§3-5极值、最值§3-6作图§3-7曲率ppt课件

1、f (x) f (x0) 则称 f (x)在x0处取得极大值(极小值) f (x0). x0称为极大值点(极小值点)极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.注注: 极值是一个局部概念极值是一个局部概念, 如图如图oabx1 x2x3x4x5y=f (x)xyf (x0) = 0证证: 不妨设不妨设 f (x0)为极大值为极大值, 则存在则存在U(x0) I,使x (x0), 有 f (x) f (x0) 由 f (x)在x0可导, 故当x x0时,)()(00 xfxf00)()(lim0 xxxfxfxx0从而必有 f (x0) = 0.如y = | x |, x0 = 0

2、.(1)假设x , f (x) 0 )(0 x)(0 xx , f (x) 0 那么 f (x)在x0取得极大值.(3)假设x (x0)内 , f (x)不变号, 那么 f (x)在x0不取得极值.(2)假设x , f (x) 0 那么 f (x)在x0取得极小值.证证: 只证只证(1). 当当x 时时,因为 f (x) 0 , 所以 f (x)单调增加.)(0 x因而 f (x) f (x0) , x )(0 x当x 时, f (x) 0, 所以 f (x)单调减少,)(0 x因而也有 f (x) f (x0) , x )(0 x例例1. 求求 f (x) = x33x2 9x +5的极值的

3、极值.解解: f (x) = 3x26x 9 = 3(x+1)(x3)令f (x) = 0, 得驻点x1= 1, x2= 3将(, +)分成三个区间, 列成下表.故, 极大值 f (1) = 10极小值 f (3) = 22(, 1)f (x)xf (x)+单增10极大(1, 3)单减30极小(3, +)+单增例例2.解解:.)(32的极值求xxf)0( 32)()(3132xxxxff (x)与x同号, 故 f (0) = 0为极小值.xy032xy (1) f (x0)0, f (x0)为极小值证证:000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx当 f (x

4、0)0时, 由极限保号性, 存在 (x0), 0)( 0 xxxf使故 x x0时, f (x0) x0时, f (x0) 0此时 f (x)在 x0处取极小.例例3. 求求f (x) = sinx+cosx的极值的极值.解解: 因因 f (x)以以2为周期为周期, 只需考虑区间只需考虑区间0, 2)由f (x) = sinxcosx = 0得驻点45 ,421xxf (x) = sinxcosx , 02)4( f02)45( f故.2)4(为极大值f.2)45(为极小值f(, +)上,.24为极大值点k).(245Zkk为极小值点假设 f (x)在a, b上连续, 那么 f (x)在a,

5、b上 一定存在最大值M和最小值m.假定 f (x)在(a, b)内只有有限个驻点或导数不存在的点x1, x2, , xn, 我们说M和m只能在这些点或端点处达到. 即 M = max f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)m = min f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)(想一想: 为什么)例例4. 求求f (x)=x4 8x2 +2在在1, 3上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解: f (x)= 4x3 16x = 4x(x +2)(x 2)f (x)= 0, 得x1= 2(舍去), x2= 0, x3=

6、2故最值在1, 0, 2, 3四处达到f (1)= 5,f (0)= 2,f (2)= 14,f (3)= 11所以 M = f (3)= 11, m = f (2)= 14例例5. 设设 f (x) = xex, 求它在定义域上的最大值和求它在定义域上的最大值和最小值最小值.解解: f (x)在在(, +)上连续可导上连续可导, 且且 f (x)=(x+1)ex令 f (x)=0, 得 x = 1x 1时, f (x) 1时, f (x)0, f (x)单增. 故 f (x)在1处达到极小值, ef1) 1(由于极小值点唯一, .1为最小值故em而 0lim)(limxxxexxfxxxel

7、im故 f (x)无最大值.例例6. 要造一个容积为要造一个容积为V0的带盖圆柱形桶的带盖圆柱形桶, 问桶问桶的半径的半径 r 和桶高和桶高 h 如何确定如何确定, 才能使所用才能使所用材料最省材料最省?解解: 先建立函数关系先建立函数关系, 表面积表面积A = 2r2 + 2rh 又r2h = V0 ,20 rVh故所以)0( 2 20rrVrA02 420rVrA得驻点3002Vr 显然0443000 rVAr故r0为极小值点, 又在(0, +)内极小值点唯一, 此极小值就是最小值.,22 , 230300用料最省时故当VhVrr例例7.150 xDAoCB如图 C 工厂, B 铁路货站,

8、 要从AB铁路上选 一点D修建一条公路CD. 使C与B连起来, 已知AC=20公里, AB=150公里, 又知铁路与公路的吨公里运费之比为3 : 5, 问AD=x应为多少才能使运费最省.20解解: 建立坐标如图建立坐标如图, 从从A到到B的方向的方向, 取取A为原点为原点. 那那么么AC = 20,AD = x,DB =150 x,2220 xCD设铁路吨公里运费为3k , 则公路吨公里运费为5k. 于是从B到C每吨材料总运费为)1500( ,205)150(322xxkxkW要求W的最小值, 先求W0)40053(2kxxW得x = 15. 在(0, 150)中驻点x=15唯一.又 在(0,

9、 150)中,400400540052222 xxxxkW232)400(2000 xk 0故W(15)为极小值也即为最小值.故 x =15时, 全程运费最省.例例8. 宽为宽为2米的支渠道垂直地流向宽为米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道米的主渠道, 若在其中漂运原木若在其中漂运原木, 问能通过的原木的最大长问能通过的原木的最大长度是多少度是多少?解解: 如图建立坐标系如图建立坐标系. 原木直径不计原木直径不计.设AB是通过点C(3, 2) 且与渠道两侧壁分别交于A和B的线段L.要求L的最小值.32BxytOCLA20 ,ttOAC设L(t) = AC + CB20 ,cos3sin2ttt

10、tttttL22cos)sin(3sincos2)(tttt22sincos2cossin3ttt32cot321cossin3上有解在2, 0 0)(tL,32tan3t254832arctan3t实际问题中最小值一定存在, 且驻点唯一, 故此极小值就为最小值, 于是m = L(t0) 7.02故能通过原木的最大长度为7.02米.渐近线定义: 当C上动点M离坐标原点无限远移时, 存在一直线l, 使MN趋向于零, 则称直线l为曲线 C的一条渐近线.xyOCMNNly=f (x)确定函数 y = f (x)的渐近线的方法如下:(1) 铅直渐近线:,)(lim0 xfxx若那么 y = f (x)

11、有一铅直线渐近线 x=x0.,1lim,10 xxyx比如x = 0为其渐近线.(2) 水平渐近线:,)(limAxfx若那么 y = f (x)有一水平线渐近线 y = A. 0,1yxy有渐近线比如)(lim)(lim(类似或AxfAxfxx(3) 斜渐近线:baxxfaxxfxx)(lim ,)(lim那么 y = f (x)有一斜线渐近线 y=ax+b.证证: 如图如图, 0sinlim limMNNMxx由0)()(limbaxxfx故)(lim axxfbx从而MNNy=f (x)y=ax+b设y = f (x)有渐近线y=ax+b.0)(lim)()(limaxxfxbaxxfx

12、x例例1. .1)2(ln) 1 (2222的渐近线和求byaxxy解解: (1)对于对于 y = lnx, .lnlim0 xx故 y = lnx有铅直线渐近线 x = 0.xyOy = lnx(2)有对, 12222byax22axabyabxaxabx22lim0)(lim22xabaxabx故该双曲线有一对斜渐近线:xabyxyxabyxaby 12222byax利用导数描绘函数的图形, 步骤如下:(1) 确定y = f (x)的定义域, 并讨论其奇偶性, 周期性, 连续性(2) 求 f (x), f (x)及其全部零点和不存在的点, 得系列点x1, x2, xn .(3) 在 (xi

13、, xi+1)上及分点xi 处观察 f (x), f (x)的符号, 从而确定单调区间、极值点; 对应曲线的凹凸区间及拐点. : 表单增 : 表单减 : 表凹 : 表凸(4) 确定y = f (x)的渐近线及其它变化趋势.(5) 补充一些适当的点(xi , f (xi).(6) 用光滑的曲线连接这些点并作图.例例2. 描绘描绘 f (x) = 2xex的图形的图形.解解: (1) 函数定义域为函数定义域为(, +), 连连续续.(2) f (x) = 2ex 2xex = 2(1 x)ex f (x) = 2ex 2(1 x)ex = 2ex(x 2 )由 f (x) = 0, f (x) =

14、 0 , 得x1 = 1, x2 = 2.(3) 将(, +)分为三个区间(, 1), (1, 2), (2, +)列表讨论如下(, 1)f (x)xf (x)+10(1, 2)20(3, +) +f (x) e2极大 )4, 2(2e拐点 xyO(4). 0 , 0)(limyxfx有水平渐近线.)(limxfx(5) 补充点 f (0)=0. 描点作图.21e224 e)2, 1 (e)4, 2(2e例例3.3)( 2的图形描绘xxxf解解: (1)定义域为定义域为), 3()3, 3()3,(.3为其间断点xf (x)为奇函数,故 f (x)的图形关于原点对称.), 3()3, 0上函数

15、的图形我们只讨论(2)222)3()2(3)(xxxxxf222)3(3xx由 f (x)0, 知 f (x)无驻点, ,), 3()3, 0上都单调增加上和在422222)3()2)(3(2)3()3(2)(xxxxxxxf 3222)3() 3(4)3(2xxxxx323)3(182xxx322)3()9(2xxxf (x) = 0, 得x0 = 0.且:), 3(),3, 0(上讨论如下在0f (x)xf (x)+ f (x)0 +)0 , 0(拐点)3, 0(3间断点), 3( (3)(4) . 3,)(lim3xxfx有铅直渐近线. 0 , 0)(limyxfx有水平渐近线(5) 取

16、辅助点)21, 3(),2, 2(),21, 1 (321MMM描绘出函数在0, +)上的图形, 再根据对称性得到函数在(, 0)的图形.yx33M1M2M3例例4. .)6()( 3132的图形描绘xxxf解解: (1) 定义域定义域(, +), 连续连续(2)32323131)6(31)6(32)(xxxxxf3231)6(3)6(2xxxx3231)6(3312xxx3231)6(4xxxf (x)为0和不存在的点为4, 0, 63534)6(8)(xxxf f (x)无零点, f (x)不存在的点为0, 6.(3) 在(, 0), (0, 4), (4, 6), (6, +)上讨论.f

17、 (x)xf (x)+ f (x) (, 0)(0, 4)不存在不存在 极小0040342极大(4, 6) 6不存在不存在拐点(6, 0)(6, +)(4)116lim)(lim31xxxfxx)6(lim)()(lim3132xxxxxfxx1311) 16(limxxxttt36lim0= 2故有斜渐近线 y = x +2 .ttt 1)61(lim310 xt1xyO作图如下:4(6, 0)42 , 4(3y= x+ 2相关变化率是相关变化率是: 若两个函数的变化率若两个函数的变化率(导数导数)有联系有联系, 已知其中之一求出另一个变化率的问已知其中之一求出另一个变化率的问题题, 其实就

18、是复合函数导数的关系。其实就是复合函数导数的关系。例例1. 在气缸内在气缸内, 当理想气体的体积为当理想气体的体积为100(厘米厘米)3时时, 压强为压强为5牛顿牛顿/ (厘米厘米)3. 如果温度不变如果温度不变, 压强以压强以0.05牛牛/(厘米厘米)3 小时的速率减少小时的速率减少, 那么体积增那么体积增加的速率是多少加的速率是多少?解解: 由物理学知由物理学知, 理想气体之压强理想气体之压强 p, 体积体积V和温度和温度T关系如下关系如下, pV = RT已知T为常数, 设RT=k, 且V=100时, p =5.得 500 = k.故 pV = 500从05. 0ddtp得tpppttV

19、dd500500dddd2所以小时厘米/)(105. 05500dd32tV例例2. 液体从深为液体从深为18厘米厘米, 顶直径为顶直径为12厘米的正圆厘米的正圆锥形漏斗中漏入直径为锥形漏斗中漏入直径为10厘米的圆柱形桶厘米的圆柱形桶中中, 开始时漏斗盛满液体开始时漏斗盛满液体, 已知漏斗中液面已知漏斗中液面深为深为12厘米时厘米时, 液面下落速度为液面下落速度为1厘米厘米/分分, 求求此时桶中液面上升的速率此时桶中液面上升的速率.12H18h10解解: 设漏斗液面深为设漏斗液面深为H厘米厘米时时, 桶中液面深为桶中液面深为h厘米厘米, 漏斗液面圆半径为漏斗液面圆半径为R, 先先求两个体积之间

20、的关系求两个体积之间的关系.由hHR2225)186(31HRHR31,186即又代入上式并整理得hHR2531623hH25271633两边对t 求导,thtHHdd25dd912代入上式得时由 , 1dd,12tHH)/(64. 0225144) 1(122591dd2分厘米th设 f (x)Ca, b, C为y = f (x)所表示的曲线.设x增大时, 点(x, f (x)沿曲线方向为C的正方向.ydyPMMM0Oyxsx0 xx+xC在C上取点M0, 弧 M0M 的长度为|M0M |, 规定了弧长s的值为)s =|M0M |, M0M 的方向与C正向相同.) |M0M |, M0M 的

21、方向与C正向相反.)由此可知, s为x的单调增加函数.我们要求s(x)的微分如图, 设M, M的坐标为M(x, y) , M(x +x, y +y )那么 s = |M M |)s 的符号与x的符号相同. |MMMM的弦长为记那么22xMMxs)222)(|xMMMMMM)而22222)()()()(|xyxxMM可以证明1|limMMMMMM)21xy故22dd1ddxyxs或 (ds)2 = (dx)2 + (dy)2, 0dd ,xs由单调性,d1d 2xys从而这就是弧微分.22)d()d(d yxs或曲率是描述曲线在一点弯曲程度的量.rR曲率与什么有关呢? 设想有两个圆半径分别为r和R, 且r R. 则小圆比大圆弯曲程度大.如图MMOyxCM, M是曲线C上 两点(C是光滑曲线), 当C上的动点从M移动M 时, 曲线切线转过了角度(称为转角).对应弧有一个改变量s . 故(1) 弯曲程度与转角成正比(2) 弯曲程度与弧长改变量成反比)sKC上M点的曲率ssKsddlim0比如, 半径为R的圆, 其曲率KRRsK1直线曲率KsK00下面推出曲率计算公式设曲线C的方程为 y = f (x), 且f (x)具有二阶导数.xysd1d 2已知又 tan = y , =