定积分的几何应用举例ppt课件

1、第八节第八节 定积分的几何应用举例定积分的几何应用举例一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积一、平面图形的面积1、 直角坐标系情形直角坐标系情形设曲线设曲线 y=f (x)(x y=f (x)(x 0) 0) 与与直线直线 x = a , x = b (a b) x = a , x = b (a b) 及及 x x 轴所轴所 围曲边梯形的面围曲边梯形的面积为积为 A , A , 那么那么xyo)(xfy abxxxd ,d)(dxxfA .d)( baxxfA如右下图所示图形的面积：如右下图所示图形的面积：xyo)(1xfy

2、)(2xfy abxxxd ,d)()(d12xxfxfA .d)()(12 baxxfxfA如图所示图形面积为如图所示图形面积为 xxfxfAbad| )()(|21 yob xa)(2xfy )(1xfy xxxd解解xxy 2oy2xy 例例1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 y2 = x 和和 y =x2 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 22xyxy由由得两曲线交点得两曲线交点, )1 , 1( , )0 , 0(xxxd) 1 , 1 (1面积元素面积元素,d)(d2xxxA xxxAd)(210 10333223 xx.31 问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 x

3、吗吗 ？xyo)(yx cd曲边梯形的面积曲边梯形的面积yyyd dcyyAd)( yyAd)(d )(1yx )(2yx xyocdyyyd 图形的面积图形的面积yyyAd)()(d12 dcyyyAd)()(12 解解例例1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 y2 = x 和和 y =x2 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 22xyxy由由得两曲线交点得两曲线交点, )1 , 1( , )0 , 0(x2yx oyyx )1,1(面积元素面积元素,d)(d2yyyA xyyAd)(210 10333223 yy.31 解题步骤：解题步骤：1. 根据题意画出平面图形根据题意画出平面图形

4、 .4. 写出微元写出微元(面积元素面积元素) dA .2. 求出边界曲线的交点求出边界曲线的交点.5. 求出求出.d baAA3. 确定一个积分变量及其变化区间确定一个积分变量及其变化区间 a , b .例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解得两曲线的交点得两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy由由xy22 4 xy例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解得两曲线的交点得两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy由由xy

5、22 4 xyyyyd ,d)24(d2yyyA 422d)24(yyyA423261421 yyy.18 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 2xy xxy63 21AAA 1A2A解解得交点为得交点为. )9 , 3( , )4 , 2( , )0 , 0( 236xyxxy由由,0, 2,d)6(d231 xxxxxA,3 , 0,d)6(d322 xxxxxAxxxxd)6(3230 .12253 阐明：注意各积分区间上被积函数的形式阐明：注意各积分区间上被积函数的形式xxxxAd)6(2023 例例 4 4 求椭圆求椭圆1

6、2222 byax的面积的面积.abxoyxxxd解解,ddxyA 由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积.d40 axyA利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程, )20(sincos ttbytax应用定积分换元法得应用定积分换元法得 024 Atbsinttad)sin( 202dsin4 ttbaba4 21 2 ba 当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式用参数方程表示的曲边梯形的面积用参数方程表示的曲边梯形的面积若曲边梯形的曲边若曲边梯形的曲边 y=f (x) (a x b ) 可化为参数方程可化为参数方程 )()(tytx 则曲边梯

7、形的面积则曲边梯形的面积 baxyAd在在1t,2t (或或2t,1t)上上)(tx 有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续. .,;,21ttbxttax .d)()(21 ttttt 解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面倍第一象限部分面积积 axyA0d4 0332)cos(dsin4 tatatttatad)sin(cos3sin42023 例例5 求星形线求星形线 围成图形的面积围成图形的面积. taytax33sincostttadcossin1220242 tttad)sin(sin1220642 221436522143122 a832a a aoyx

8、练习：练习：)cos1(, )sin(tayttax )0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 2tu 令令uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a axyA 20dxyoa2求由摆线求由摆线 设由曲线设由曲线)( 及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素 d)(21d2 A曲边扇形的面积曲边扇形的面积.d)(212 A2、极坐标系情形、极坐标系

9、情形)( 在在, 上任取小区间上任取小区间d, 例例 6 6 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积. 解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA d2cos214402 aA.2a xy 2cos22a 1A例例 7 7 求求心心形形线线)cos1( a所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0( a. 解解 d)cos1(21d22 aA利用对称性知利用对称性知.232a d d)cos1(2 02212aA 022d)coscos21(a 022sin41sin223 a求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下

10、、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）积分运算）3、小结、小结 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积1、绕、绕 x 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周

11、周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间d,xxx ， 取以取以xd为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，薄片的体积为体积元素， xxfVd)(d2 xxxd xyo旋转体的体积为旋转体的体积为)(xfy xxfVbad)(2 yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上上任任取取小小区区间间d,xxx ， xo直线直线 OP 方程为方程为例例1 如图的直角三角形绕如图的直角三角形绕 x 轴旋转的旋转体的体积轴旋转的旋转体的体积以以xd为为底底

12、的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为 xxhrVdd2 圆锥体的体积圆锥体的体积xxhrVhd20 hxhr03223 .32hr a aoyx例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx )0( a绕绕 x轴轴旋旋转转 构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积xxaVaad33232 .105323a ayxb例例 计算由椭圆计算由椭圆12222 byax所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转轴旋转而成的椭球体的体积而成的椭球体的体积. . 解解)()(22222axaxaaby

13、那那么么xxaabad)(220222 (利用对称性利用对称性) 3222312xxaab 0a234ab o aV02xy d2 x当当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积.343aV 方法方法2 2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程 tbytaxsincos那那么么xyVad202 ttabdsin232 22 ab 32 234ab 022、绕、绕 y 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体体积 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、 直线、 直线cy 、dy 及及y轴所围成轴所围成的曲边梯形绕的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的

14、立体，体轴旋转一周而成的立体，体积为积为 xyo)(yx cd dcyyVd)(2 解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积xxyVxd)(220 202dsin xx绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积 yyxyyxVyd)(d)(22102110 102210d)(arcsind)2(yyy 3、补充、补充(1) 如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为 dxxfxVbay| )(|2 例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所

15、围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为yQMPMVdd22 yyyd)43()43(22 ,d412yy yyVd41240 .64 3dyPQM(2) 曲边梯形绕直线曲边梯形绕直线 x=a 旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体积旋转体的体积旋转体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周4、小结、小结四、平行截面面积为已知的四、平行截面面积为已知的 立体的体积立体的体积xoabxxxd 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一

16、个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,d)(dxxAV .d)( baxxAV立体体积立体体积例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx

17、 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积xxRhVRRd22 .212hR xoy0MA nMB 1M2M1 nM设

18、设A、B是曲线弧上的两是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.五、平面曲线的弧长五、平面曲线的弧长1 1、平面曲线弧长的概念、平面曲线弧长的概念 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxxxd 取取积积分分

19、变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间d,xxx ， yd弧长元素弧长元素22)(d)(ddyxs 弧长弧长.d)(12xysba 2 2、直角坐标情形、直角坐标情形xyd)(12 例例 1 1 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相应应于于 x 从从 a 到到 b的的一一段段弧弧的的长长度度. 解解,21xy xxsd)(1d221 ,d1xx 所求弧长为所求弧长为xxsbad1 bax )1(3223 ab.)1()1(322323ab 例例 2 2 计计算算曲曲线线 dsin0 nxny的的弧弧长长)0( nx. 解解nnxny1sin ,sinnx xysbad)(12 x

20、nxndsin10 ntx tntdsin10 tttttnd2cos2sin22cos2sin022 tttnd2cos2sin0 .4n 例例 计算曲线计算曲线ttyxdcos2 的弧长的弧长. . 解解dxys 2221 xxdcos122 xxdcos1220 xxd2cos2220 202sin24 x. 4 ,0cos x.22 x曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)d()d(dyxs 222)d)()(ttt tttd)()(22 弧长弧长.d)()(22ttts 3、参数方程情形、参数方程情形例例 3

21、 3 求求星星形形线线323232ayx )0( a的的全全长长.解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss tyxd42022 tttadcossin3420 .6a 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例 4 4 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设设椭椭圆圆的的周周长长为为2s2 dxxa 022cos1 ,20222dtyxs 根据

22、椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin22 ,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12dxxa 022cos1曲线弧为曲线弧为)( )( 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(yx)( 22)d()d(dyxs ,d)()(22 弧长弧长.d)()(22 s4 4、极坐标情形、极坐标情形例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin a的的长长. . )0( a解解 d)()(22s313cos3sin32 a,3cos3sin2 a.23a d3cos3sin3sin3024262 aa 302

23、d3sina)30( 例例 6 6 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 a )0( a上相应上相应于于 从从0到到 2的弧长的弧长. 解解,a d)()(22s .)412ln(412222 a 20222daa 202d1a 2022202d11a平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 5 5、小结、小结思考题思考题 闭闭区区间间,ba上上的的连连续续曲曲线线)(xfy 是是否否一一定定可可求求长长？思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够

24、，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长2coscos21)2cos1 (21aa2oxy d)cos1(2122 a例例 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . . 解解 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1( aa 2 221aA 2 2221aa d)2cos21cos223( 所求面积所求面积)243(2122 aa.24522aa a 2 练习：练习： 计算心形线计算心形线)0()cos1( aa 的内部的内部与圆与圆a 外部所围图形的面积外部所围图形的面积 . . 练习练习1、求心形线、求心形线 =a(1+cos ) 的内部与圆的内部与圆 = a的外部所

25、围图形的面积的外部所围图形的面积 . 2、设抛物线的轴平行于、设抛物线的轴平行于 x 轴，开口向左，且通轴，开口向左，且通过原点与点过原点与点(2,1)，求它与，求它与 y 轴之间面积为最小轴之间面积为最小的抛物线方程的抛物线方程 . 思考题思考题 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程. 思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yxM