2017年中考数学压轴题专题复习——圆的综合

1、 2017中考专题复习圆题型一、勾股定理在圆中的应用1、（2012成都）如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长2、（2014孝感）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连接BE（1）求证：AC平分DAB；（2）求证：PCF是等腰三角形；（3）若tanABC=，B

2、E=7，求线段PC的长3、（2015黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰RtACD，BD分别交y轴和P于E、F两点，交连接AC、FC（1）求证：ACF=ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由4、（2013成都模拟）已知：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连接DE，DE=（1）求证：AMMB=EMMC；（2）求sinEOB的值；（3）若P是直径AB

3、延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是O的切线5、（2012杭州）如图，AE切O于点E，AT交O于点M，N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT=30°，AE=3，MN=2（1）求COB的度数；（2）求O的半径R；（3）点F在O上（是劣弧），且EF=5，把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比6、（2011潍坊）如图，AB是半径O的直径，AB=2射线AM、BN为半圆O的切线在AM上取一点D，连接BD交

4、半圆于点C，连接AC过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q（1）求证：ABCOFB；（2）当ABD与BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点专题二、三角函数在圆中的应用1、（2014成都）如图，在的内接ABC中，ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线交O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.（1）求证：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设，求与之间的

5、函数关系式.（不要求写出的取值范围），2、（2012襄阳）如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tanF=，求cosACB的值和线段PE的长3、（2014武侯区校级自主招生）如图，O与直线PC相切于点C，直径ABPC，PA交O于D，BP交O于E，DE交PC于F（1）求证：PF2=EFFD；（2）当tanAPB=，tanABE=，AP=时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断A

6、DB是什么三角形？并证明你的结论4、（2014盘锦）如图，ABC中，C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE（1）求证：DE是O的切线；（2）若cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；（3）若cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围专题三、相似三角形与圆的综合应用1、（2010）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、 （1）求证：是的外心； （2）若,求的长； （3）求证：2、（2014镇江）如图，O的直径AC与弦

7、BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，EAB=ADB（1）求证：EA是O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2在（2）条件下，求AE的长3、（2013桂林）如图，在ABC中，C=90°，BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交AB于E，以AE为直径作O（1）求证：点D在O上；（2）求证：BC是O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BDE的面积4、（2012泰州）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC

8、的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围5、（2012德阳）如图，已知点C是以AB为直径的O上一点，CHAB于点H，过点B作O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G（1）求证：AEFD=AFEC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求O的半径r的长6、如图，在RtABC中，B=90°，它的内切圆分别与三角形的三边切于点D,E,F，连接AD与内切圆相交于点P，连接PC,PE,PF,FD,ED，且PCPF。（1

9、） 求证：PFDPDC；（2）7、（2012十堰）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CFAB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值8、（2004武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，CBD的平分线交CE于I点（1）求证：BE=IE；（2）若AICE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长

10、交y轴于G点，求ATAG的值；（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作O1交y轴于另一点N设O1的半径为R，当时，给出下列两个结论：MN的长度不变；的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值专题四、圆中的面积问题1、（2013）如图，的半径，四边形内接圆，于点，为延长线上的一点，且.（1）试判断与的位置关系，并说明理由：（2）若，求的长；（3）在（2）的条件下，求四边形的面积.2、（2013钦州）如图，在RtABC中，A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、

11、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tanBOD=（1）求O的半径OD；（2）求证：AE是O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和3、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC : CA4 : 3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）求证：AC·CDPC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积SAOBPDC4、（四川省成都市2009）如图，RtABC内接于O，ACBC，BAC的平分线AD

12、与O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结OG（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AEBF；ACBFDEOG（3）若OG·DE3(2)，求O的面积5、如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧 上的任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点E，以D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点CCPDOBAE（1）求弦AB的长；（2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC的面积为S，若，求ABC的周长6、如图，等圆O1

13、和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；（2）过直径AC的端点C作O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE2O2D；（3）在(2)的条件下，若AO2D的面积为1，求BO2D的面积专题五、中点在圆中的应用1、（2011）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作O，O经过B、D两点，过点B作BK A C，垂足为K。过D作DHKB，DH分别与AC、AB、O及CB的延长线相交于点E、F、G、H(1)求证：AE=CK； (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长：(3)

14、若F是EG的中点，且DE=6，求O的半径和GH的长2、（2014长沙）如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作O的切线交AC于点E（1）求证：DEAC；（2）若AB=3DE，求tanACB的值3、（2014广安）如图，AB为O的直径，以AB为直角边作RtABC，CAB=90°，斜边BC与O交于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，DGAB于点F，交O于点G（1）求证：E是AC的中点；（2）若AE=3，cosACB=，求弦DG的长4、（2010苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBCO是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点

15、E过E作EHAB，垂足为H已知O与AB边相切，切点为F（1）求证：OEAB；（2）求证：EH=AB；（3）若，求的值5、011广州）如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45°，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（0°90°）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由6、（2011金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10

16、，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF（1）当AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由/2015中考圆答案1、（略）2、（2014孝感）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连接BE（1）

17、求证：AC平分DAB；（2）求证：PCF是等腰三角形；（3）若tanABC=，BE=7，求线段PC的长解答：解：（1）PD切O于点C，OCPD 又ADPD，OCADACO=DAC又OC=OA，ACO=CAO，DAC=CAO，即AC平分DAB（2）ADPD，DAC+ACD=90°又AB为O的直径，ACB=90°PCB+ACD=90°，DAC=PCB又DAC=CAO，CAO=PCBCE平分ACB，ACF=BCF，CAO+ACF=PCB+BCF，PFC=PCF，PC=PF，PCF是等腰三角形（3）连接AECE平分ACB，=，AB为O的直径，AEB=90°在Rt

18、ABE中， PAC=PCB，P=P，PACPCB，又tanABC=，设PC=4k，PB=3k，则在RtPOC中，PO=3k+7，OC=7，PC2+OC2=OP2，（4k）2+72=（3k+7）2，k=6 （k=0不合题意，舍去）PC=4k=4×6=243、（2015黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰RtACD，BD分别交y轴和P于E、F两点，交连接AC、FC（1）求证：ACF=ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若

19、发生变化，请说明理由解答：（1）证明：连接AB，OPBC，BO=CO，AB=AC，又AC=AD，AB=AD，ABD=ADB，又ABD=ACF，ACF=ADB （2）解：过点A作AMCF交CF的延长线于M，过点A作ANBF于N，连接AF，则AN=m，ANB=AMC=90°，在ABN和ACM中，RtABNRtACM（AAS）BN=CM，AN=AM，又ANF=AMF=90°，在RtAFN和RtAFM中，RtAFNRtAFM（HL），NF=MF，BF+CF=BN+NF+CMMF，=BN+CM=2BN=n，BN=，在RtABN中，AB2=BN2+AN2=m2+=m2+，在RtACD中

20、，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，CD= （3）解：的值不发生变化，过点D作DHAO于N，过点D作DQBC于Q， DAH+OAC=90°，DAH+ADH=90°，OAC=ADH，在DHA和AOC中，RtDHARtAOC（AAS），DH=AO，AH=OC，又BO=OC，HO=AH+AO=OB+DH，而DH=OQ，HO=DQ，DQ=OB+OQ=BQ，DBQ=45°，又DHBC，HDE=45°，DHE为等腰直角三角形，=，=4、（2013成都模拟）已知：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC

21、连接DE，DE=（1）求证：AMMB=EMMC；（2）求sinEOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是O的切线解答：解：（1）连接AE，BC，AEC与MBC都为所对的圆周角，AEC=MBC，又AME=BMC（对顶角相等），AMECMB，AM：CM=EM：MB，即AMMB=EMMC；（2）如图，DC为O的直径，DEEC，DC=8，DE=，EC=7，设EM=x，由于M为OB的中点，BM=2，AM=6，AMMB=x（7x），即6×2=x（7x），整理得：x27x+12=0，解得：x1=3，x2=4，EMMC，EM=4，OE=EM=4，OEM为等腰三角形，

22、过E作EFOM，垂足为F，则OF=OM=1，EF=，sinEOB=；（3）在RtEFP中，EF=，PF=FB+BP=3+12=15，根据勾股定理得：EP=4，又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16，OE2+EP2=16+240=256，OP2=256，OE2+EP2=OP2，OEP=90°，则EP为圆O的切线5、（2012杭州）如图，AE切O于点E，AT交O于点M，N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT=30°，AE=3，MN=2（1）求COB的度数；（2）求O的半径R；（3）点F在O上（是劣弧），且EF=5，把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两

23、个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比解答：解：（1）AE切O于点E，AECE，又OBAT，AEC=CBO=90°，又BCO=ACE，AECOBC，又A=30°，COB=A=30°；（2）AE=3，A=30°，在RtAEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，OBMN，B为MN的中点，又MN=2，MB=MN=，连接OM，在MOB中，OM=R，MB=，OB=，在COB中，BOC=30

24、6;，cosBOC=cos30°=，BO=OC，OC=OB=，又OC+EC=OM=R，R=+3，整理得：R2+18R115=0，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5，则R=5；（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：EF=5，直径ED=10，可得出FDE=30°，FD=5，则CEFD=5+10+5=15+5，由（2）可得CCOB=3+，CEFD：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1EF=5，直径FG=10，可得出FGE=30°，EG=5，则CEF

25、G=5+10+5=15+5，CEFG：CCOB=（15+5）：（3+）=5：16、（2011潍坊）如图，AB是半圆O的直径，AB=2射线AM、BN为半圆O的切线在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q（1）求证：ABCOFB；（2）当ABD与BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点解答：（1）证明：AB为直径，ACB=90°，即：ACBC，又OEBC，OEAC，BAC=FOB，BN是半圆的切线，BCA=FBO=90

26、°，ABCOFB（2）解：由ACBOBF得，OFB=DBA，BCA=FBO=90°，AM、BN是O的切线，DAB=OBF=90°，ABDBFO，当ABD与BFO的面积相等时，ABDBFO，AD=OB=1，DP切圆O，DA切圆O，DP=DA，ABDBFO，DA=BO=PO=DP，又DAO=DPO=90°，四边形AOPD是正方形，DQAB，四边形ABQD是矩形，BQ=AD=1；（3）证明：由（2）知，ABDBFO，=，BF=，DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，AD=DP，QB=QP，过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在RtDQK中，DQ2=Q

27、K2+DK2，（AD+BQ）2=（ADBQ）2+22BQ=，BF=2BQ，Q为BF的中点专题二、三角函数在圆中的应用1、（2014成都）如图，在圆O的内接ABC中，ACB=90°，AC=2BC,过C作AB的垂线l交圆O于另一点D，垂足为E，P为弧上异于A、C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB与点C。（1）求证：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设，tanAFD=y，求y与x之间的函数关系式。（不要求写出x的取值范围）解：（1）同弧所对的圆周角相等PAC=PDC,AFD=ABP=ACP,PACPDF；（2）=且AB为直径；A

28、PB为等腰直角三角形；又AB=5，AC=2BC；由射影定理可得DE=CE=2，BE=1，AE=4；又APB=AEF=90°；AFE=ABP=45°；FE=AE=4；由（1）的相似可得,即,。（3）如图，过点G作GHPB于点H，；又=；HPG=CAB；y与x之间的函数关系式为.2、（2012襄阳）如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tanF=，求cosACB的值和线段

29、PE的长解答：解：（1）连接OB，PB是O的切线，PBO=90°，OA=OB，BAPO于D，AD=BD，POA=POB，又PO=PO，PAOPBO（SAS），PAO=PBO=90°，OAPA，直线PA为O的切线（2）EF2=4ODOP证明：PAO=PDA=90°OAD+AOD=90°，OPA+AOP=90°，OAD=OPA，OADOPA，=，即OA2=ODOP，又EF=2OA，EF2=4ODOP（3）OA=OC，AD=BD，BC=6，OD=BC=3（三角形中位线定理），设AD=x，tanF=，FD=2x，OA=OF=2x3，在RtAOD中，由勾

30、股定理，得（2x3）2=x2+32，解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），AD=4，OA=2x3=5，AC是O直径，ABC=90°，又AC=2OA=10，BC=6，cosACB=OA2=ODOP，3（PE+5）=25，PE=3、（2014武侯区校级自主招生）如图，O与直线PC相切于点C，直径ABPC，PA交O于D，BP交O于E，DE交PC于F（1）求证：PF2=EFFD；（2）当tanAPB=，tanABE=，AP=时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断ADB是什么三角形？并证明你的结论Rt解答：解：（1）ABPC，BPC=ABE=ADE又PFE=DFP，PFE

31、DFP，PF：EF=DF：PF，PF2=EFFD（2）连接AE，AB为直径，AEBPtanAPB=，tanABE=，令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=a=，a=AE，PE=，BE=PC为切线，PC2=PEPB=4PC=2FC2=FEFD=PF2PF=FC=1，PF=1（3）ADB为等腰直角三角形AB为直径，ADB=90°PEPB=PAPD，PD=2BD=ADADB为等腰Rt4、（2014盘锦）如图，ABC中，C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE（1）求证：

32、DE是O的切线；（2）若cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；（3）若cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围解答：（1）证明：连接OD，如图，ABC中，C=90°，A+B=90°，直线EF垂直平分BD，ED=EB，B=EDB，OA=OD，A=ODA，ODA+EDB=90°，ODE=90°，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接GD，AG为直径，ADG=90°，cosA=，A=60°，AGD=30°，AD=AG=，AB=8，BD=ABAD=8=7，直线EF垂直平分BD，BF=BD=，在RtBEF中，B=30&

33、#176;，EF=BF=，BE=2EF=7；（3）解：cosA=，A=60°，B=30°，AC=AB=4，由（2）得AD=AG，BF=（ABAD）=4AG，在RtBEF中，B=30°，EF=BF，BE=2EF=BF=（4AG）=8AG，0AGAC，即0AG4，6BE8专题三、相似三角形与圆的综合应用1、（略）2、（2014镇江）如图，O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，EAB=ADB（1）求证：EA是O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2在（2）条件下，求AE的长解答：

34、（1）证明：如图1，连接CD，AC是O的直径，ADC=90°，ADB+EDC=90°，BAC=EDC，EAB=ADB，EAC=EAB+BAC=90°，EA是O的切线（2）证明：如图2，连接BC，AC是O的直径，ABC=90°，CBA=ABC=90°B是EF的中点，在RTEAF中，AB=BF，BAC=AFE，EAFCBA（3）解：EAFCBA，=，AF=4，CF=2AC=6，EF=2AB，=，解得AB=2EF=4，AE=4，3、（2013桂林）如图，在ABC中，C=90°，BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交AB于E，以AE

35、为直径作O（1）求证：点D在O上；（2）求证：BC是O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BDE的面积解答：（1）证明：连接OD，ADE是直角三角形，OA=OE，OD=OA=OE，点D在O上；（2）证明：AD是BAC的角平分线，CAD=DAB，OD=OA，OAD=ODA，CAD=ODA，ACOD，C=ODB=90°，BC是O的切线；（3）解：在RtACB中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10，设OD=OA=OE=x，则OB=10x，ACOD，ACBODB，=，即=，解得：x=，OD=，BE=102x=10=，=，即=，BD=5，过E作EHBD，EHOD，BEHBOD，=

36、，即=，EH=，SBDE=BDEH=4、（2012泰州）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围解答：解：（1）AB=AC，理由如下：连接OBAB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°，OBP+ABP=90°，ACP+APC=90°，OP=OB，OBP=OPB，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC；（2）延长

37、AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，则AB2=OA2OB2=52r2，AC2=PC2PA2=（5r）2，52r2=（5r）2，解得：r=3，AB=AC=4，PD是直径，PBD=90°=PAC，又DPB=CPA，DPBCPA，=，=，解得：PB=O的半径为3，线段PB的长为；（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则可以推出OE=AC=AB=又圆O与直线MN有交点，OE=r，2r，25r24r2，r25，r，又圆O与直线相离，r5，即r55、（2012德阳）如图，已知点C是以AB为直径的O上一点，CHAB于点H，过点B作O的切线交直线AC于点D，

38、点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G（1）求证：AEFD=AFEC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求O的半径r的长解答：（1）证明：BD是O的切线，DBA=90°，CHAB，CHBD，AECAFD，=，AEFD=AFEC（2）证明：连接OC，BC，CHBD，AECAFD，AHEABF，=，=，=，CE=EH（E为CH中点），BF=DF，AB为O的直径，ACB=DCB=90°，BF=DF，CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CF=BF（3）解：BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，EF=FC，F

39、CE=FEC，AHE=CHG=90°，FAH+AEH=90°，G+GCH=90°，AEH=CEF，G=FAG，AF=FG，FBAG，AB=BG，BF切O于B，FBC=CAB，OC=OA，CF=BF，FCB=FBC，OCA=OAC，FCB=CAB，ACB=90°，ACO+BCO=90°，FCB+BCO=90°，即OCCG，CG是O切线，GBA是O割线，AB=BG（已证），FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在RtBFG中，由勾股定理得：BG2=FG2BF2，FG24FG12=0，解得：FG=6

40、，FG=2（舍去），由勾股定理得：AB=BG=4，O的半径是26、（略）7、（略）8、（2004武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，CBD的平分线交CE于I点（1）求证：BE=IE；（2）若AICE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求ATAG的值；（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作O1交y轴于另一点N设O1的半径为R，当时，给出下列两个结论：MN的长度不变；的值不变，其中有且

41、只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值解答：（1）证明：AEBD，弧BE=弧DE1=23=4，5=2+3，IBE=1+4，5=IBEBE=IE（2）解：连接QC、TB，则6+CBQ=90°，又7+8=90°，而6=7，CBQ=8=9ABGATBAB2=AGATAICE，I为CE的中点AE=AC，IE=ICBEOCBEOE：OB=BE：CE=1：2设A的半径为R，由AB2OA2=BO2，OE=R3，得R232=4（R3）2解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）ATAG=AB2=25（方法二提示：可连接AD、CD证BAGTAD）（3）解：的值不变

42、证明：作O1KMN于K，连接O1N、PN、BM，则MN=2NK，且N O1K=1，=2sinNO1K=2sin1由直线y=x+3得OB=OD=4，OMBD，2=3又2=4+5，3=1+6，5=6，1=4=NO1K，=2sin4=2×=所以的值不变，其值为专题四、圆中的面积问题1、(1)如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AEDE是直径，DAE=90°，E+ADE=90°PDA=ADB=EPDA+ADE=90°即PDDOPD与圆O相切于点D(2) tanADB=可设AH=3k,则DH=4kPA=PH=P=30°，PDH=60°BDE=3

43、0°连接BE，则DBE=90°，DE=2r=50BD=DE·cos30°=(3)由（2）知，BH=-4k，HC=(-4k)又解得k=AC=S=28（1） （2）M的坐标是（1-，-2）、（1+，-2）、（4，-1）、（2，-3）、（-2，-7）（3）的最大值是/2、（2013钦州）如图，在RtABC中，A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tanBOD=（1）求O的半径OD；（2）求证：AE是O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和解答：解：（1）

44、AB与圆O相切，ODAB，在RtBDO中，BD=2，tanBOD=，OD=3；（2）连接OE，AE=OD=3，AEOD，四边形AEOD为平行四边形，ADEO，DAAE，OEAC，又OE为圆的半径，AE为圆O的切线；（3）ODAC，=，即=，AC=7.5，EC=ACAE=7.53=4.5，S阴影=SBDO+SOECS扇形FODS扇形EOG=×2×3+×3×4.5=3+=3略4略5略6略专题五、中点在圆中的应用、1、略2、（2014长沙）如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作O的切线交AC于点E（1）求证：DEAC；

45、（2）若AB=3DE，求tanACB的值解答：（1）证明：连接OD，D是BC的中点，OA=OB，OD是ABC的中位线，ODAC，DE是O的切线，ODDE，DEAC；（2）解：连接AD，AB是O的直径，ADB=90°，DEAC，ADC=DEC=AED=90°，ADE=DCE在ADE和CDE中，CDEDAE，设tanACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3axa，整理得：x23x+1=0，解得：x=，tanACB=或（可以看出ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）3、014广安）如图，AB为O的直径，以AB为直角边作RtABC，CAB=90°，斜边B

46、C与O交于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，DGAB于点F，交O于点G（1）求证：E是AC的中点；（2）若AE=3，cosACB=，求弦DG的长解答：（1）证明：连AD，如图AB为O的直径，CAB=90°，AC是O的切线，又DE与O相切，ED=EA，EAD=EDA，而C=90°EAD，CDE=90°EDA，C=CDE，ED=EC，EA=EC，即E为AC的中点；（2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6cosACB=，设AC=2x，BC=3x，根据勾股定理，得AB=（3x）2（2x）2=x，sinACB=连接AD，则ADC=90°，ACB+CAD=90°，CAD+DAF=90°，DAF=ACB，在RtACD中，AD=ACsinACB=6×=在RtADF中，DF=ADsinDAF=ADsinACB=×=，DG=2DF=4略5、（2011广州）如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45°，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（0°90