概率统计教案3

1、 第三章 多维随机变量及其分布一.教学内容: 二维随机变量及其联合概率分布，二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布，二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度，常见二维随机变量的联合分布. 随机变量独立性. 二维随机变量的函数的概率分布.二.教学重点: 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念及性质(两中基本形式): 离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度. 会利用二维概率分布求有关事件的概率. 了解二维随机变量的边缘分布，理解随机变量独立性的定义，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算. 会求两个独立随机变量的简单函数的分布关系. 了解二维均匀分布和二维

2、正态分布.§3.1 二维随机变量1.设是二维随机变量，对于任意实数，称 为二维随机变量的分布函数，或称随机变量和的联合分布函数.2.落在矩形域的概率为.3.分布函数的性质:是和的不减函数.，且，.，即关于是右连续，关于也是右连续.4.二维离散型随机变量的分布律(随机变量和的联合分布律):，或 5.二维离散型随机变量分布律的性质: . .例1.随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，随机变量在中等可能地取一个值. 试求的分布率.解: .当时，.当时，. 6.设是随机变量和的联合分布函数，如果存在非负函数使得，则称是连续型的二维随机变量，称为二维随机变量的概率密度(随机变量和

3、的联合概率密度). 7.概率密度的性质:.设是平面上的区域，点落在内的概率为 .若在点连续，则.例2.设随机变量的概率密度为求常数.求其分布函数.求. 解: 一方面，.另一方面，所以，得. .§3.2 边缘分布1.边缘分布函数:.2.离散型随机变量的边缘分布律: . .例1.从一个装有个红球、个白球和个蓝球的箱中,随机地抽取个球. 用和分别表示取出的红球数和白球数，试求:和的联合分布律.和的边缘分布律.解: ，其中. 规定时，. 3.连续型随机变量的边缘分布函数: ，.边缘概率密度:，.例2.设随机变量的密度函数为求边缘概率密度. 解: 4.若，则，.§3.3 条件分布1.

4、若，则称 为在条件下的条件分布律.若，则称 为在条件下的条件分布律.例1.设离散型随机变量的分布律为求常数.求关于的条件分布律解: 一方面，另一方面，所以，得. ， .2.设的概率密度为，边缘密度分别为和.若， 则称为在的条件下的条件概率密度，记为. 而称为在条件下的条件分布函数.若， 则称为在的条件下的条件概率密度，记为. 而称为在条件下的条件分布函数.§3.4 相互独立的随机变量1.设及、分别是二维随机变量分布函数及边缘分布函数. 若，则称和是相互独立的.2.若是连续型随机变量，则等价于.若是离散型随机变量，则等价于.例1.设随机变量的密度函数为试判别和的相互独立性. 解: ，所以和相互独立.例2. 设服从上的均匀分布，服从参数为的指数分布，且它们相互独立. 试写出随机变量的概率密度. 解: 由于和相互独立，所以3.若，则和相互独立充要条件是.§3.5 两个随机变量的函数的分布1.的分布: 设 的概率密度为. . 当和相互独立时，.这两个公式称为卷积公式，记为，即.2.设，且和相互独立，则.3.设，且和相互独立，则.4.设和相互独立，且，则. 5.及的分布: 设和相互独立，和的分布函数为和，和的分布函数为和.第三章小结二维随