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文档简介

1、归纳猜想型问题考点一:猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式,然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式。1.(巴中)观察下面的单项式:a,-2a2,4a3,-8a4,根据你发现的规律,第8个式子是 -128a8; ;;第n个数据应为 。(-2)n-1xn2.(南平)给定一列按规律排列的数: ,则这列数的第6个数是( )A B C D 3(黔东南州)观察规律:1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;,则1+3+5+201

2、5的值 是 10140494(沈阳)有一组等式:12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第8个等式为 82+92+722=7325.(衡阳)观察下列按顺序排列的等式:a11,a2,a3,a4,试猜想第n个等式(n为正整数):an= 6.(南宁)有这样一组数据a1,a2,a3,an,满足以下规律:a1,a2,a3,an(n2且n为正整数),则a2016的值为 -1(结果用数字表示)7. (广安)已知直线y=(n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为Sn,则 S1+S2+S3+S2016= 8.(

3、大庆)已知 ,依据上述规律,计算 +的结果为 。9将全体正整数排成一个三角形数阵:         1      2   3     4   5   6   7   8   9  10 按照以上排列的规律,第5行从左到右的第3个数为  13;第n行(n3)从左

4、到右的第3个数为 (用含n的代数式表示)10请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2): 根据前面各式的规律,则考点二:猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律,从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中,以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律,需要把图形中的有关数量关系列式表达出来,再对所列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1(牡丹江)用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案,按照这样的规律摆放,则第n个图案中共有 小三角形的个数是 3n+42(娄底)如图,是用火柴棒拼成的图形,则第n个图形需 2n+1根火柴棒3(江西)观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n个图

5、形中所有点的个数为_(用含n的代数式表示)4(呼和浩特)如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,依此规律,第11个图案需_根火柴5(遂宁)为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示:按照上面的规律,摆第(n)图,需用火柴棒的根数为 6n+26(深圳)如图,每一幅图中均含有若干个正方形,第1幅图中有1个正方形;第2幅图中有5个正方形;按这样的规律下去,第6幅图中有 91个正方形7. 如图所示,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数为_8. 如图是一组有规律的图案,图案1是由4个组成的,

6、图案2是由7个组成的,那么图案3是由个组成的,依此,第n个图案是由个组成的9(2015·重庆(B),8,3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图1中有2个黑色正方形,图2中有5个黑色正方形,图3中有8个黑色正方形,图4中有11个黑色正方形,依此规律,图11中黑色正方形的个数是( )A32 B29 C28 D2610(2015·重庆(A),8,3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第1个图形中一共有6个小圆圈,第2个图形中一共有9个小圆圈,第3个图形中一共有12个小圆圈,按此规律排列,则第7个图形中小圆圈的个数为( )A21 B24

7、C27 D3011. 将图1的正方形作如下操作:第1次分别连接对边中点如图2,得到5个正方形;第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形,以此类推,第n次操作后,得到正方形的个数是12. 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成,第(1)个图案有4个三角形,第(2)个图案有7个三角形,第(3)个图案有10个三角形,依此规律,第n个图案有 个三角形(用含n的代数式表示)13平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案,下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案,按图中规律,第20个图案中,小菱形的个数是_个 14. 将一个面积为1的等边三角形挖

8、去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后,继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)如此进行挖下去,第4个图中,剩余图形的面积为_,那么第n(n为正整数)个图中,挖去的所有三角形的面积和为_(用含n的代数式表示)考点三:几何图形计算变化规律 随着数字或图形的变化,它原先的一些性质有的不会改变,有的则发生了变化,而且这种变化是有一定规律的。比如,在几何图形按特定要求变化后,只要本质不变,通常的规律是“位置关系不改变,乘除乘方不改变,减变加法加变减,正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。1. (张家界)如图,OP=1,过P作PP1OP,得OP1=;再过P1作P1

9、P2OP1且P1P2=1,得OP2=;又过P2作P2P3OP2且P2P3=1,得OP3=2;依此法继续作下去,得OP2016= 2(黑龙江)已知等边三角形ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边三角形AB1C1,再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边三角形AB2C2,再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边AB3C3;,如此下去,这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为 )n3(牡丹江)如图,边长为1的菱形ABCD中,DAB=60°连结对角线AC,以AC为边作第二个菱

10、形ACEF,使FAC=60°连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使HAE=60°按此规律所作的第n个菱形的边长是 )n-14(六盘水)把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处,又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°,按上述方法经过4次旋转后,顶点O经过的总路程为 ,经过61次旋转后,顶点O经过的总 路程为 5. 如图,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn

11、)均在反比例函数(x>0)的图象上,若P1OA1,P2A1A2,P3A2A3,PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,An-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是_,点Pn的坐标是_(用含n的代数式表示)6. 二次函数的图象如图,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3四边形An-1BnAnCn都是菱形,A0B1A1=A1B2A2=A2B3A

12、3=An-1BnAn=60°,菱形An-1BnAnCn的周长为 7(2015·浙江湖州,16,4分)已知正方形ABC1D1的边长为1,延长C1D1到A1,以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2,延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3,(如图所示),以此类推,若A1C12,过点A,D2,D3,D10都在同一直线上,则正方形A9C9C10D10的边长是_8. 如图,将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形,若,则正ABC的边长是_9. 设ABC的面积为1,如图1将边BC,AC分别2等分,BE

13、1,AD1相交于点O,AOB的面积记为S1;如图2将边BC,AC分别3等分,BE1,AD1相交于点O,AOB的面积记为S2;,依 此类推,则Sn可表示为_(用含n的代数式表示,其中n为正整数)考点四:坐标系和表格中的规律1(聊城)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不 断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为_(用n表示)。 2(抚顺)如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是(-1,-1)、(0,2)、(2,0),点P在y轴上,且坐标为(0,-2)点P

14、关于点A的对称点为P1,点P1关于点B的对称点为P2,点P2关于点C的对称点为P3,点P3关于点A的对称点为P4,点P4关于点B的对称点为P5,点P5关于点C的对称点为P6,点P6关于点A的对称点为P7,按此规律进行下去,则点P2016的坐标是 _。3. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个横、纵坐标均为整数的点,其顺序按图中“”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),根据这个规律,第2 016个点的坐标为_4(湖州)将连续正整数按以下规律排列,则位于第7行第7列的数x是_。5(恩施州)把奇数列成下表,根据表中数的排列规律,则上起第8行,左起第6列的数

15、是_。6. 如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3,An将抛物线y=x2沿直线l:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:抛物线的顶点M1,M2,M3,Mn都在直线l:y=x上;抛物线依次经过点A1,A2,A3,An则顶点M2 016的坐标为(_,_)课后练习考点一:猜想数式规律1(2015·湖北黄冈中学自主招生)两列数如下:7,10,13,16,19,22,25,28,317,11,15,19,23,27,31,35,39第1个相同的数是7,第10个相同的数是 ( )A115 B127 C139 D1512(2015

16、·浙江宁波)一列数b0,b1,b2,具有下面的规律,b2n1bn,b2n2bnbn1,若b01,则b2 015的值是 ( )A1 B6 C9 D193(2015·山东德州)一组数1,1,2,x,5,y,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为 ( )A8 B9 C13 D154(2013·山东日照)如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律,图形中M与m,n的关系是 ( )AMmn BMn(m1) CMmn1 DMm(n1)5(2014·贵州毕节)观察下列一组数:,它们是按一定规律排列的,那么这一组数据

17、的第n个数是_6. 人民公园的侧门口有9级台阶,小聪一步只能上1级台阶或2级台阶,小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这9级台阶共有_种不同方法7(2014·江苏扬州,18,3分)设a1,a2,a2 014是从1,0,1这三个数中取值的一列数,若 a1a2a2 01469,(a11)2(a21)2(a2 0141)24 001,则a1,a2,a2 014中为0的个数是_8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想422; 1257;63

18、3; 1431177;835; 16313511;10375518513711; 通过这组等式,你发现的规律是_(请用文字语言表达)9. 观察下列等式:第一个等式:; 第二个等式:;第三个等式:; 第四个等式:按上述规律,回答以下问题:(1)用含的代数式表示第个等式:_=_;(2)式子_10. 下面是一个按某种规律排列的数阵:1 第1行 2 第2行 3 第3行 4 第4行 根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n>3)行从左向右数第n-2个数是_考点二:猜想图形规律1(2015·广东深圳,9,4分)观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第5个图形有_个太阳2. 观察

19、下列图形规律:当n= 时,图形“”的个数和“”的个数相等3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A289 B1 024C1 225 D1 3784. 如图,在一个三角点阵中,从上向下数有无数多行,其中各行点数依次为2,4,6,2n,请你探究出前n行的点数和所满足的规律若前n行点数和为930,则n ( )A29 B30 C31 D325. 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、(3)是由这样的

20、小正方体木块叠放而成,那么图(2)中的小正方形有_块;按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形,此时第七个图形中小正方体木块总数应是_块6(重庆)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第个图形有1棵棋子,第个图 形一共有6棵棋子,第个图形一共有16棵棋子,则第个图形中棋子的颗数为( )A51B70C76D817(2012·浙江丽水,10,3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律,图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,称为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,称为正方形数,下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2A2 010 B2 012 C2

21、 014 D2 0168(2014·重庆,10,4分)下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,依此规律,第五个图形中三角形的个数是( )A22 B24 C26 D289. 观察下列图形,它们是按一定的规律排列的,依照此规律,第20个图形中的“”有( )A57个 B60个C63个 D85个10. 观察下列一组图形中点的个数,其中第一个图形中共有4个点,第2个图形中共有10个点,第3个图形中共有19个点,按此规律第6个图形中共有点的个数是( ) A38 B46C61 D6411. 如图,ABC的三个顶点和它内部的

22、点P1,把ABC分成3个互不重叠的小三角形;ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把ABC分成5个互不重叠的小三角形;ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3,把ABC分成7个互不重叠的小三角形;ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、Pn,把ABC分成 个互不重叠的小三角形12. 观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有 个“”13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有 根火柴棒(用含n的代数式表示)14“梅花朵朵迎春来”,下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案,按图中规律,第n个 图形中小梅花的个数是 考点三:几何图形计算变化规律1. 如图,

23、在A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连接A1B1C1三边中点,得A2B2C2,再依次连接A2B2C2的三边中点得A3B3C3,则A5B5C5的周长为_2. 已知RtABC中,C90°,BC1,AC4,如图所示把边长分别为x1,x2,x3,xn的n个正方形依次放入ABC中,则第n个正方形的边长xn_(用含n的式子表示,n1)3. 如图,正ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正AB1C1,ABC与AB1C1公共部分的面积记为S1;再以正AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正AB2C2,AB1C1与AB2C2公共部分的面积记为S2;,以此类推,则S

24、n=_(用含n的式子表示) 4. 如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图位置,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_。5. 如图,将ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E

25、2014到BC的距离记为h2015,到BC的距离记为h2015若h1=1,则h2015的值为_.6. 如图,已知A1,A2,A3,An,An+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1,分别过点A1,A2,A3,An,An+1作x轴的垂线,交直线y=2x于点B1,B2,B3,Bn,Bn+1,连接A1B2,B1A2,A2B3,B2A3,AnBn+1,BnAn+1,依次相交于点P1,P2,P3,PnA1B1P1,A2B2P2,A3B3P3,AnBnPn的面积依次记为S1,S2,S3,Sn,则Sn为( )A B C D7. 如图,已知点A1,A2,An均在直线上,点B1,B2,Bn均在双曲线上,并且满足:A1B1x轴,B1A2y轴,A2B2x轴,B2A3y轴,AnBnx轴,BnAn+1y轴,记点An的横坐标为an(n为正整数)若,则a2015= 8. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(,0),B(0,4)将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置,点B,O分别落在点B

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