海南导数的概念

1、导数的概念海口一中 马丽雯一、教材分析导数的概念是高中新教材人教 A版选修2-2第一章的内容，是在学生学习了物理的 平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和 瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数 的应用奠定基础。新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象 直观的“逼近”方法定义导数。问题1气球平均膨胀率-一瞬时膨胀率冋题2咼台跳水的平均速度-f瞬时速度n函数的平均变化率fZ函数的瞬时变化率 im ； （即导数）根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和

2、重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实 际背景，知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法： 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学 的兴趣.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教 学 环 节教学内

3、容师生互动设计思路创 设 情 景、引 入 新 课幻灯片回顾上节课留下的思考题： 在咼台跳水运动中， 运动员相对水面的咼 度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位： s)存在函数关系 h (t) = 4.9t 2+ 6.5t+6510.计算运动员在 0兰t兰 这段时间里49的平均速度，并思考下面的问题：(1) 运动员在这段时间里是静止的吗？(2) 你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么冋题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流 结果的基础上，提出 ： 大家得到运动员在这段 时间内的平均速度为“ 0 ”但我们知道运动 员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生 这样的情况 呢

4、？引起学生的好奇，意识到平 均速度只能粗略地描述物 体在某段时间内的运动状 态，为了能更精确地刻画物 体运动，我们有必要研究某 个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂， 激发学生求知欲初 步 探 索、展 示 内 涵根据学生的认知水平，概念的形成分了两 个层次：结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 冋题一：请大豕思考如何求运动员的瞬时 速度，如t=2时刻的瞬时速度？提出问题一，组织学生 讨论，引导他们自然地 想到选取一个具体时刻 如t=2，研究它附近的平 均速度变化情况来寻找 到问题的思路，使抽象 问题具体化理解导数的内涵是本节课 的教学重难点，通过层层设 疑，把学生推向问题的中 心，让学生

5、动手操作，直观 感受来突出重点、突破难点问题二：请大家继续思考，当 t取不冋值时,尝试计算0 = h(2+At)_h(2)的t值？学生对概念的认知需要 借助大量的直观数据， 所以我让学生利用计算 器，分组完成问题二，帮助学生体会从平均速度 出发，“以已知探求未知” 的数学思想方法，培养学生 的动手操作能力 tv tv-0.10.1-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001问题三：当 t趋于0时，平均速度有怎 样的变化趋势？一方面分组讨论，上台 板演，展示计算结果， 同时口答：在t=2时刻， t趋于0时，平均速 度趋于一个确定的值 -13.1

6、，即瞬时速度，第 一次体会逼近思想；另 一方面借助动画多渠道 地引导学生观察、分析、 比较、归纳，第二次体 会逼近思想，为了表述 方便，数学中用简洁的 符号来表示，即h(2+也t)-h(2)lim=-13.1心At数形结合，扫清了学生的思 维障碍，更好地突破了教学 的重难点，体验数学的简约 美 tv tv-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1 049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0 9995 10.00001-13.1 00049问题四：运动员在

7、某个时刻t。的瞬时速度 如何表示呢？引导学生继续思考：运动员在某个时刻 10的 瞬时速度如何表示？学 生意识到将t。代替2,可 类比得到.h(t0 购)-h(t)lim与旧教材相比，这里不提及 极限概念，而是通过形象生 动的逼近思想来定义t0时刻的瞬时速度，更符合学生 的认知规律，提咼了他们的 思维能力，体现了特殊到一 般的思维方法借助其它实例，抽象导数的概念 问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如 何表示呢？类比之前学习的瞬时速 度问题，引导学生得到 瞬时膨胀率的表示 虹讹+引一讹)积极的师生互动能帮助学 生看到知识点之间的联系， 有助于知识的重组和迁移，寻找不同实际背景下的数 学共性，即对

8、于不同实际问 题，瞬时变化率富于不同的 头际意义问题六：如果将这两个变化率问题中的函 数用f(x)来表示，那么函数f(x)在X =x0处的瞬时变化率如何呢？在前面两个冋题的铺垫 下,进一步提出，我们这 里研究的函数 f (x)在X = X0处的瞬时变化 率.口怡十氐)f(x)宵 lim-li即 y = f (x)在 x = x0 处的导数，记作.哄+细-哄)f 筑)-& (也可记为y ” x=x )引导学生舍弃具体问题的 实际意义，抽象得到导数定 义由浅入深、由易到难、由 特殊到一般，帮助学生完成 了思维的飞跃；同时提及导 数产生的时代背景， 让学生 感受数学文化的熏陶，感受 数学来源于生活，

9、又服务于 生活。循 序 渐 进、延 伸 拓 展例1将原油精炼为汽油、柴油、塑料等 不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度(单位：C)为 f (x) = x? 一 7x +15(0 兰 x 兰 8)(1) 计算第2h和第6h时，原油温度的 瞬时变化率，并说明它的意义。(2) 计算第3h和第5h时，原油温度的 瞬时变化率，并说明它的意义。步骤： 启发学生根据导数定义，再分别求出f和f (6) 既然我们得到了第 2h和第6h的原油温 度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说 明它的含义吗？ 大家是否能用冋样方法来解决问题 二? 师生共同归纳得到，导数即瞬时变化 率，可反映物体

10、变化的快慢步步设问，引导学生深 入探究导数内涵发展学生的应用意识，是高 中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以 具体冋题为载体，加深学生 对导数内涵的理解， 体验数 学在实际生活中的应用变式练习：已知一个物体运动的位移(m) 与时间t (s)满足关系S (t )= -2t 2+5t(1 )求物体第5秒和第6秒的瞬时速度(2 )求物体在t时刻的瞬时速度(3)求物体t时刻运动的加速度，并判 断物体作什么运动？学生独立完成，上台板 演，第三次体会逼近思 想目的是让学生学会用数学 的眼光去看待物理模型， 建 立各学科之间的联系， 更深 刻地把握事物变化的规律归纳 总 结、内 化 知 识1、瞬时

11、速度的概念2、导数的概念3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、 类比、从特殊到一般引导学生进行讨论，相 互补充后进行回答，老 师评析，并用幻灯片给 出让学生自己小结，不仅仅总 结知识更重要地是总结数 学思想方法。这是一个重组 知识的过程，是一个多维整 合的过程，是一个高层次的 自我认识过程，这样可帮助 学生自行构建知识体系，理 清知识脉络，养成良好的学 习习惯作 业 安 排、板 书 设 计（必做）第10页习题A组第2、3、4题（选做）：思考第11页习题B组第1题作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥 补教学中的不足，冋时注重个体差异，因材施 教附后板书设计清楚整洁，便于突出知识目标五、学法

12、与教法学法与教学用具学法：（1） 合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如问题2的处理）（2） 自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如问题3的处 理）（3） 探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理） 教学用具：电脑、多媒体、计算器教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出动一一师生互动、共同探索。导教师指导、循序渐进（1）新课引入一一提出问题，激发学生的求知欲（2） 理解导数的内涵一一数形结合，动手计算，组织学生自主探索，获得导数的定义（3）例题处理一一始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习一一深化对导数内涵的理解，巩固新知六、评价分析这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、 计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，至V函数的极限，再到导 数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因 此也影响了对导数本质的理解。新教材不介绍极限的形式化定义