 + 3n ( nW N(3)若an为2级等差数列，an书+an2=2an,则a2n。 a2n均成等差数列，设等差数列

25、a2nB a2n的公差分别为d1,d2,an为3级等差数列，an书+ang=2an,则 a3n/成等差数列，设公差为Da1，a7既是中a2n1的项，也是a3n/中的项，a7 -a1 =町=2Da4,a10既是中a2n的项，也是a3nZ中的项，a10 - a4 =3d2 = 2D.3d1 =3d2 =2D设 d1 =d2 =2d ,则 D =3d所以 生=a1 +(n -1)di =a1 +(2n -2)d ( n w N ),a2n =a2 +(n -1)d2 =a2 +(2n -2)d , ( n = N )10分又a4=a +D =a +3d , & =a2 +d2 =a2 +2d

26、 ,所以 a2 =a +d ,.a2n综合得.an二&* .=a1 +(2n -1)d ( n u N )+(n -1)d ,显然，为等差数列. 第R卷(附加题，共16分40分)Q10分21A .连结 OT .因为AT是切线，所以OT _L AP .又因为NPAQ是直角，即AQ_LAP , 所以 AB/OT ,所以 ZTBA =NBTO .又 OT =OB，所以 NOTB =NOBT， 所以 ZOBT =NTBA,即BT平分/OBA B.B = BAA、00 11/3一段3IL21 112110分C. ( I )曲线C的直角坐标方程为 y2 =2ax (a >0)；直线 的普通方

27、程为(n)将直线l的参数方程与 C的直角坐标方程联立，得t2-2(4+a) 2t+8(4+a) = 0*) =8a(4 +a) >0 .设点M ,N分别对应参数t1,t2恰为上述方程的根.则PMhltJJPNhltJ , lMNl=lt1-t2l,由题设得所以异面直线PN , AM所成的角为90：l . (2)平面ABC的一个法向量为 1=京 =(0,0,1).设平面PMN的一个法向量为 m=(x,y,z), -1由(1)得 MP =(%1,一).2NP =0,m MP =0,j(九)xy+z=0, 得J 2 /x - y - -z =0.221y=-rx,解得3 令 x=37lm=(3,2尢+1,2(1£).z=2(j)x .3:平面PMN与平面ABC所成的二面角为 45：1二 | cosm-n-:二 m, n | 3 -一1 t | 二 | m| |n|2(1-)>/9+(21+1)2+4(1 -22，解得九=1 .21.故点P在B1A的延长线上，且AP=.10分223. (1) S2 =8 , S4 = 32 2分;(2)设集合 P=0 , Q =-1,1.(t1 -t2