用函数观点看一元二次方程、实际问题与二次函数1

1、学 科数学 年 级 初三版 本 主讲老师1#【本讲主要内容】用函数观点看一元二次方程、实际问题与二次函数包括：二次函数与一元二次方程之间的联系，用二次函数表示实际问题的关系，再用 方程去解。【知识掌握】【知识点精析】1. 如果抛物线y =ax2 bx c与x轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当x =x0时,函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2 bxc=0的一个根。2. 二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不 等的实数根。3. 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时

2、间最少、效率最高等问题，有些可归 结为求二次函数的最大值或最小值。【解题方法指导】例1. （ 2004年 天津）已知二次函数 y =ax2 bx c，且a ： 0, a-b c 0，则一定 有（ ）22A. b 4ac 0B. b 4ac 二 022C. b -4ac ：0D. b -4ac_0分析：由a < 0，可知抛物线开口向下，又当x = -1时，y二a-b，c0，所以抛物线有在x轴上方的图象，必与 x轴有两个交点，则方程有两个不等实根，.：-b2 -4ac 0，故选（A ）。解：y =ax2 bx c 中 a ： 0 ,.抛物线的开口向下又当 x - -1 时，y = a -b

3、c 0 ,.抛物线有在第二象限的点。它的示意图如图。.抛物线与x轴有两个交点。2令 y = 0，得 ax bx c = 0-方程有两个不相等的实数根2.: =b _4ac 0故选A。评析：此题由二次函数问题转化为二次方程，关键是确定二次函数的图象与x轴有无交点，有几个交点。由a：0, a -b c 0，加以确定抛物线的开口方向及图象的位置，其 中当x = -1时，y=a-b，c0，这里要会找到x的值为多少时，得到 a _b c。例2.已知二次函数 y =(m-2)x2 +2mx+m+ 1，其中m为常数，且满足 一1cmv2。试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与 y轴的交点在x轴上方，还

4、是在x轴下方。分析：欲确定抛物线的开口方向，要看m -2 >0，还是m-2c0，由- 1vm<2，可知m-2：0，得知抛物线开口向下；又c = mT .0，得知抛物线与 y轴交点在x轴上方；再由厶二b2 -4ac 0，得知抛物线与x轴有两个交点。解：；-1 ：m ：2.a = m - 2 ： 0.抛物线开口向下；又 c 二m 10，.抛物线与y轴的交点在x轴上方；2令 y =0，得(m -2)x2mx m 1 = 0:-b2 -4ac=4m2 -4(m-2)(m 1)=4m 8= 4(m 1)4 0抛物线与x轴有两个不同的交点。评析：此题的难点是给出了 m的范围，即-1 ：m ：2

5、，要确定m与2的大小关系，及 m与-1的大小关系。必要时，可画出示意图判断。f'l-2-1 0 1 2例3.（2002年 湖北荆州）选择题：关于二次函数 y =ax2 bx c的图象有下列命题:当c=0时，函数的图象经过原点当c0,且函数图象开口向下时，方程ax2 bx飞=0必有两个不相等的实数根函数图象的最高点的纵坐标是4ac b24a4当b = 0时，函数的图象关于 y轴对称。其中正确命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：4个命题要加以判断,正确；正确；正确；但无最高点，是错误的,#故选（C）°解：对于，当c = 0时，得y二ax2 bx，若x =

6、 0，得y = 0 ,抛物线必过原点，正确；对于，当c 0，且图象开口向下时，抛物线与x轴必有两个交点,方程ax2 bx，c=0必有两个不相等的实数根，正确;对于，当a 0时，抛物线开口向上，无最高点，不正确； 对于，当b=0时，得y =ax2 c，关于y轴对称，正确。幕一共有3个正确，.选（C）a 0，还是a ： 0 ,因此举评析：对于，很容易误解成是正确的命题，由于不知道 出一个反例即可。【考点突破】【考点指要】世界上许多事物是互相联系的，二次函数与二次方程，在某些情况下可以统一起来，对于y =ax2 bx c，当y = 0时，便得到ax2 bx c = 0 ,于是抛物线与x轴交点的个数,

7、 便和一元二次方程根的判别式统一了起来；对于实际问题，如果从运动的观点列出二次函 数，那么它也可以通过方程去加以解决。正因为二次函数与二次方程的联系，对考查同学们分析问题及辩证地去考虑问题是很 好的考查点，因此在中考的试题中，经常以各种不同的方式加以考查，应引起同学们的重 视。【典型例题分析】例 1.已知二次函数 y = (2m - 1)x2 - (5m3)x 3m 5（1） 证明m为任何实数时，它的图象必与x轴相交于两点；（2）m为何值时，它的图象过原点；（3） m为何值时，它的图象的对称轴是y轴。分析：（1）将二次函数转化为一元二次方程，由= 0进行判断。（2）由 c=3m 5= 0 ,求

8、 m（3）由b=0,即卩5m 0去解。解：(1)令 y =0，得(2m _1)x2 -(5m 3)x 3m 5 = 02；.=-(5m 3)2 -4(2m-1)(3m 5)=m2 2m 29=(m 1)228幕不论m为任何实数，都有(m 1)2 _0，(m 1)228 0.： 0.方程有两个不相等的实数根，它的图象必与x轴相交于两点。（2）当c=0时，二次函数的图象过原点,.3m 5=05即当m二-时，它的图象过原点。3y轴。（3）当b =0时，二次函数的对称轴是'（5m3） =0即当m = -3时，它的图象的对称轴为5y轴。例2.（2003年 苏州市）已知抛物线 y=x2 （1-2a

9、）x a2（a =0）与x轴交于A（ x1，0）， B （ X2 ， 0）（ X1 H X2 ）。（1）求a的取值范围，并证明 A、B两点都在原点 O的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C,且OA OB = OC - 2，求a的值。分析：（1）将二次函数转化为一元二次方程，由 = 0，求出a的范围；由x2 0，得出xX2同号；再由x1 x2 ：0，得出两点在原点左侧。(2)由 OA OB =OC -2，得出X! X2 =a2 2，再由 x? = 2a - 1，求出 a 的解。解：(1)；抛物线与x轴交于A(x1,0), B(x2,0)两点，且 为=x2 ,令 y =0，得 x2(1 _2a)x

10、a2 = 0.: =(1 _2a)2 -4a201a :4.a的取值范围是a ：1，且a = 0。4又 a =0.X1X2 二a2 0.X1X同号又x1 x2 = -(1 -2a) =2a -1 ：0.x1，x2同为负数。点A(X" 0)，B(X2,0)都在原点左侧。(2)； X1 ,X2同为负数，由 OA OB =OC -2，得-Xr - X? a - 22_(X X2) a 2.1 -2a =a2 -2a2 2a -3 =0. a二 _3，a：二 1a ：且a厂04” a = -3评析：此题较为复杂，要完成一元二次方程和二次函数间的转化，同时，还要熟悉一 元二次方程根与系数的关系

11、等关系，体现了综合考查知识的能力。例3.(2001年 温州)已知：抛物线 y =x2 -(k 1)x k。(1) 试求k为何值时，抛物线与 x轴只有一个公共点；(2) 如图，若抛物线与 x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的负半轴 父于点C o试问：是否存在实数 k，使 4OC与 COB相似？若存在，求出相应的 k的值；若不 存在，请说明理由。分析：(1)只要证几-0即可；(2)设法判定 AOC与 BOC的形状，求出点 A、B、 C的坐标，再判定当两个三角形相似时，求出k的值。解：(1)令 y =0，得 x2 -(k 1)x k =0.-： - -(k 1)2 41 k二k2 2k

12、1 -4k2=k2 -2k 1=(k -1)2抛物线与x轴只有一个公共点,.: =0即(k 1)2 =0k = k2 =1当k =1时，抛物线与x轴只有一个公共点。2(2)；抛物线y = x (k 1)x - k与y轴负半轴交于点 C,当 x=0 时，y=k，二点C的坐标为(0, k)，几k £0。2当 y =0时，得 x2 -(k 1)x k =0.(x _1)(x _k) =0.X1 1， X2 = k幕点A在点B的左边， A、B两点的坐标分别是(k, 0)，(1，0).CA=OC=|kH-kAOC是等腰直角三角形。要使Rt BOC与Rt AOC相似，只需 OB=OC- OB =

13、1, .,）C - _k =1.k - _1.这样的k值存在，且k - -1。评析：欲求两个三角形相似时 k的值，要注意线段的长为正值，k的值可能为负值。例4.某商店如果将进价为每件 8元的某种商品按每件 10元出售，每天可销售 100件。 为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润。分析：若每件商品提高x元，那么每件利润为（2 x）元，每天销售量为（100-10x）件,每天所得利润为y元，可列出函数解析式 y=（2，x）（100-10x）解：设每件提高x元（0 _ x _ 10）.每件获得利润为（2 x

14、）元。每天可销售（100-10x）件，设每天获利润 y元，则 y =（2x）（100 -10x）= -10x280x200»10（x-4）2360.当x =4时，y的值最大。即当定价为每件14元时，获得利润最大，每天最大利润为360元。【综合测试】1. 当m为何值时，抛物线 y =x2 -2mx m m 2与x轴有两个交点，有一个交点，无交点。22. 已知二次函数y二mx -（2m 2）x m -1与x轴有两个交点，求 m的取值范围。3. 已知二次函数 y =ax2 Fx c（ a =0 ）的图象经过 O （0, 0）, A（ 1, -1）, B（ -2 ,14）和C （2, m）四

15、点，求这个函数的解析式及m的值。2 24. 已知二次函数 y =2x -mx-m（1） 求证：对于任意实数 m,该二次函数图象与 x轴总有公共点；（2） 若该二次函数图象与 x轴有两个公共点 A、B,且A点坐标为（1, 0）。求B点 坐标。1 255. 已知抛物线yx2 * x -2 2（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴。(2)若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长。6.在反比例函数y =上中，当x 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y = kx2 2kxxc、你热爱主命吗？那么别浪费时间 > 因为时间是组成生命的材料-富兰克林11【综合测试答案】1. m 2, m

16、= 2, m ： 222解：令 y=0 ,得 x _2mx m _m 2=02 2.: =4m _4（m -m 2）= 4（m _2）.当m2时，二0，抛物线与x轴有两个交点；当m = 2时， 0，抛物线与x轴有一个交点；当m ：2时，二：0，抛物线与x轴无交点。1口2. m ，且m严032解：令 y = 0，得 mx -（2m 2）x m _ 1 = 0幕抛物线与x轴有两个交点，."： =（2m 2）2 _4m（m -1）02 2.4m 8m 44m4m 012m 401.m -3又m严01 -.m的取值范围为m ，且m = 0。33. 2解：丁函数图象经过 0（ 0, 0）, A

17、（ 1，-1），B （2，14）三点,Jc =0a b c = -14a -2b c = 14解得 a=2，b-3，c=0它的解析式为y=2x2-3x又；图象过C（ 2，m）点，.m =222 -3 2=214. （ 1）略；（2）（-2，0），（-一，0）2解：（1 ） > =（-m）2 -4 2 （-m2）=9m2_0，-对于任意实数m，该二次函数图象与 x轴总有公共点。（2）把（1，0）代入，得 0=2 -m-m22.m m-2=0, rnii- -2, m2 =1当 m - -2时，y =2x2 2x 一4 =2(x 2)(x -1).B点坐标为(一2, 0)当 m =1 时，y =2x2 _x _1 =(2x 1)(x _1)1.B点坐标为(,0 )25. (1)顶点(一1, - 3),对称轴 x = -1(2) |AB|=2.61 51151解：(1) yx2 x(x2 2x 1)(x 1)2 -32 2 22 2 2顶点(一1, 3),对称轴x - -11 25(2)令 y =0，得一 x2 x 02 2设它的两个根为XX2贝V X1 "伙2